量子熱學量子熱學知識總結量子熱學知識點小結一引言1光的粒子性是由宋體幅射光電效應和康普頓效應散射三個實驗最終確定的2德布羅意假定是任何物質都具有波粒二象性其德布羅意關系為和3波爾的三個基本假定是定態條件假定4自由粒子的波函數5戴維孫革末的電子在晶體上衍射實驗證明了電子具有波動性二波函數及薛定諤多項式一波函數的統計解釋化學意義A波函數的統計解釋B波函數的統計解釋位置處單位容積沒找到粒子的機率例已知體系處于波函數所描寫的狀態則在區間內找到粒子的機率是已知體系處于波函數所描寫的狀態則在球殼內找到粒子的機率是在立體角內找到粒子的機率是注二態疊加原理假如和是體系的可能狀態這么它們的線性疊加為復數也是這個體系可能的狀態含意當體系處于和的線性疊加態為復數時體系既處于態又處于態對應的機率為和三機率密度分布函數四薛定諤多項式問題1描寫粒子如電子運動狀態的波函數對粒子如電子的描述是統計性的2薛定諤多項式是量子熱學的一個基本假定不是通過嚴格的物理推論而至的五連續性多項式問題波函數的標準條件單值連續有界六定態薛定諤多項式即定態的特性1粒子的概率密度和概率流密度與時間無關∵2能量具有確定的值可由自由粒子的波函數進行驗證3各熱學量的平均值不隨時間變化定義伊寧頓算符于是定態薛定諤多項式可寫為這種類型的多項式稱為本征值多項式被稱為算符的本征值稱為算符的本征多項式討論定態問題就是要求出或和含時間的薛定諤多項式的通常解可以寫成這種定態波函數的線性迭加為常數七一維無限深勢阱問題設粒子的勢能在勢阱外[]1在勢阱外因為所以其定態薛定諤多項式為2令3則多項式2可化為標準方式4其通解為5式中為兩個待定常數單從物理上看為任何值多項式2都有解但是依照波函數連續性要求在勢阱邊界上有67由5式和6式得令波函數不能恒為零而不能為零所以必須于是8再按照7式得所以必須滿足取正數給不出新的波函數這告訴我們k只能取下述值9由3式可知粒子的能量只能取下述值10將9式代入到8式中并把勢阱外的波函數也包括在內我們就得到能量為的波函數11注波函數無意義11式中A可由歸一化條件確定知最后得到能量為的歸一化波函數為總結1可得2可得3可得問題粒子在一維無限深勢阱中運動時若阱寬減少則其基態間隔會減小八一維線性諧振子問題一維線性諧振子的勢能定態薛定諤多項式令最后可求得一維線性諧振子的能量與對應的波函數為與之相量子物理知識點
應的波函數為歸一化因子其中為厄米方程且有小結一維線性諧振子一維線性諧振子的能級能量與對應的波函數問題1線性諧振子能量的本征多項式是或定義算符克羅內克符號對線性諧振子注上述算符僅適用于線性諧振子2設是一維線性諧振子的波函數則有00三量子熱學中的熱學量一線性算符若則稱為線性算符其中為兩個任意函數是常數復數二厄米算符假如對于任意兩個函數和算符滿足下述方程則稱為厄米算符注兩個厄密算符之和仍為厄密算符但兩個厄密算符之積卻不一定是厄密算符除非二者可以對易在量子熱學中刻劃熱學量的算符都是線性厄米算符三算符的本征值和本征函數假如算符作用在一個函數結果等于乘上一個常數本征多項式則稱為的本征值為屬于的本征函數本征多項式的數學意義假若算符表示熱學量這么當體系處于的本征態時力學量有確定值這個值就是在態中的本征值四常使勁學量的算符表示算符與熱學量的關系量子熱學中表示熱學量的算符都是厄米算符它們的本征函數組成完全系當體系處于波函數描寫的狀態時檢測熱學量所得的數值必將是算符的本征值之一測得的機率是座標假象下五動量算符和角動量算符1動量算符動量算符的本征值多項式2角動量算符角動量平方算符與角動量