常常看球類比賽的同志們一定曉得一句話，稱作“國足誰都贏不了，國乒誰都贏不了！”，這句話內(nèi)涵相當(dāng)豐富（笑ing）。曾有過這樣一名國乒球員，憑一手“魔鬼回旋球”，成就“發(fā)球一次得一分，仍然擊球仍然得分”的神話，他便是曾在2008年上海全運(yùn)會上過五關(guān)斬六將，博得女子兵乓球單打金牌的老隊(duì)員——馬琳
所謂“魔鬼回旋球”，也叫“零式擊球”，是讓兵乓球在發(fā)出后“不頒布”，反倒向球網(wǎng)回滾的急下旋擊球。這些球過網(wǎng)高度低，前沖性小，下旋強(qiáng)烈，通常的反膠選手很容易“扎網(wǎng)吃球”。
來來來，我們來瞧瞧馬琳的“魔鬼回旋球”！
我們看見，兵乓球被發(fā)出后，居然奇跡般地跑了一個“U”形的路線!
這個“U”形“魔鬼回旋球”究竟是怎么做到的？兵乓球被發(fā)出后又是怎樣產(chǎn)生“U”形軌跡的呢？這樣的問題迸發(fā)了好多化學(xué)學(xué)者的好奇心。并且，這種問題研究上去有一定的難度。我們看見，兵乓球在運(yùn)動過程中會與球臺發(fā)生碰撞，而且在碰撞時就會遭到磨擦力的作用，運(yùn)動情況相當(dāng)復(fù)雜。而數(shù)學(xué)學(xué)力求“簡單美”，我們也希望所研究的數(shù)學(xué)模型愈發(fā)簡單但不失嚴(yán)格性。我們就不妨先不去研究兵乓球與球臺的那極其復(fù)雜的碰撞過程，轉(zhuǎn)而去研究一種類似的但同樣非常奇妙的運(yùn)動——乒乓球在水平面內(nèi)的“回滾”運(yùn)動，這個運(yùn)動就相對地簡單了許多。
兵乓球的“回滾”運(yùn)動很容易能夠?qū)崿F(xiàn):我們把兵乓球置于椅子上，按壓兵乓球的中后部，把兵乓球“搓”出去。只要我們“搓”的力度足夠大，兵乓球都會發(fā)生“回滾”現(xiàn)象。如同這樣：
是不是很簡單但又有趣呢？此刻的你想不想對它公然研究一番呢？
兵乓球的回滾問題是理論熱學(xué)中的一個典型應(yīng)用題。如今，我們就來仔細(xì)研究一下。
兵乓球回滾的理論剖析
我們假定兵乓球被按壓出去后就能迅速恢復(fù)形變，并把兵乓球在以后的運(yùn)動看做平面質(zhì)心的運(yùn)動。假定兵乓球初始時刻剛體的速率為
，其繞中心軸逆秒針旋轉(zhuǎn)的角速率為
.以剛體初速率方向?yàn)?span style="display:none">NZO物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
軸正向，豎直向下為
軸正向，完善本征座標(biāo)系
，如右圖所示：
在這個階段，兵乓球是仍然在“打滑”的，也就是不滿足無滑條件。我們對兵乓球進(jìn)行受力剖析并列舉多項(xiàng)式：
(1)
其中
是兵乓球相對于初始時刻的拐角，
是兵乓球的質(zhì)量，
是兵乓球的直徑。我們看見，這種多項(xiàng)式中未知數(shù)有5個，分別是：
.很顯著，光靠這三個等式是解不下來的，還須要補(bǔ)充下邊這兩個等式：
(2)
聯(lián)合(1)、(2)兩式，很容易地解出
(3)
假如再加上初始條件
和
的話，就可以得到剛體位置和拐角關(guān)于時間的解
(4)
我們清楚地看見：剛體位置和轉(zhuǎn)角都是關(guān)于時間的二次函數(shù)，但是二次項(xiàng)系數(shù)都是負(fù)值。這就說明，兵乓球在運(yùn)動到一定時刻后，還會“掉頭回轉(zhuǎn)”，跑回去。并且……
