作者|yubr
編輯|Joe's
1.序言
1899年，美國化學(xué)學(xué)家、量子理論的開山鼻祖馬克斯·普朗克(Max)提出了一套特殊的單位制。
Max
他企圖通過三個我們宇宙中的基本化學(xué)學(xué)常數(shù)：光速，約化普朗克常數(shù)和牛頓引力常數(shù)來建立厚度、時間、質(zhì)量、能量等基本數(shù)學(xué)量的基本單位，這種基本單位也稱為普朗克量。
通過量綱剖析，普朗克發(fā)覺惟一可能的具有對應(yīng)量綱的數(shù)學(xué)量為
等等。單純從數(shù)值上來看，這種普朗克量很“極端”，它們對應(yīng)了極短的時間尺度，極短的空間尺度，極高的能量標(biāo)度。
一種常見于科普文中的說法是它們都表征了我們這個宇宙中的某種“極限”數(shù)值。
比如普朗克時間和普朗克尺度是我們宇宙中時間和空間的最小不可分割單元，普朗克能標(biāo)是我們宇宙中所能達(dá)到的最高能標(biāo)，等等。
但是，這些說法似乎是不正確的，或則起碼是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?span style="display:none">X4l物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
我們接出來將從一些（起碼看上去）更深刻的方面去考察普朗克量的真正涵義。
一顆閉門羹
本文一直是科普文
為了淺顯我們將舍棄一些何必要的嚴(yán)格性
并略去所有的公式推論
所以讀者可以放心地看下去
2.普朗克量中的基本常數(shù)
首先我們來考察組成這種普朗克量的三個基本數(shù)學(xué)學(xué)常數(shù)：光速，約化普朗克常數(shù)和牛頓引力常數(shù)，在國際單位制下它們的數(shù)值分別為
這三個常數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)中非常基本和重要，由于它們分別是相對論、量子熱學(xué)和引力理論的代言人。
2.1光速
1905年愛因斯坦構(gòu)建了狹義相對論，完全地解決了麥克斯韋等式組和伽利略世界觀之間的矛盾：時間和空間應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的，它們隨著慣性系的改變而一起“協(xié)同地變換”。
狹義相對論最重要的一個假定就是光速大小不隨觀者變化，在所有的慣性系中光速都是一個常數(shù)。
從這個假定出發(fā)，我們能推出慣性系之間的時空座標(biāo)變換必須保持如下的四維時空間隔不變
進(jìn)一步我們能推出慣性系之間時空座標(biāo)變換的定量關(guān)系，也就是洛倫茲變換。
狹義相對論的一個重要結(jié)論就是它統(tǒng)一了質(zhì)量和能量的概念。對于一個質(zhì)量為的靜止的物體，其能量由質(zhì)量和光速平方的乘積給出
容易看出，前面定義的普朗克能標(biāo)和普朗克質(zhì)量之間也滿足這樣的關(guān)系
由于光速是一個對所有慣性觀者都不變的常數(shù)，所以提到某個物體的質(zhì)量和能量時我們完全可以將其視為一回事。
或則等價地，對能量的單位做一個重新標(biāo)度()，我們可以將光速設(shè)為1，這就是所謂的自然單位制。
自然單位制的用處是所有的數(shù)學(xué)量的量綱都可以化為能量量綱的冪次，這對于標(biāo)度計算非常便捷。在自然單位制下，普朗克能標(biāo)和普朗克質(zhì)量就完全是一回事了
同時，普朗克尺度和普朗克時間也完全是一回事了絕對光速焦耳定律，由于普朗克尺度就是光在普朗克時間內(nèi)走過的距離
2.2普朗克常數(shù)
