傳送帶模型剖析
情境
傳送帶類別
圖示
滑塊可能的運(yùn)動(dòng)情況
滑塊受（磨擦）力剖析
情境1
水平
仍然加速
受力f=μmg
先加速后勻速
先受力f=μmg，后f=0
情境2
水平
v0>v，仍然減速
受力f=μmg
v0>v，先減速再勻速
先受力f=μmg，后f=0
v0
受力f=μmg
v0
先受力f=μmg，后f=0
情境3
水平
傳送帶寬度lv，滑塊先減速再往右加速，最后勻速，抵達(dá)右端速率為v
減速和反向加速時(shí)受力f=μmg（方向始終往右），勻速運(yùn)動(dòng)f=0
情境4
傾斜
仍然加速
受磨擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受磨擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
情境5
傾斜
仍然加速
受磨擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受磨擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
先以加速度a1加速，后以加速度a2加速
先受磨擦力f=μmgcosθ，后受反向的磨擦力f=μmgcosθ
情境6
傾斜
仍然加速
受磨擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受磨擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
仍然勻速（v0>v）
受磨擦力f=mgsinθ
仍然勻速（v0=v）
受磨擦力f=0
先以加速度a1加速，后以加速度a2加速
先受磨擦力f=μmgcosθ，后受反向的磨擦力f=μmgcosθ
情境7
傾斜
仍然加速
受磨擦力f=μmgcosθ
仍然勻速
受磨擦力f=mgsinθ
先減速后反向加速
受磨擦力f=μmgcosθ，
應(yīng)用舉例
【例1】如圖1所示，一水平傳送裝置由輪直徑均為R的主動(dòng)輪O1和從動(dòng)輪O2及傳送帶等構(gòu)成。三輪軸心相距8.0m，輪與傳送帶不抱死?，F(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋大米，已知這袋大米與傳送帶之間的動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)為μ＝0.4。（g取10m/s2）求
（1）當(dāng)傳送帶以4.0m/s的速率勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋大米由上端O2正上方的A點(diǎn)輕置于傳送帶上后（設(shè)面條初速率近似為零），這袋大米由A端運(yùn)送到O1正上方的B端所用的時(shí)間為多少？
（2）要想盡早將面條由A端送到B端，主動(dòng)輪O1的怠速起碼應(yīng)為多大？
【解析】設(shè)這袋大米質(zhì)量為m，其在與傳送帶形成相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中所受磨擦力f＝μmg。故其加速度為a＝＝μg＝4.0m/s2。
（1）若傳送帶的速率v帶＝4.0m/s傳送帶摩擦力受力分析，則這袋大米加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝v帶/a＝1.0s，在t1時(shí)間內(nèi)的位移x1為x1＝at12＝2.0m。
其后以v＝4.0m/s的速率做勻速運(yùn)動(dòng)，
x2＝lAB－x1＝vt2，
解得：t2＝1.5s。
運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t＝t1＋t2＝2.5s。
（2）要想時(shí)間最短，這袋大米應(yīng)仍然向B端做加速運(yùn)動(dòng)，由lAB＝at′2可得t′＝2.0s。
面條抵達(dá)B端時(shí)的速率v′＝at′＝8.0m/s，即傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的最小速率。
由v′＝ωR＝2πnR可得：n=？r/min。
【例2】如圖2所示，質(zhì)量為m的物體從離傳送帶高為H處沿光滑弧形軌道下降，水平滑上長(zhǎng)為L(zhǎng)的靜止的傳送帶并落在水平地面的Q點(diǎn)，已知物體與傳送帶間的動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)為μ，則當(dāng)傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體仍以上述方法滑下，將落在Q點(diǎn)的右邊還是左側(cè)？
【解析】物體從P點(diǎn)滑下，設(shè)水平滑上傳送帶時(shí)的速率為v0，則由機(jī)械能守恒mgH=mv02，可得。
當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力知物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，a=μmg/m=μg。物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率為，此后做平拋運(yùn)動(dòng)而落在Q點(diǎn)。當(dāng)傳送帶逆秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力情況與傳送帶靜止時(shí)相同，因此物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率仍為，此后做平拋運(yùn)動(dòng)而仍落在Q點(diǎn)。（當(dāng)v02
當(dāng)傳送帶順秒針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可能出現(xiàn)五種情況：
（1）當(dāng)傳送帶的速率v較小，時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力可知，物體仍然做勻減速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率為，因此仍將落在Q點(diǎn)。
（2）當(dāng)傳送帶的速率時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力可知，物體將在傳送帶上先做勻減速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率，因此將落在Q點(diǎn)的一側(cè)。
