常常看球類比賽的同志們一定曉得一句話，稱作“國足誰都贏不了，國乒誰都贏不了！”，這句話內涵相當豐富（笑ing）。曾有過這樣一名國乒球員，憑一手“魔鬼回旋球”，成就“發球一次得一分，仍然擊球仍然得分”的神話，他便是曾在2008年上海全運會上過五關斬六將，博得女子兵乓球單打金牌的老隊員——馬琳
所謂“魔鬼回旋球”，也叫“零式擊球”，是讓兵乓球在發出后“不頒布”，反倒向球網回滾的急下旋擊球。這些球過網高度低，前沖性小，下旋強烈，通常的反膠選手很容易“扎網吃球”。
來來來，我們來瞧瞧馬琳的“魔鬼回旋球”！
我們看見，兵乓球被發出后，居然奇跡般地跑了一個“U”形的路線!
這個“U”形“魔鬼回旋球”究竟是怎么做到的？兵乓球被發出后又是怎樣產生“U”形軌跡的呢？這樣的問題迸發了好多化學學者的好奇心。并且，這種問題研究上去有一定的難度。我們看見，兵乓球在運動過程中會與球臺發生碰撞，而且在碰撞時就會遭到磨擦力的作用，運動情況相當復雜。而數學學力求“簡單美”，我們也希望所研究的數學模型愈發簡單但不失嚴格性。我們就不妨先不去研究兵乓球與球臺的那極其復雜的碰撞過程，轉而去研究一種類似的但同樣非常奇妙的運動——乒乓球在水平面內的“回滾”運動，這個運動就相對地簡單了許多。
兵乓球的“回滾”運動很容易能夠實現:我們把兵乓球置于椅子上，按壓兵乓球的中后部，把兵乓球“搓”出去。只要我們“搓”的力度足夠大，兵乓球都會發生“回滾”現象。如同這樣：
是不是很簡單但又有趣呢？此刻的你想不想對它公然研究一番呢？
兵乓球的回滾問題是理論熱學中的一個典型應用題。如今，我們就來仔細研究一下。
兵乓球回滾的理論剖析
我們假定兵乓球被按壓出去后就能迅速恢復形變，并把兵乓球在以后的運動看做平面質心的運動。假定兵乓球初始時刻剛體的速率為
，其繞中心軸逆秒針旋轉的角速率為
.以剛體初速率方向為
軸正向，豎直向下為
軸正向，完善本征座標系
，如右圖所示：
在這個階段，兵乓球是仍然在“打滑”的，也就是不滿足無滑條件。我們對兵乓球進行受力剖析并列舉多項式：
(1)
其中
是兵乓球相對于初始時刻的拐角，
是兵乓球的質量，
是兵乓球的直徑。我們看見，這種多項式中未知數有5個，分別是：
.很顯著，光靠這三個等式是解不下來的，還須要補充下邊這兩個等式：
(2)
聯合(1)、(2)兩式，很容易地解出
(3)
假如再加上初始條件
和
的話，就可以得到剛體位置和拐角關于時間的解
(4)
我們清楚地看見：剛體位置和轉角都是關于時間的二次函數，但是二次項系數都是負值。這就說明，兵乓球在運動到一定時刻后，還會“掉頭回轉”，跑回去。并且……
我們須要明晰一個問題——微分等式解的“有效性”，像式(4)這樣的解，不是始終都組建的。當兵乓球達到無滑滾動的狀態時，我們的最原始的受力剖析就出現問題了：無滑滾動時地面對兵乓球的磨擦力可不等于動磨擦質數與正壓力的乘積啊！而這一多項式應該換成無滑條件:
問題復雜了……
我們不妨來想一個簡單的問題：對于任意給定的初速率和初始角速率，兵乓球都能回滾嗎？答案是否定的。我們來繼續研究兵乓球達到無滑滾動后的運動。我們將無滑條件代入(3)式，求出達到無滑滾動的時刻
，此時剛體的速率和兵乓球轉動的角速率分別為
從這兩個多項式中我們就可以看見，兵乓球并不是總能滾回去的，它還有可能停止滾動或則繼續往前滾動，那些都取決于初始時刻的轉動角速率和形心速率。
實際上，這樣的圖象挺好理解：當球的剛體初速率很大的時侯，兵乓球就不能回滾，而是達到純滾動后繼續往前滾動；若是條件控制得當的話，兵乓球也能停出來，靜止在剛體速率和兵乓球轉動角速率同時減少至零的位置。
于是，一個判斷條件就來了：當
時，我們令
，則有：
以上便是未達到純滾動時兵乓球的運動狀態。達到純滾動后的運動很容易理解，若兵乓球剛體速率不為零，則剛體作勻速直線運動，兵乓球相對剛體轉動的角速率
則為定值
至此，兵乓球“回滾”的數學圖象就早已非常清晰了。我們看見：兵乓球“回滾”只是其中的一種運動，它達到純滾后還有可能繼續往前運動，或則原地“站住”，靜止不動。
假如哪位同志有幸出席了2016年上海師范學院第十五屆青年班主任基本功比賽，都會聽到這樣的一個畫面。化學學系班主任涂展春以“乒乓球回滾”為核心問題講授了《剛體平面平行運動動力學》一課，詳盡述說了質心平面平行運動的知識，并深入淺出地剖析了兵乓球“回滾”的過程。