里面通過將光速設(shè)為1，我們統(tǒng)一了普朗克能標(biāo)和普朗克質(zhì)量，也統(tǒng)一了普朗克時間和普朗克尺度，這么普朗克能標(biāo)(質(zhì)量)和普朗克時間(尺度)之間有哪些關(guān)系呢？
這將不得不涉及到統(tǒng)治微觀世界的量子理論。
1900年，為了解釋宋體幅射的實驗，普朗克假定宋體不能像精典數(shù)學(xué)中那樣連續(xù)地幅射和吸收能量，對于角頻度為的電磁波，其幅射和吸收的最小能量單元為
其中是一個和頻度無關(guān)的極小常數(shù)，被稱為約化普朗克常數(shù)。
普朗克的這些“能量以為基本單位進(jìn)行量子化”的假定十分完美地解釋了宋體幅射的實驗曲線，并在以后成為了量子理論的開端。
1924年，德布羅意(de)提出實物粒子也具有波動性，其動量和波長之間的關(guān)系為
對于一個質(zhì)量為的實物粒子，我們總可以定義一個特點(diǎn)波長，被稱為粒子的康普頓波長()
康普頓波長的涵義是：
假如我們將一個粒子的位置確定到它的康普頓波長以內(nèi)，這么具有的能量漲落將大到足以再形成一個這樣的粒子。
這是由于按照海森堡的不確定性關(guān)系，我們無法同時確定一個粒子的位置和動量(能量)，它的位置確定得越精確，其動量(能量)的不確定度就越大，它們不確定度的乘積大約是的量級。假如我們將一個粒子的位置確切到其康普頓波長以內(nèi)，這么由此帶來的能量不確定度將小于這個粒子的靜止能量，那么大的能量足以從真空中再形成一個這樣的粒子。
從康普頓波長的定義我們?nèi)菀装l(fā)覺
普朗克尺度正是一個具有普朗克質(zhì)量的粒子所具有的康普頓波長
或則從不確定關(guān)系的角度出發(fā)
當(dāng)我們把時間確定到普朗克時間以內(nèi)，其能量具有的不確定度將達(dá)到普朗克能標(biāo)
出于和把光速設(shè)為1一樣的誘因，在自然單位制下我們也把約化普朗克常數(shù)設(shè)為1，這樣普朗克能標(biāo)(質(zhì)量)和普朗克時間(尺度)之間就成了簡單的倒數(shù)關(guān)系
2.3牛頓引力常數(shù)
在精典化學(xué)時代，人們最引以為豪的成就就是能用同一個公式來估算天地萬物之間的引力。
對于兩個質(zhì)量分別為和，相距為的質(zhì)點(diǎn)，它們之間的引力由牛頓萬有引力公式描述
其中的減號代表了吸引力，是一個和物體性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)，被稱為牛頓引力常數(shù)，它描述了物體間萬有引力的強(qiáng)弱。
牛頓的引力理論在碰到強(qiáng)引力場時會失效，它被愛因斯坦的廣義相對論所取代，在廣義相對論中，引力被描述為時空的彎曲。
和牛頓時空觀不同的是，廣義相對論中的時空不再是物質(zhì)演變的背景舞臺，而是會影響物質(zhì)的分布，反過來物質(zhì)的分布也會影響時空的幾何。
物質(zhì)和時空交織耦合在了一起，“物質(zhì)告訴時空怎樣彎曲，時空告訴物質(zhì)怎么運(yùn)動”，物質(zhì)和時空之間的這些“愛恨情仇”在定量上由愛因斯坦場等式描述
其中等式右邊的是愛因斯坦張量，它描畫了時空的幾何性質(zhì)，而等式左邊的是能動張量，它對應(yīng)了物質(zhì)的分布。
我們可以看見，在廣義相對論中又一次出現(xiàn)了牛頓引力常數(shù)的身影，它現(xiàn)今描畫了物質(zhì)和時空之間耦合的硬度。
牛頓引力常數(shù)的再度出現(xiàn)是很自然的結(jié)果，由于在弱引力極限下，廣義相對論必需要退化為牛頓的引力理論。所以有引力出現(xiàn)的地方，就必然有。
我們在前面可以看見，這個描述引力的常數(shù)，到底是怎么同我們宇宙中的“極限”量——普朗克量聯(lián)系上去的。
2.4WHY?
