工程震動的基礎草稿，歡迎批評，意見返回陳奎孚29圖2-27單自由度系統示意將上式代入(2.21)有12222ddd12dddiiiiixyzTqmqqq????????=++??????????????????∑?(2.23)2按照單自由度假設和式(2.22),我們曉得ddd,,dddiiixyzqqq也都是q的單變量函數,3為此(2.23)方括弧也是q的單變量函數,求和以后一直為q單變量函數。記這個函4數為eq()mq，這樣(2.23)式縮寫為52eq1()2Tmqq=?(2.24)6與2.1節的動能212mx?相平行,q?就是廣義速率,而eq()mq就是對廣義座標q7的等效質量。82.等效撓度9勢能是位置函數,10(,,)((),(),())iiiiiiiiiiUUxyzUxqyqzq==∑∑(2.25)11因而勢能最終是廣義座標q的單變量函數()Uq。
12依據機械能守恒有132eq1()()2UqmqqE+=?14兩側對時間t導數可以得到15eq3eqdd1()0d2dmUqmqq++=?????16約去q?就得到運動微分等式17eq2eqd1d()02ddmUmqqq++=???(2.26)18靜平衡位置的定義為:系統可以處于在該位置仍然不動，也就是能使19工程震動的基礎草稿，歡迎批評，意見返回陳奎孚300,0qq≡≡???的位置bq。也就是在該處1d()0dbbqqUU=′==(2.27)2ddUq就是廣義力。上式的要求就是在靜平衡位置處,廣義力(或則回復力)等于0。3微幅震動是圍繞平衡位置的運動,因而在平衡位置附近將勢能()Uq對微幅4震動bqq?作泰勒展開有5231()()()()()()()2bbbbbbUqUqUqqqUqqqOqq′′′=+?+?+?(2.28)6依據(2.27)式,上式右端第二項為0。
第一項對應零勢能點,它是可以任意選定的7(對時間導數以后，這個零勢能點不會在(2.26)等式中出現)，因而就好似上述例題8可刻意地選定()0bUq=。第四項因是高階小量而略去(在線性震動理論框架下也9必須略去),這樣102211()()()()22bbbUqUqqqUqq′′′′≈?=?(2.29)11其中bqqq=??。12式(2.29)與彈簧勢能212kx相平行，所以稱eq()()bbkqUq′′=為等效撓度。使用q?13符號和(2.29)的關系,式(2.26)變為142eqeqeq1()()()02bbbmqqmqqkqq′++=??????(2.30)15對于微幅線性震動，上式第二項可略去。這是由于：q?為微幅,所以q??也為16微幅，因而2q??為高階小量。實際上,有時更簡單一些,例如有些系統的動能根17本與q無關,另外系統質量分布bq呈偶對稱，這兩種情況都有=,此時第18二項精確地等于零。
19略去(2.30)式的第二項(在線性震動理論框架下也必須略去),這樣就得到20eqeq()()0bbmqqkqq+=????(2.31)21它與式(2.3)完全平行，因而固有頻度為22eqeqeq()()()()bbbbkqUqpmqmq′′==(2.32)23在好多情形下,eqm不隨位置變化，相對困難的是eqk，它對應的是勢能。但(2.32)24工程震動的基礎草稿，歡迎批評，意見返回陳奎孚·圖2-28薄壁半圓桶作微幅震動式表明對單自由度線性震動系統的固有頻度，勢能函數中有貢獻的是在平衡位置1的二階行列式，也就是在勢能對平衡位置泰勒展開以后，最重要的是二次項。所以2假如平衡位置早已曉得,這么用泰勒展開系統各勢能項時,只須要保留二次項即3可,而其他可不寫出。4對圖2-27施加了單自由度假定,而式(2.31)只用到了微幅假定，因而式(2.32)5具有廣泛的適用性。6正如上面的事例,物理上eq()bkq有可能大于零，此時bq已不是一個穩定的平7衡點，不會出現震動，因而固有頻度的概念失效。
8例題2-15.一薄半圓桶,平均直徑為R。在一粗糙面上作微擺動,如所示。試9求其微幅震動的固有頻度。10解:與后面的事例不同,本例的等效質量不是常數。11按照正弦定律有122222cosACOCROCACθ=+?×(a)13而剛體速率為14CvACθ=?(b)15由理論熱學的平行軸定律有1622CJmRmOC=?(c)17動能包括平動和轉動兩個部份,即18221122CCTTTmvJθ=+=+?平轉19將式(a),(b)和(c)代入上式有202(cos)TmROCRθ=?×21依據理論熱學偏心矩2πOCR=,這樣上式變為2222()1cosπTmRθθ??=?????(d)23其實平衡位置為b0θ=,選擇該狀態為零勢能位置,這樣任意位置的勢能為24工程震動的基礎草稿，歡迎批評彈簧剛度串聯和并聯的公式，意見返回陳奎孚322()g(1cos)πUmRθθ=?(e)1由(d)和(e)可得22eqbeqb22()21,()gππmmRkmRθθ??=?=????3代入(2.32)可得4g(π2)pR=?5其實倘若從一開始彈簧剛度串聯和并聯的公式，僅估算62222222222211()(0)()2211()()22()bTTmACmROCmROCmROCmRROCθθθθθθ==+?=?+?=??????7則剖析過程稍為簡單一些。
82.4.2.撓度估算9上述例題的動能(也就是等效質量)比較容易寫下來,而勢能則較為困難，這10表明等效撓度的估算比較麻煩。等效撓度其實可以從頭開始根據2.4.1節的方式11來估算，然而工程上有些精典器件或器件組合(如彈簧的串聯和并聯)早已構建了12更直接的方式。下邊對這種方式進行簡單介紹。131.撓度各類方式14圖2-1使用的彈簧撓度,嚴格地說應當為拉壓撓度，是對應于彈簧拉伸和壓15縮的位移的概念，而等效撓度的定義是使系統發生單位廣義位移所須要施加的廣16義力。廣義位移可以是某點沿指定方向形成單位位移,也可以是繞某點的角位移,17甚至兩者的組合。相應的廣義力可能是力、力偶,或則某種具象的物理量。18除了這么,同一預制構件也可因變型方式不同，可以定義不同的撓度。對于圖192-29所示一端固定的等直圓桿的預制構件,可能發生的基本變型有拉伸、扭轉和彎曲,20對這三種變型有三種不同的撓度:拉壓撓度,扭轉撓度和彎曲撓度。21設圖中桿長為l，截面積為S，截面慣性矩為I，截面極慣性矩為pI。材料22彈性撓度為E，切變彈性撓度為G。設置如圖xOw座標。23沿桿軸x方向加力時,按照材料熱學中等直桿簡單拉伸的變型公式24BlxFES=25為此在B點的拉壓撓度為=(2.33)27若在B端施加繞x軸的力矩tM,則依照等直圓桿的扭轉角公式得到B端扭轉28角為29