份量算符的本征函數和本征值球諧函數是角動量平方算符與角動量份量算符共同的本征函數不做記憶要求為此角動量平方算符與角動量份量算符的本征值分別為和其中稱為角量子數稱為磁量子數簡并對于一個本征值有一個以上的本征函數的情況稱為簡并簡并度對應同一本征值的本征函數的數量稱為簡并度問題1不考慮電子載流子氫原子的第條基態的簡并度為2考慮電子載流子氫原子的第條基態的簡并度為3球諧函數是算符和的共同本征函數相應的本征值為和六類氫離子問題喀什頓算符的本征值多項式該等式的解為徑向函數不做記憶要求能級波函數重點公式類氫離子的能量類氫離子的波函數能級波函數七算符的對易關系定義對于算符和假如則稱算符和對易假如則稱算符和反對易注泡利算符滿足反對易關系即定律假如兩個算符對易則這兩個算符有組成完全系的共同本征函數該定律的逆定律也創立問題1寫出下述算符的對易關系2若熱學量對應算符和滿足則表示它們互相對易且有一組共同的本征函數八測不準原理對于算符和設九平均值公式已知算符是線性厄米算符它的正交歸一本征函數是對應的本征值是若體系處于歸一化波函數所描寫的狀態則熱學量在該體系下的平均值期望值公式為問題1求證厄米算符
的本征值為實數證明設為厄密算符為的本征值表示所屬的本征函數即由于為厄密算符取則有即是實數2求證厄米算符的屬于不同本征值的本征函數互相正交證明設是厄米算符的本征函數它們所屬的本征值互不相等則有且當時又是厄米算符故因而有用右乘4式兩側并對整個空間積分得用左乘2式兩側并對整個空間積分得又由57式可得聯立38可知證畢3設粒子做一維運動波函數為是任意常數求1歸一化常數2機率分布函數3機率最大位置4在內發覺粒子的機率5和的平均值解1由歸一化條件得2機率分布函數為3由2可知當時即機率最小位置按照極值條件又故為機率最大位置且有4在內發覺粒子的機率即在內發覺粒子的機率是上述積分用分部積分法求解參考積分公式4求一維線性諧振子處在第一迸發態時概率最大位置解由得一維線性諧振子處在第一迸發態的波函數為于是機率分布函數為似乎滿足禁錮態條件此位置機率為0由極值條件在又伽瑪函數定義性質注雙階乘運算故機率最大位置是5一維運動的粒子的狀態是其中求1粒子動量的機率分布函數2粒子的平均動量解由歸一化條件得推廣動量的本征函數1該波函數在動量假象下的方式為于是粒子動量的機率分布函數為2動量的期望值為6體系處于態中則BA是體系角動量平方算符角動量z份量算符的共同本征函數B是體系角動量平方算符的本征函數不是角動量z份量算符的本征函數C不是體系角動量平方算符的本征函數是角動量z份量算符的本征函數D既不是體系角動量平方算符的本征函數也不是角動量z份量算符的本征函數四態和熱學量的假象一態的假象已知對任意熱學量既有分立的本征值對應本征函數是也有連續的本征值在一定范圍內變化對應的本征函數是當體系處于波函數所描寫的狀態則該體系在假象下所描寫的狀態即波函數表示為算符的本征函數方式由態疊加原理可得式中則在熱學量表象下的描述可用列矩陣表示由歸一化條件知表示在所描寫的狀態中檢測熱學量所得結果為的機率則表示檢測結果在到之間的機率二算符的矩陣表示設算符作用于波函數后得出另一函數在座標假象中記作該多項式在假象中的方式如上文所述此處僅討論的分立本征值情況于是有以左乘上式兩側并對的整個區域積分得又所以有令則即為在假象中的敘述方法其中為算符在假象中的矩陣元易證矩陣滿足為厄米矩陣問題若矩陣滿足條件則稱為厄米矩陣三量子熱學公式的矩陣敘述1期望值平均值公式將波函數按的本征函數展開最后得即泛指2本征值