前面我們通過剖析組成普朗克量的三個基本常數(shù)，討論了不同普朗克量之間的關(guān)系，我們發(fā)覺它們似乎都是互相等價的，曉得了其中一個，也就曉得了其他幾個。
非常地，在自然單位制下，它們之間就是簡單的相等或則倒數(shù)關(guān)系。
這么接出來，我們要問一個基本的問題：
為什么通過，和的冪次組合才能得到我們宇宙中的“極限”數(shù)值呢？
一種常見的是光速，約化普朗克常數(shù)和牛頓引力常數(shù)都是很基本的數(shù)學(xué)學(xué)常數(shù)，它們分別描述了相對論、量子熱學(xué)和引力的基本性質(zhì)，而這三個基本常數(shù)通過量綱剖析能組合出的惟一具有正確量綱的量就是前面列舉的那些普朗克量。
這樣的解釋充其量只能說明普朗克量也應(yīng)當(dāng)是很基本的數(shù)學(xué)量，而且很有可能同時飽含了量子理論和引力的信息，但并沒有回答問題的本質(zhì)
它們?yōu)槭裁词俏覀冇钪嬷械摹皹O限"量？
在接出來的兩節(jié)中，我們將分別從引力和量子場論的角度，來考察普朗克量的“極限”之處。
3.黑洞：對不住我不能再輕了
廣義相對論最大的成就之一就是預(yù)言了黑洞——一種引力極大、極其致密因而于連光都無法逃脫其禁錮的獨(dú)特天體的存在。
在愛因斯坦1915年發(fā)表他的廣義相對論后的短短一年，就由美國化學(xué)學(xué)家史瓦西()解出了場多項式的第一個解析解——史瓦西解。
這個解預(yù)言了球?qū)ΨQ、不帶電、不自轉(zhuǎn)的黑洞的存在，這類最簡單的黑洞被稱為史瓦西黑洞。
對于一個質(zhì)量為的史瓦西黑洞，它的“半徑”(視界)由下式給出
這被稱為史瓦西直徑，它剛好就等于當(dāng)初拉普拉斯所預(yù)言的“暗星”的直徑。將一個物體保持質(zhì)量不變并壓縮到它的史瓦西直徑以下，那它就成了一個黑洞。
我們?nèi)缃窨疾煲粋€質(zhì)量為的史瓦西黑洞，并令它的史瓦西直徑等于它的康普頓波長
我們發(fā)覺其對應(yīng)的質(zhì)量恰好就是普朗克質(zhì)量！
這意味著
普朗克質(zhì)量是最小的能穩(wěn)定存在的黑洞的質(zhì)量。
由于假如黑洞的質(zhì)量大于普朗克質(zhì)量，其對應(yīng)的史瓦西直徑將大于它的康普頓波長絕對光速焦耳定律，根據(jù)前面一節(jié)的闡述，這將形成足夠大的能量漲落來從真空中生成另一個黑洞，因而這個黑洞不能穩(wěn)定存在。
4.有效理論——基本數(shù)學(xué)理論的失效
我們曉得以量子場論為框架的標(biāo)準(zhǔn)模型相當(dāng)作功地描述了電磁力、弱力和強(qiáng)力，但是標(biāo)準(zhǔn)模型被證明是可以重整化的。
然而引力并沒有被包括進(jìn)來，一個很重要的誘因就是引力無法重整化，癥結(jié)在于引力的耦合常數(shù)，即牛頓引力常數(shù)的量綱是能量量綱的次，而一個理論的耦合常數(shù)若果是負(fù)的，這么這個理論就不可重整。
不可重整的涵義是沒辦法引入有限多的抵消項來清除圈圖估算中的所有無窮大。
一個不可重整的理論稱為有效理論，意思是這個理論只在某個特定的能標(biāo)以下有用，一旦超過這個能標(biāo)，這個理論就失效了。
這些能標(biāo)的截斷稱為cutoff，cutoff的具體位置就由這個有效理論決定，雖然就是由它的耦合常數(shù)決定。
比如初期的弱互相作用理論中的四費(fèi)米子互相作用，其耦合常數(shù)：費(fèi)米常數(shù)的量綱也是，所以四費(fèi)米子互相作用也是一個有效理論，一旦能標(biāo)達(dá)到的時侯，四費(fèi)米子互相作用就失效了，必需要被愈發(fā)完整的理論取代，后來我們曉得這就是電弱統(tǒng)一理論。
回到引力的問題來，在嘗試把精典引力進(jìn)行重整化的時侯，由于引力的耦合常數(shù)的量綱是，不可防止也要進(jìn)行能標(biāo)截斷，截斷的具體位置正是由牛頓引力常數(shù)決定
自然單位制下，代入牛頓引力常數(shù)的值，你會發(fā)覺這似乎就是普朗克能標(biāo)
所以，普朗克能標(biāo)的真正含意是……
精典引力理論失效的地方
而我們目前并沒有一個成功的量子引力理論，所以對于普朗克能標(biāo)以上的數(shù)學(xué)，我們沒有任何理論可以進(jìn)行描述。所以普朗克能標(biāo)也是……
我們目前的所有數(shù)學(xué)理論能描述的最高的能標(biāo)
有了普朗克能標(biāo)的值，通過簡單的換算就可以得到普朗克時間的值。
在宇宙大爆燃發(fā)生后的普朗克時間內(nèi)，即秒內(nèi)，依據(jù)不確定關(guān)系，宇宙的氣溫要低于普朗克能標(biāo)。里面早已剖析過，在這個階段我們沒有任何有效的數(shù)學(xué)理論去描述它，所有現(xiàn)有的數(shù)學(xué)規(guī)律全部失效，所以在這個意義上，普朗克時間才被稱為是我們宇宙中最小的時間尺度。
5.總結(jié)
本文的主要目的是想糾正好多人關(guān)于“普朗克時間和普朗克尺度是我們宇宙中的最小時空單元"的誤會，以及由此形成的“我們的世界是離散化”的謬誤。
量子化絕不是時空的離散化
主流的數(shù)學(xué)理論依然堅持覺得我們的時空是連續(xù)分布的，離散化的時空會破壞最基本的洛倫茲對稱性。
最后，重要的事情只說一遍
??????????
