向心加速度公式的幾種推論
一、運用速率增量法推論
如圖，表示速率（率）v作勻速圓周運動的物體，在時間Δt內由A點運動到B點。在這運動過程中，因為Δt特別小，可以看成是過A點切線方向速率為v的勻速直線運動和在AO方向初速率為零的勻加速直線運動的合運動。
物體過A點沿切線方向的速率為v，在AO方向上的初速率
v=0，當經過很短時間Δt內，物體由A點運動到B點，線速率
大小仍是v，但方向改變了向心加速度公式，因為方向的改變，使物體在AO方向獲得了分速率vt=vsin?。這時物體在AO方向速率的增量應是：ΔV=Vt-v0=vsin?。在這段時間內，物體沿切線方向勻速運動走過的距離可看成是由E到B，即EB=V·Δt
由此得到：
又按照加速度的定義式可得：
二、運用位移合成法推論
1、如圖（1）表示以速度v作勻速圓周運動的物體經
過很短時間Δt，由A點運動到B點，
于是有錯誤!未指定書簽。AB=VΔt
當Δt小到某種程度，即AB弦與AB弧幾乎重合，則有：AB弦
=AB弧=vΔt
假如物體坐落A點時，力的作用消失，則物體將沿切線方向作勻速運動，在Δt時間內經過位移vΔt。但實際上物體在Δt時間內沿圓周運動到了B點，這是因為物體還遭到向心力的作用，加速離開了切線，其位移為AF，它和過A點切線方向的位移vΔt合成上去，使物體由A聯通到B。因為時間Δt很短，向心力可近似看成在過A點的直徑方向，從圖中可以看出：
因為：ΔABC∽ΔABF
AF所以AB?ABAC
于是AF?將式代入此式并注意AC=2R
2VAF??t所以2R上式中v、R都是常量，此時表明位移AF與時間Δt的平方成反比，符合勻加速直線運動的規律。與初速率為零的勻加速直線運動的位移公式
2S?1at2相比較，可得出勻速圓周運動的向心加速度公式
v2a?R為：
2、圖（2）表示物體以速度v作勻速圓周運動的情形，在很短時間Δt內由A點運動到B點，與上題思索方式不同的是，如今把該運動過程看成是同時參與兩個分運動的合運動。一個是沿切線方向上的勻速直線運動，其速率就是v，在時間Δt內物體由A點運動到C點，則
?t①AC?v·另一個是在向心力作用下沿半徑BD方向做初速率為零，加速度為a的勻加速運動向心加速度公式，在相同的時間Δt
內，物體由C運動到B，
21CB?a?t2則
由幾何學中圓外同一點所做切割線與切線的關系得：
2v2?t2?2R1a?t2將兩式代入式得：
通分后得：
a?v2R這就是向心加速度。
三、運用速率位移公式法推論
如圖表示以速度v做勻速圓周運動的物體，在極短時間Δt內由A點聯通到B點。在這段運動過程中，仍看成是過A
點沿切線方向速率為v的勻速直線運動和在AO方向初速率為零的勻加速直線運動的合運動，與上述方式二、1不同的是在AO方向
2的加速運動，可應用速率與位移的關系式：vt?2aAE
則
a?
從右示圖中可看出：
AE?ABsin?2
?AB?而
所以AE?
而由上述“速度增量推法一”知：vt?vsin?所以