17世紀(jì)初，開(kāi)普勒使用第谷對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的精確觀測(cè)數(shù)據(jù)，使用物理剖析和推理的方式，得出了行星運(yùn)動(dòng)的三大定理。
開(kāi)普勒第一定理又稱(chēng)橢圓定理：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓，且太陽(yáng)在此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。我們可以用極座標(biāo)系下的橢圓多項(xiàng)式來(lái)抒發(fā)：，其中p為橢圓的半通徑。
開(kāi)普勒第二定理又稱(chēng)面積定理：在相等的時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和行星的連線(xiàn)所掃過(guò)的面積都是相等的。這個(gè)定理在物理上表達(dá)成以下方式：，其中為與行星有關(guān)的常數(shù)。
開(kāi)普勒第三定理又稱(chēng)調(diào)和定理：行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)周期的平方與橢圓軌道半長(zhǎng)軸立方之比為一常數(shù)。用物理公式表示為，其中為與行星無(wú)關(guān)的常數(shù)。
據(jù)悉，我們還將極座標(biāo)系下有心力的等式寫(xiě)下來(lái)，旁邊有用：
開(kāi)普勒的三條定理除了簡(jiǎn)練地總結(jié)了行星運(yùn)動(dòng)的特征，并且為后來(lái)牛頓提出萬(wàn)有引力定理奠定了實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。
依據(jù)牛頓第一定理，不受力的物體將保持靜止或沿直線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)。并且，依照開(kāi)普勒第一定理，行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓。這也就意味著，行星遭到了引力的影響。這么這些力有哪些特征呢？
涉及到力，牛頓可以使用他的第二定理，但是在極座標(biāo)系下愈發(fā)直觀。從開(kāi)普勒第二定理的物理表達(dá)式來(lái)看，行星所受的縱向力為零。為此，行星遭到的引力是一種有心力。
我們?cè)缫褧缘昧艘κ怯行牧?，進(jìn)一步我們就想曉得它的抒發(fā)方式。為此，我們要把開(kāi)普勒第一定理和第二定理代入有心力多項(xiàng)式。在這兒，最有難度的是關(guān)于的估算。
我們首先從開(kāi)始：。假如我們直接將此公式再對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的話(huà)，這么估算量將是十分大的，大家可以自己嘗試一下。在這兒，我們將使用一個(gè)方法，上下都同除以p：。這樣一來(lái)，我們就可以用橢圓定理和面積定理代替中間復(fù)雜的公式，因而得到一個(gè)簡(jiǎn)單的方式：。
接出來(lái)，我們?cè)賹?duì)它進(jìn)行導(dǎo)數(shù)就比較簡(jiǎn)單了：。之后，我們?cè)俳柚淮螜E圓定理把ecosθ消去，得到：。據(jù)悉，我們借助面積定理很容易得到。這樣一來(lái)，我們就可以得到行星所受的引力的方式為：。
然而，這個(gè)方式不理想，由于在公式中出現(xiàn)了一個(gè)與行星有關(guān)的常數(shù)。我們只能將這個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為“特有”引力公式，而不是萬(wàn)有引力公式。上面我們只用了開(kāi)普勒第一和第二定理，牛頓覺(jué)得第三定理是將特有轉(zhuǎn)為萬(wàn)有的關(guān)鍵。
首先，行星的繞轉(zhuǎn)周期T等于橢圓的面積處于掠面速率：。所以牛頓第一定律實(shí)驗(yàn)圖，依照開(kāi)普勒第三定理，我們可以得到:。為此，我們可以用一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的參數(shù)來(lái)取代：。
所以行星遭到的引力就是，我們可以對(duì)太陽(yáng)做同樣的操作，得到太陽(yáng)受行星的引力。依據(jù)牛頓第三定理，F(xiàn)(r)和F'(r)應(yīng)當(dāng)大小相等，于是我們得到，但是把這個(gè)比列設(shè)為引力常數(shù)G。于是，行星所遭到的引力就是。
牛頓覺(jué)得，這個(gè)引力常數(shù)G并不是太陽(yáng)和行星所特有的牛頓第一定律實(shí)驗(yàn)圖，而是世間萬(wàn)物都遵循的規(guī)則，于是它把萬(wàn)有引力公式推廣到所有的物體。