普朗克能標(biāo)并不意味著宇宙中的最高能標(biāo)
它只是我們目前已知的化學(xué)理論所能描述的最高能標(biāo)
普朗克尺度也不是宇宙中的最小尺度
它只是我們目前已知的化學(xué)理論所能描述的最小尺度
附注：
[1]是微觀世界中常用的能量標(biāo)度，它等于十億電子伏特。1電子伏特定義為一個電子通過1伏特的電場所獲得的能量，它等于焦耳。對于微觀世界，焦耳是一個過大的能量標(biāo)度，所以我們更多采用電子伏特。（打個比方：我們用光年評判星體之間的距離，用公里評判月球上兩地之間的距離，用米評判一個屋子里兩個人之間的距離，用是否點(diǎn)擊關(guān)注評判我和你之間的距離。）
[2]原文為“tellshowtocurve,tellshowtomove”，byJohn。
[3]嚴(yán)格來說會差一個因子，但這是無關(guān)緊要的。
[4]重整化是一種去除無窮大的技術(shù)。由于數(shù)學(xué)可觀測量一定是有限大的，化學(xué)學(xué)家難以容忍一個“無窮大”的可觀測量，然而量子場論的估算中會出現(xiàn)大量的無窮大，所以她們須要一個系統(tǒng)的方案來從那些無窮大中提取出和實驗觀測相符的有限量。可以重整化是一個理論“完備性”的基本要求。
[5]追憶一下，在自然單位制中，所有數(shù)學(xué)量的量綱都可以轉(zhuǎn)化為能量量綱的冪次——也許你如今能感受到自然單位制的優(yōu)越性了。
[6]有效理論的廣泛性甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出量子場論和重整化的范疇，它的存在彰顯了數(shù)學(xué)規(guī)律隨著能量標(biāo)度分層表現(xiàn)的特征，即處于不同能標(biāo)處的化學(xué)系統(tǒng)有其自身的規(guī)律，它們獨(dú)立演變、互不干擾。尚且，從原則上講低能標(biāo)處的化學(xué)規(guī)律可以由高能標(biāo)處更基本的規(guī)律所決定，但當(dāng)我們不曉得高能標(biāo)處規(guī)律的時侯一樣也可以通過有效理論來描述低能標(biāo)時侯的數(shù)學(xué)規(guī)律并和實驗符合得挺好。正如在發(fā)射湖人時只須要牛頓熱學(xué)而不用考慮廣義相對論，在煮奶茶時只須要熱力學(xué)而不用考慮組成奶茶分子的夸克之間的量子色動力學(xué)一樣，好多時侯我們只須要考慮有效理論就足夠了——它不完備，而且很有效。
[7]凡事都有例外，作為量子引力的一個熱門候選者，圈量子引力理論在一開始就舍棄了空間連續(xù)性和平滑性的假設(shè)，通過保守性地整合量子理論和廣義相對論，它還能構(gòu)建了一套自洽的理論——當(dāng)然，那是另外一個故事了。在圈量子引力理論中，時空確實是離散化的，時空的最小基本單元大概就是普朗克時間和普朗克尺度。拋棄時空連續(xù)性的圈量子引力看上去像是一個怪胎，但，其實它是對的呢？