我們須要明晰一個問題——微分等式解的“有效性”，像式(4)這樣的解，不是始終都組建的。當(dāng)兵乓球達(dá)到無滑滾動的狀態(tài)時，我們的最原始的受力剖析就出現(xiàn)問題了：無滑滾動時地面對兵乓球的磨擦力可不等于動磨擦質(zhì)數(shù)與正壓力的乘積啊！而這一多項(xiàng)式應(yīng)該換成無滑條件:
問題復(fù)雜了……
我們不妨來想一個簡單的問題：對于任意給定的初速率和初始角速率，兵乓球都能回滾嗎？答案是否定的。我們來繼續(xù)研究兵乓球達(dá)到無滑滾動后的運(yùn)動。我們將無滑條件代入(3)式，求出達(dá)到無滑滾動的時刻
，此時剛體的速率和兵乓球轉(zhuǎn)動的角速率分別為
從這兩個多項(xiàng)式中我們就可以看見，兵乓球并不是總能滾回去的，它還有可能停止?jié)L動或則繼續(xù)往前滾動，那些都取決于初始時刻的轉(zhuǎn)動角速率和形心速率。
實(shí)際上，這樣的圖象挺好理解：當(dāng)球的剛體初速率很大的時侯，兵乓球就不能回滾，而是達(dá)到純滾動后繼續(xù)往前滾動；若是條件控制得當(dāng)?shù)脑挘仪蛞材芡３鰜恚o止在剛體速率和兵乓球轉(zhuǎn)動角速率同時減少至零的位置。
于是，一個判斷條件就來了：當(dāng)
時，我們令
，則有：
以上便是未達(dá)到純滾動時兵乓球的運(yùn)動狀態(tài)。達(dá)到純滾動后的運(yùn)動很容易理解，若兵乓球剛體速率不為零，則剛體作勻速直線運(yùn)動，兵乓球相對剛體轉(zhuǎn)動的角速率
則為定值
至此，兵乓球“回滾”的數(shù)學(xué)圖象就早已非常清晰了。我們看見：兵乓球“回滾”只是其中的一種運(yùn)動，它達(dá)到純滾后還有可能繼續(xù)往前運(yùn)動，或則原地“站住”，靜止不動。
假如哪位同志有幸出席了2016年上海師范學(xué)院第十五屆青年班主任基本功比賽，都會聽到這樣的一個畫面。化學(xué)學(xué)系班主任涂展春以“乒乓球回滾”為核心問題講授了《剛體平面平行運(yùn)動動力學(xué)》一課，詳盡述說了質(zhì)心平面平行運(yùn)動的知識，并深入淺出地剖析了兵乓球“回滾”的過程。
咦？這個示意圖如何有點(diǎn)奇怪呢？完整的動漫是這樣的：
如何覺得跟我們平時看到的兵乓球不太一樣呢？
其實(shí)，這兒呈現(xiàn)的是一個動漫模擬圖。假如諸位真的準(zhǔn)備去拍攝兵乓球的回滾的視頻，都會發(fā)覺，因?yàn)楸仪蜻\(yùn)動太快，手機(jī)或則普通的攝影機(jī)根本捕捉不到清晰的圖象，必須使用高速攝影機(jī)能夠?qū)⑦^程拍攝出來。高速攝影機(jī)不是通常的貴。于是，參賽選手就借助了強(qiáng)悍的多媒體技術(shù)，將221張圖片疊成一副1/8倍速動漫，展示在了你們面前。為了就能分辨“乒乓球”在旋轉(zhuǎn)，選手還特意在勾畫的圓上添加了一些幾何圖形，這樣就變得很直觀了。
這確實(shí)有點(diǎn)難度。不僅技術(shù)上存在困難，這個模擬圖上還存在一個不大又不小的問題，也是平面動漫的“通病”——少了些必要的“立體感”。這就促使動漫看起來不像是兵乓球在“回滾”，而是一個類似圓錐體的物體在“回滾”。于是，筆者決定，用強(qiáng)悍的工具——，通過編程來重制乒乓球回滾的模擬圖！
勾畫兵乓球靜態(tài)圖
要想讓圖動上去，就須要一個容易操控的靜態(tài)圖，然后，改變其中的參數(shù)，使之伴隨時間變化，就可以達(dá)到動漫的療效，例如這樣：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xs,ys,zs,l);
axis equal
shading interp;
我們就畫出了一個圓球：