等式即1為其矩陣表示于是2該多項式為線性齊次代數等式非零解條件即久期多項式3求解久期等式可得一組值即為的本征值代入2式可與對應的本征函數本征矢即其中四狄拉克符號1狄拉克符號的引入態空間中的與在方式上具有顯著的不對稱性狄拉克覺得它們應當分屬于兩個不同的空間伴隨空間引入符堪稱為右矢微觀體系的一個量子態用表示的集合構成右矢空間在右矢空間中的份量表示可記為矩陣1約定右矢空間的態矢一律用表示熱學量的本征態矢一律用量子數或連續本征值表示引入符堪稱為左矢微觀體系的一個量子態也可用表示但在同一假象中與的份量互為共軛復數2的集合構成左矢空間2基矢的狄拉克符號表示離散譜熱學量完全集的本征函數具有離散的本征值時對應的本征矢或等構成正交歸一化的完全系可以作為矢量空間的基矢作為基矢可表示為第n行31基矢具有正交歸一性42展開定律5兩側同時左乘得6說明展開系數是態矢在基矢上的份量3封閉性把代入中得所以7稱為基矢的封閉性※狄拉克符號運算中十分重要的關系式連續譜當熱學量本征值構成連續譜時對應的基矢記為1正交歸一性82展開定律9103封閉性113關于一維線性諧振子的討論引入新算符湮沒算符形成算符對易關系則均是非厄米算符定義厄米算符記同理可得另一個定義記則問題1設為算符和的共同本征矢則2定義算符則2已知在和的共同的共同假象中算符的矩陣為求它的本征值和歸一化本征函數解因為算符的矩陣為故其本征值多項式為即可得久期多項式為解得1時有可得歸一化得即為本征值對應的歸一化本征函數2時有可得設得對應歸一化本征函數為同理可得本征值為對應的歸一化本征函數五微擾理論一非簡并定態微擾理論以和表示的本征值和本征函數能量的一級修正為能量的二級修正為波函數的一級修正為于是波函數的近似值為能量的近似值為二變分法思想按照體系能級能量最小即為任意波函數表明任意波函數算出的的平均值總小于體系的能級能量因而可以選定許多試探波函數估算的平均值找出最小的一個來接近變分法求體系能級能量步驟1選定含參數的試探波函數2估算平均能量3由極值條件求出最小值即為的近似值氫原子一級斯塔克效應是指將氫原子倒入外電場中基態簡并部份地被清除原先是四度簡并的基態在一級修正上將分裂為三個基態三選擇定則中心力場中電偶極躍遷的選擇定則為問題1按照選擇定則氫原子發生躍遷能實現的是設在表現中的矩
量子物理知識點
陣表示為均為實數的兩個不同本征值或該多項式的精確求解用微擾理論求能量至二級修正值解由題意在能量假象中和的矩陣為表示所有的項求和本題中只有兩個值故時只能取因而有表示矩陣元即矩陣的第行第列的元素且有為體系的波函數在非簡并狀態下的微擾理論由能量的一級修正公式得能量的一級修正為由能量的二級修正公式得能量的二級修正為因而能量的近似值為3一電荷為的線性諧振子受恒定弱電場作用電場沿正方向用微擾法求體系的定態能量和波函數解依題意體系的喀什頓算符為因為電場是弱電場故可視為微擾令記為無微擾時線性諧振子喀什頓算符的本征函數由微擾理論得能量的一級修正為又為此能量的二級修正波函數的一級修正為僅當時且有當時當時故得表達式如題所述綜上能量的近似值是波函數的近似值是六載流子與全同粒子一電子載流子1施特恩革拉赫實驗以及波譜的精細結構證明了電子具有載流子施特恩革拉赫實驗是將能級氫原子束通過狹縫和不均勻磁場發覺原子束分立為兩條2烏倫貝克和哥德斯密脫假定1每位電子都具有載流子角動量且在空間任何方向的投影只能取兩個數值2每位電子都具有載流子磁矩且有式中是電子的電荷是電子的質量在空間任意方向的投影只能取兩個數值式中是玻爾磁子精細結構是考慮了電子的載流子磁矩超精細結構是考慮