人們都說，數學學是以實驗為基礎的科學。假如一個數學理論長久不能被實驗否認，還有繼續研究的必要嗎？現在，理論化學的頂峰：弦（理）論（），看上去就屬于此類理論。
自上世紀60年代弦論誕生以來，半個多世紀早已過去，它吸引了大量最優秀的物理、物理高才生，用盡了許多年青科學家的寶貴時光甚至整個人生，但弦論學家們一直未能提出任何目前就能直接被實驗或觀測驗證的預言，緣由是要實現它們所需的能量太大了，是現有（或許將來一段不短時期）的粒子對撞機實驗完全難以達到的能量級別。因此，弦論的實驗驗證堪稱遙遙無期。此類狀況引起學界激烈的爭辯：弦論是“真正的科學”嗎？繼續研究它有何意義呢？
實際上，弦論幾六年研究的功勞不小，除了解決了粒子化學、宇宙學等領域的一些問題，還啟發了物理家的思維，大大推動了物理個別方面的研究和發展。據悉，它對科學思想、哲學等也頗具貢獻。
為此，在介紹弦論的歷史及簡單內容之前，我們首先吹奏一曲“弦外之音”，讓讀者耹聽一下：數學學（包括這幾六年的弦論研究）對科學方式的影響，以及弦論對現代物理貢獻了哪些。
01
還原論的局限
弦論之哲學思想，仍屬于還原論的范疇，是古埃及就開始的自然科學主流。還原論在數學學上彰顯為溯源萬物之本，從德謨克利特（Δημ?κριτο?，約公元前460-公元前370）的原子論設想，到現代數學中的標準模型，表面看上去都是企圖回答同樣一個問題：宇宙中的萬物（最終）是由哪些構成的？
但是，隨著科學技術的發展，哲學思想的內涵有了很大變化。古人說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。按照精典科學的概念最早提出量子概念的物理學家，復雜的事物可以通分，房子能否拆成磚塊，大的物體可以分小；之后，再通分，再分小……一直深入下去。諸如，人體由細胞組成，細胞由分子構成，分子又包含了原子，之后再到電子、質子和中子，一層比一層更小、更輕，也就是“更為基本”。
換言之，精典科學中溯本求源的手段是“拆”和“分”，之后再用檢測來判定大小。測大小的最簡單方式是用鼻子，房屋大磚頭小，因而房子由板磚構成，一看便知。在實驗室里則可以用顯微鏡觀察到人體的細胞、分子、原子等等。尚且，原子也不是最基本的，由于科學家們在原子的散射實驗中又發覺了電子和質子。
不過，再小下去就出現了問題。檢測越來越困難，孰大孰小孰輕孰重，便無法判斷。這么一來，也說不清誰是更基本的了！畢竟，“拆”和“分”的概念也喪失意義。諸如，分子原子等可以說成是物質一分再分而分下來的，但后來發覺的許多“粒子”，卻不是“分”出來的了。那里來的呢？一是天上來的宇宙射線，二是對撞機中撞來撞去撞下來的。這兩種新方式為人類提供了幾百種不同的粒子，它們在撞來撞去的過程中相互“湮滅、生成、轉化”，為此，無法判斷誰更基本。
圖2：β衰變
例如說，正電子和負電子對撞，可以湮沒而生成一對光子。你能說電子中包含了光子嗎？似乎不能，由于理論上，當光子能量足夠時，你也可能觀察到完全相反的逆過程（即兩個光子對撞生成正負電子）。又如，圖2a顯示的是β衰變，一個中子轉變為質子，同時釋放一個電子和一個反電中微子。圖2b所示則是另外一種過程（+β衰變）：一個質子轉弄成中子，同時釋放一個正電子和一個正電中微子。諸這么類的“粒子”轉換過程，不好用精典說法中的“分”來理解，也不能得出“誰組成誰”的推論。也就是說，到了比原子更小的層次，我們最好將圖象和理論理解成是為了描述的便捷而已，并非意味著某事物的內部就是圖上畫的那種樣子。
雖然這么，化學學家一直將幾百種粒子分了類，確定了最少數目的“基本粒子”，在包括3種互相作用的標準模型中，這個數量是61（不包括引力子）。
不過，在弦論之前的化學，最終是將萬物之本歸結為個別“點狀粒子”，而弦論則覺得宇宙中最基本的，不是“點”，而是一段“弦”。
02
化學理論從何而至？
“物理理論從何而至？”這似乎是個不成問題的問題，多數人的回答是，其實來自于實驗數據。這是數學界公認的事實，也基本正確。人類對自然的認識從實踐開始，再回到實踐。發展早期的自然科學，也是首先源于觀察和實驗。以標準模型為例，如當初蓋爾曼（Gell-Mann，1929-2019）的八正法（way），直至夸克模型（QuarkModel），便是為了解釋大量強子實驗數據而做出的假定。理論一旦構建上去，又須要被更多的實驗所否認。標準模型作為一個成功的粒子化學理論，就是由于到目前為止，幾乎所有對引力之外三種力的實驗結果，都符合這套理論的預測。