咦？這個示意圖如何有點奇怪呢？完整的動漫是這樣的：
如何覺得跟我們平時看到的兵乓球不太一樣呢？
其實，這兒呈現的是一個動漫模擬圖。假如諸位真的準備去拍攝兵乓球的回滾的視頻，都會發覺，因為兵乓球運動太快，手機或則普通的攝影機根本捕捉不到清晰的圖象，必須使用高速攝影機能夠將過程拍攝出來。高速攝影機不是通常的貴。于是，參賽選手就借助了強悍的多媒體技術，將221張圖片疊成一副1/8倍速動漫，展示在了你們面前。為了就能分辨“乒乓球”在旋轉，選手還特意在勾畫的圓上添加了一些幾何圖形，這樣就變得很直觀了。
這確實有點難度。不僅技術上存在困難，這個模擬圖上還存在一個不大又不小的問題，也是平面動漫的“通病”——少了些必要的“立體感”。這就促使動漫看起來不像是兵乓球在“回滾”，而是一個類似圓錐體的物體在“回滾”。于是，筆者決定，用強悍的工具——，通過編程來重制乒乓球回滾的模擬圖！
勾畫兵乓球靜態圖
要想讓圖動上去，就須要一個容易操控的靜態圖，然后，改變其中的參數，使之伴隨時間變化，就可以達到動漫的療效，例如這樣：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xs,ys,zs,l);
axis equal
shading interp;
我們就畫出了一個圓球：
這兒面用到了四維畫圖，其實，第四維度無法直接畫下來，就用顏色來表示了，這也剛好為我們觀察兵乓球的旋轉提供了便捷。剩下的事情，便是做運算，而后控制動漫的勾畫，運算的多項式在這兒就不陳述了，你們可以翻前文來看哈！有一些難度的是動漫的勾畫。例如，我們想讓這個圓球轉上去靜止時摩擦力等于什么，如何實現呢？我們就能直接想到的是用命令。并且，這個命令有一個致命的缺點，就是要先畫出原圖形，再進行旋轉。當使用循環作圖的時侯靜止時摩擦力等于什么，圖形窗口沒有時間來相應命令，還會出現圖形顫動或則“看起來不旋轉”的問題。
深陷麻煩之中……
然而，車到山前必有路。顯然，我們完全可以不用上面外置的指令，而是自己去寫一個函數，讓這個函數先將座標“旋轉”好，再用surf指令繪圖。
就如此干！
勾畫兵乓球動態圖
你們一定學過線性代數，曉得若將一個點
繞著某個軸旋轉，可以由一個線性變換矩陣來實現，例如令其繞著
軸旋轉，就是這樣：
這么，令其繞著一條直線旋轉呢？我們假定這條直線平行于
軸，這么，決定這個直線的參數只有兩個，便是這條直線的
座標和
座標。此時，旋轉后的點就可以這樣表示：
你們應當會發覺，
，這也能看出直線的縱座標對旋轉沒有影響，我們也就不須要傳入直線的縱座標參數了。考慮到要估算的數據是矩陣方式，我們把里面的矩陣方程寫成三個數目方程，并使其返回值為旋轉后的座標。按照這個原理，我們才能作出兵乓球繞其瞬時軸旋轉的動漫啦！如同這樣：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
for t=1:1:180
[xl,yl,zl]=rotter(0,0,xs,ys,zs,t*3*pi/180);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xl,yl,zl,l);
axis equal;
shading interp;
pause(0.1)
drawnow;
end
function [xs,ys,zs]=rotter(xc,zc,x,y,z,th)
xs=xc+cos(th)*(x-xc)+sin(th)*(z-zc);
ys=y;
zs=zc-sin(th)*(x-xc)+cos(th)*(z-zc);
end
↓~療效還不錯~↓
就差把估算加入進去啦！只須要經歷一段嚴謹的邏輯性的書寫過程，程序都會大功告成！我們來瞧瞧最后的結果！
~回滾~
~繼續往前滾動~
~停止滾動~
大功告成！療效還是挺好的~
最后是彩蛋時間！這兒有涂展春老師的賽事現場視頻喲！還不來看？
↓↓↓↓↓
來源：京師物理
編輯：Quanta Yuan
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