（3）當(dāng)傳送帶的速率=v0時(shí)，則物體在傳送帶上不受磨擦力的作用而做勻速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率，因此將落在Q點(diǎn)的一側(cè)。
（4）當(dāng)傳送帶的速率時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力可知，物體將在傳送帶上先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率，因此將落在Q點(diǎn)的一側(cè)。
（5）當(dāng)傳送帶的速率v較大時(shí)，剖析物體在傳送帶上的受力可知，物體仍然做勻加速運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)傳送帶時(shí)的速率為，因此將落在Q點(diǎn)的一側(cè)。
綜上所述：
當(dāng)傳送帶逆秒針轉(zhuǎn)動(dòng)或順秒針轉(zhuǎn)動(dòng)且速率時(shí)，物體仍將落在Q點(diǎn)；
當(dāng)傳送帶順秒針轉(zhuǎn)動(dòng)且速率時(shí)，物體將落在Q點(diǎn)的一側(cè)。
【例3】如圖3所示，緊繃的傳送帶，仍然以2m/s的速率勻速斜向下運(yùn)行，傳送帶與水平方向間的傾角θ＝30°。現(xiàn)把質(zhì)量為10kg的螺孔輕輕地置于傳送帶底端P處，由傳送帶傳送至頂端Q處。已知P、Q之間的距離為4m，螺孔與傳送帶間的動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)為μ＝，取g＝10m/s2。求：
（1）通過(guò)估算說(shuō)明型腔在傳送帶上做哪些運(yùn)動(dòng)；
（2）求型腔從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間。
【解析】（1）對(duì)型腔進(jìn)行受力剖析，由牛頓第二定理得：
μmgcosθ－mgsinθ＝ma，
代入數(shù)值得：a＝2.5m/s2。
則其速率達(dá)到傳送帶速率時(shí)發(fā)生的位移為x1＝＝0.8m
可見(jiàn)型腔先勻加速運(yùn)動(dòng)0.8m，之后勻速運(yùn)動(dòng)3.2m。
（2）勻加速時(shí)傳送帶摩擦力受力分析，由x1＝t1得t1＝0.8s，
勻速上升時(shí)t2＝＝1.6s，
所以型腔從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間為t＝t1＋t2＝2.4s。
【例4】如圖4所示，傳送帶與水平面傾角為37°，并以v=10m/s運(yùn)行，在傳送帶的A端輕輕放一個(gè)小物體，物體與傳送帶之間的動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)μ=0.5，AB長(zhǎng)16m，求：以下兩種情況下物體從A到B所用的時(shí)間。
（1）傳送帶順秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；
（2）傳送帶逆秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。
【解析】（1）傳送帶順秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受力如圖4-1，由牛頓第二定理得
mgsinθ－μmgcosθ=ma，
物體下降的加速度為a=gsinθ－μgcosθ=2m/s2。
加速的位移為s=at2，故有加速的時(shí)間為：。
（2）傳送帶逆秒針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)物體受力如圖4-2，開(kāi)始磨擦力方向向上，向上勻加速運(yùn)動(dòng)。
a=°+μ°=10m/s2，
加速的時(shí)間為t1=v/a=1s。
加速的位移為s1=at2=5m，
還剩位移s2=11m。
由題意，1s后，速率達(dá)到10m/s，磨擦力方向變?yōu)橄蛳?，由牛頓第二定理得
a2=gsin37°-μgcos37°=2m/s2。
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得s2=vt2+a2t22，解得t2=1s，
故從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為t=t1+t2=2s。
題后反省
在水平方向的傳送帶問(wèn)題中物塊的受力主要是討論滑動(dòng)磨擦力，在存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)才會(huì)存在磨擦力，因而剖析問(wèn)題時(shí)以滑塊是否與傳送帶共速為臨界進(jìn)行剖析討論。
在斜面方向上的傳送帶問(wèn)題中物塊的受力就要復(fù)雜些了，物體相對(duì)傳送帶滑動(dòng)或則有滑動(dòng)的趨勢(shì)是判別磨擦力方向的關(guān)鍵，例如滑塊遭到沿斜面向上的滑動(dòng)磨擦力作用，這樣物體在沿斜面方向上所受的合力為重力的下降分力和向上的滑動(dòng)磨擦力，物體要做勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)物體加速到與傳送帶有相同速率時(shí)，磨擦力情況要發(fā)生變化，同速的頓時(shí)可以看成兩者間相對(duì)靜止，無(wú)滑動(dòng)磨擦力，但物體此時(shí)還遭到重力的下降分力作用，因而相對(duì)于傳送帶有向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。若重力的下降分力小于物體和傳送帶之間的最大靜磨擦力，此時(shí)有μ＜tanθ，則物體將向上加速，所受磨擦力為沿斜面向下的滑動(dòng)磨擦力；若重力的下降分力大于或等于物體和傳送帶之間的最大靜磨擦力，此時(shí)有μ≥tanθ，則物體將和傳送帶相對(duì)靜止一起向上勻速運(yùn)動(dòng)，所受靜磨擦力沿斜面向下，大小等于重力的下降分力。也可能出現(xiàn)的情況是傳送帶比較短，物體還沒(méi)有加速到與傳送帶同速就早已滑到了底端，這樣物體全過(guò)程都是受沿斜面向下的滑動(dòng)磨擦力作用。