不過，事情也有例外，愛因斯坦的廣義相對論，當年就并不是為了解決任何實驗而構建的。反之，它是人類思想的勝利，是愛因斯坦遵守哲學觀念（相對性原理）及邏輯推理，憑借創造性的直覺和猜想而得來的純粹理智思維的杰作。現在，理智思維形成的廣義相對論，已被多項實驗以及天文觀測數據否認，幾年前人類第一次偵測到的引力波，再一次證明了這個理論的正確性。
事實上，現在的數學學，早已越來越弄成了理論領先于實驗的學科。理論可以獨立發展，理論可以預言暫時未觀察到的事物，理論甚至還可以創造出新的理論。比如，按照18世紀發展上去的最小作藥量原理，只需找到合適的拉格朗日作藥量，能夠得出化學定理。精典數學中的剖析熱學便是這樣構建上去的，量子化學更是將此方式應用推廣到了極至。據悉，物理家諾特（Emmy，1882-1935）有關對稱和守恒的原理也為純粹從理論預言新的數學規律提供了思路。
為此，衡量一個數學理論是否正確，可以有一系列標準。不僅實驗這一條之外，還有所謂的理論美：簡單、連貫、一致、優雅等等。為此最早提出量子概念的物理學家，雖然仍未被實驗驗證，杰出的科學思想也似乎有很大的價值。
盡管弦論最早是來始于對強互相作用的（錯誤）研究，但后來卻是完全靠物理思想和自身邏輯發展成了一個宏大而高貴的理論體系。其實遲早將會有實驗或觀測結果證明弦論的正確，正如一位弦論學者約翰·施瓦茨（John，1941-）所言：
“弦理論作為一個物理結構實在太美妙了，不可能跟大自然毫不相干。”
03
化學物理互相推動
物理化學初期是一家，分家后各自發展。物理的發展方向包括純物理和應用物理，與數學相關的主要是應用物理，但是其作用大多數是為了估算。
化學和物理互相推動最早的事例應當是牛頓為了研究運動學而成立的微積分。以后便是剛剛提到的變分法和剖析熱學。愛因斯坦用黎曼幾何完整地剖析了廣義相對論的美妙，以后，廣義相對論又反哺物理，推動了整體微分幾何及流形理論等領域的發展。
到了量子場論時期，這些反例越來越多了，場論的研究不僅影響應用物理之外，也涉及許多純物理領域。諸如，楊-米爾斯的非阿貝爾規范場論（non-gaugefield），在物理上是一個十分活躍的研究領域，它形成了西蒙·唐納森（Simon，1957-）的工作，推動了物理中規范場論（）的發展，促進了物理家研究在四維流形上可微結構的不變量，解決四維流形分類的問題。
楊-米爾斯理論相關的另一個物理問題“存在性與質量間隙”，被納入克雷物理研究所（Clay,簡稱CMI）的“千年獎問題”[1]之一。該問題致力尋求對一個推測的證明，即證明楊-米爾斯等式組有惟一解，但是該解滿足“質量間隙”這一特點。這個問題至今未被解決，千年獎問題中惟一被破解了的是“龐加萊猜測”（é）。該問題2006年確認由美國物理家格里戈里·佩雷爾曼（，1966-）完成最終證明，他也因而在同年獲得菲爾茲獎（Medal），但并未亮相領獎。佩雷爾曼的證明文章中，用到了數學學中“熵”的概念。
弦論研究中數學與物理的互動不勝枚舉，數學的直覺靈感促進物理前進，物理則為弦論提供了一個十分重要的檢驗平臺。雖然弦論目前還無法被化學實驗證明正確與否，但由弦論所迸發的物理卻是正確而漂亮的，這點給與弦論一種間接的驗證。下邊簡單介紹幾個弦論研究推動物理發展的實例。
04
卡拉比-丘（-Yau）流形
流形可以被簡單地理解為局部平直的幾何空間。若果以不同的維數來分類，可以有1維流形、2維流形……n維流形。
圖3：各類維度的流形
圖3是流形的反例。即使流形的維數n可以是任何正整數，但在一個平面圖上我們只能畫到2維流形，再高維的就畫不下來了，只得輔之以想像。卡拉比-丘是一類非常的6維流形，是難以畫下來也無法想像的，圖3下圖中顯示的只是它的低維截面圖。為此，讀者不用苦惱于“它究竟長哪些樣”，可以簡單地將它大約理解成極小又纏繞得極緊的“一團東西”，隱藏于我們看不見摸不著的“額外維度”中。