了電子的載流子磁矩和原子核的磁矩簡單塞曼效應將電子裝入較強外磁場中不考慮電子載流子與軌道互相作用觀察到譜線發生分裂質數條復雜塞曼效應將電子裝入較弱外磁場高考慮電子載流子與軌道互相作用觀察到譜線發生分裂質數條二電子的載流子算符和載流子函數1載流子算符對易關系本征值因為在空間任意方向上的投影只能取兩個數值故和三個算符的本征值均為即有令得稱為載流子量子數引入泡利算符對易關系反對易關系因而有本征值和三個算符的本征值均為即有算符和及和在假象下的矩陣泡利矩陣2電子的載流子波函數考慮電子載流子時電子的波函數表示為又故于是規定第一行對應于第二行對應于電子處于載流子向下的態時波函數為電子處于載流子向上的態時波函數為若為歸一化波函數則波函數的幾率密度是令則和分別表示時刻在點周圍單位容積內找到載流子和載流子的電子的機率當不考慮載流子與軌道互相作用時電子的波函數可表示為式中是描寫電子載流子狀態的載流子函數或稱載流子波函數載流子算符僅對波函數中的載流子函數有作用在假象中載流子函數是的本征函數所屬對應本征值是載流子函數是的本征函數所屬對應本征值是且這兩個本征函數互相正交問題
1在假象中在載流子態中的可能測值為和相應的機率為和解析載流子態為故可表示為因而它為和的線性疊加故其檢測值可能為和相應的機率為和考查態疊加原理及載流子函數2電子載流子角動量的各份量在假象中的矩陣3在假象中則其本征值為解析由得久期多項式三兩個角動量的耦合以表示體系的兩個角動量算符且互相獨立則有令稱為體系弱冠動量且有由上述討論可知1算符兩兩互相對易故它們有一組共同的本征矢本征函數構成完全系其中為與那些算符對應的量子數即有和且以作為為基矢的假象稱為無耦合假象2算符兩兩互相對易它們有共同的本征矢構成完全系其中為與那些算符對應的量子數即有和構成正交歸一完全系以它們為基矢的假象稱為耦合假象且有可取共個值將按完全系展開系數稱為矢量耦合系數或克萊布希高登系數又故四全同粒子全同粒子質量電荷載流子等固有性質完全相同的微觀粒子全同性原理全同粒子所組成的體系中兩全同粒子互相代換不造成化學狀態的改變這個論斷被稱為全同性原理量子熱學基本原理之一費米子電子質子中子等載流子為或偶數倍的粒子費米子所組成的全同粒子體系的波函數是反對稱的波骰子光子載流子為處于能級的氦原子載流子為零粒子載流子為零以及其它載流子為零或的整數倍的粒子波骰子所組成的全同粒子體系的波函數是對稱的五兩個電子的載流子函數設體系的喀什頓算符不含電子載流子互相作用項則兩電子載流子函數是每位電子載流子函數之積式中依次是第一個電子和第二個電子的載流子份量用可以構成兩電子的對稱載流子函數和反對稱載流子函數它們是的共同本征函數注此處用到兩個角動量的耦合設第一個電子和第二個電子的載流子角動量平方算符與載流子角動量份量算符依次為對應的量子數依次為且有于是總載流子量子數即總載流子角動量在方向投影對應量子數滿足于是有問題已知由兩個電子組成的全同粒子體系的波函數的空間部份是反對稱的寫出其所有可能的載流子波函數解因為電子是費米子故體系的波函數是反對稱的又體系的波函數的空間部份是反對稱的故體系的載流子波函數必須是對稱的因而有即為所求注若體系的波函數的空間部份是對稱的則載流子波函數必須是反對稱的故有為所求波函數習題設氫原子的狀態是求1軌道角動量份量和載流子角動量份量的期望值2總磁矩的份量的平均值用玻爾磁子表示解故1軌道角動量份量的期望值為載流子角動量份量的期望值為2總磁矩的份量的平均值為注由則而由可得熱學量的檢測值為和對應機率為和同理習題7273注重120