這兒面用到了四維畫圖，其實(shí)，第四維度無法直接畫下來，就用顏色來表示了，這也剛好為我們觀察兵乓球的旋轉(zhuǎn)提供了便捷。剩下的事情，便是做運(yùn)算，而后控制動漫的勾畫，運(yùn)算的多項(xiàng)式在這兒就不陳述了，你們可以翻前文來看哈！有一些難度的是動漫的勾畫。例如，我們想讓這個圓球轉(zhuǎn)上去靜止時摩擦力等于什么，如何實(shí)現(xiàn)呢？我們就能直接想到的是用命令。并且，這個命令有一個致命的缺點(diǎn)，就是要先畫出原圖形，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。當(dāng)使用循環(huán)作圖的時侯靜止時摩擦力等于什么，圖形窗口沒有時間來相應(yīng)命令，還會出現(xiàn)圖形顫動或則“看起來不旋轉(zhuǎn)”的問題。
深陷麻煩之中……
然而，車到山前必有路。顯然，我們完全可以不用上面外置的指令，而是自己去寫一個函數(shù)，讓這個函數(shù)先將座標(biāo)“旋轉(zhuǎn)”好，再用surf指令繪圖。
就如此干！
勾畫兵乓球動態(tài)圖
你們一定學(xué)過線性代數(shù)，曉得若將一個點(diǎn)
繞著某個軸旋轉(zhuǎn)，可以由一個線性變換矩陣來實(shí)現(xiàn)，例如令其繞著
軸旋轉(zhuǎn)，就是這樣：
這么，令其繞著一條直線旋轉(zhuǎn)呢？我們假定這條直線平行于
軸，這么，決定這個直線的參數(shù)只有兩個，便是這條直線的
座標(biāo)和
座標(biāo)。此時，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)就可以這樣表示：
你們應(yīng)當(dāng)會發(fā)覺，
，這也能看出直線的縱座標(biāo)對旋轉(zhuǎn)沒有影響，我們也就不須要傳入直線的縱座標(biāo)參數(shù)了。考慮到要估算的數(shù)據(jù)是矩陣方式，我們把里面的矩陣方程寫成三個數(shù)目方程，并使其返回值為旋轉(zhuǎn)后的座標(biāo)。按照這個原理，我們才能作出兵乓球繞其瞬時軸旋轉(zhuǎn)的動漫啦！如同這樣：
[ps,ts]=meshgrid(linspace(0,2*pi,100),linspace(0,pi,100));
xs=cos(ts);
ys=sin(ts).*cos(ps);
zs=sin(ts).*sin(ps);
for t=1:1:180
[xl,yl,zl]=rotter(0,0,xs,ys,zs,t*3*pi/180);
l=xs.^2+ys.^2-zs.^2;
surf(xl,yl,zl,l);
axis equal;
shading interp;
pause(0.1)
drawnow;
end
function [xs,ys,zs]=rotter(xc,zc,x,y,z,th)
xs=xc+cos(th)*(x-xc)+sin(th)*(z-zc);
ys=y;
zs=zc-sin(th)*(x-xc)+cos(th)*(z-zc);
end
↓~療效還不錯~↓
就差把估算加入進(jìn)去啦！只須要經(jīng)歷一段嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓缘臅鴮戇^程，程序都會大功告成！我們來瞧瞧最后的結(jié)果！
~回滾~
~繼續(xù)往前滾動~
~停止?jié)L動~
大功告成！療效還是挺好的~
最后是彩蛋時間！這兒有涂展春老師的賽事現(xiàn)場視頻喲！還不來看？
↓↓↓↓↓
來源：京師物理
編輯：Quanta Yuan
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