物理家卡拉比（，1923-）最先于1957年就這一類流形提出了一個猜測，法籍日裔物理家丘成桐（Shing-tungYau，1949-）于1978年證明了這個猜測。之后，1985年，四位弦論研究者坎德拉（，1951-）、霍洛維茨（Gary，1955-）、斯特羅明格（，1955-）和威滕（，1951-）寫了一篇革命性的論文，她們發覺她們所研究的超弦理論中額外的6維空間是復3維（實6維）的卡拉比-丘流形。這促使卡拉比-丘空間成為以后三六年來物理和化學中十分熱門的課題[2]。由弦論所迸發的靈感促使一些特別重要的物理問題得以解決。反之，物理又為驗證弦論所迸發的設想是否正確或自洽，提供了一種方法。
丘成桐深刻感遭到化學學家的直覺對解決物理問題的作用，但以上所述并不是第一個使他震驚的反例。丘成桐與4位作者之一的威滕早有交集，由于他有關流形的研究工作，原本就與廣義相對論彎曲時空性質有關。廣義相對論中有一個正能量定律（），或稱正質量猜想（mass）。丘成桐使用非線性偏微分等式中的極小曲面理論，在1979年對此推測給出了一個完全的證明。這在當時是一項了不起的工作，是丘成桐1982年獲得菲爾茲獎的主要成就之一。
1981年的三天，化學學家戴森（Dyson，1924-2020）來敲丘成桐耶魯高研院（forStudy，簡稱IAS）辦公室的門，向他舉薦了年青的化學學家威滕。當時只有30歲的威滕用線性偏微分等式理論和Dirac旋量的方式，以及始于數學中精典超引力的思想，對正能量猜想給出了一個非常簡約的證明。化學學家尤其喜歡威滕的證明，由于她們不須要再鉆研物理中復雜的極小曲面理論了。這個另辟蹊徑的證明讓丘成桐驚訝。以后，威滕于1990年獲得了菲爾茲獎。
圖4：物理家丘成桐和弦論學家威滕
再回到卡拉比-丘流形的話題。后來，坎德拉、布萊恩·R.格林（BrianR.，1963-）等化學學家又發覺-Yau3-fold具有一種性質叫鏡像對稱性（），但指的不是一般意義下的鏡面對稱性。坎德拉將這個對稱性用于解決卡拉比-丘流形的一個與“枚舉幾何”有關的問題。
枚舉幾何的目的，是研究幾何中某類圖形的數目。諸如，舉兩個最簡單的枚舉幾何問題：通過平面上給定兩點能作幾條直線？答案是1；另一個反例稍稍復雜（'s）：平面上給定三個圓，和這三個圓都相切的圓有多少個？通常情況下，答案是8。
剛剛是極為簡單的平面（枚舉）幾何事例，答案很容易估算，但隨著問題復雜性降低，即便是2維中的問題，估算也會很快就顯得十分繁雜，完全不可能依賴直覺估算下來。到了高維空間就異常困難了。首先是沒有了直觀圖象，幾何方法不便使用，只得依靠于代數，所以就有了“代數幾何”這門學科。當初的坎德拉等人要解決的問題，是要估算6維的卡拉比-丘流形上有理曲線的數量，她們1991年算下來了[3]，推論是：317,206,375。
但是，兩位法國物理家爾林斯瑞德（Geir，1948-）和斯達姆（Stein，1951-2014）早已努力用她們復雜的工具和一系列天才的計算機程序，來估算同樣的問題，卻得到了不同的結果：2,682,549,425。因而，開始時物理家們有點懷疑弦論學家們的結果，由于化學學家用了物理家沒有據說過的“鏡像對稱”技巧。后來，爾林斯瑞德和斯達姆慎重地檢測了她們的工作，之后在計算機程序中發覺了一個錯誤。于是，她們宣布了她們的修正，結果的數值與化學學家們估算的完全一致！
圖5：在UT
雖然最初的鏡像對稱方式是從數學學出發的，物理上并不嚴格，但后來它的許多物理預測早已被嚴格證明了。再后來，鏡像對稱成為純物理界中的熱門話題，美國俄裔物理家馬克西姆·孔采維奇（Maxim，1964-）于1998年獲得菲爾茲獎，其部份緣由便與鏡像對稱及枚舉幾何有關。
參考資料：
[1]千禧年大獎困局：%E5%8D%83%E7%A6%A7%E5%B9%B4%E5%A4%A7%E7%8D%8E%E9%9B%A3%E9%A1%8C
[2]Shing-TungNadis，TheShapeofInnerSpace,BasicBooks，NewYork，pp.169-70.
[3],;delaOssa,Xenia;Green,Paul;Parks,Linda.Apairof–Yauasanfield.B.1991,359(1):21–74.
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