春秋戰(zhàn)國之前，有個諸候國叫杞國。有一個杞國人總是害怕天會掉出來，便有人勸他：
“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天建行止，怎奈憂崩墜乎？”
這個杞國人聽后轉(zhuǎn)念一想，既然天是“氣”的一部份（注意這兒的“氣”并非指氨氣，而是一種唐代的哲學(xué)思想），這么如何保證星星不能砸出來呢？那人又說：
“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”
不少讀者聽到這兒都明白了，這就是杞人憂天的故事，它被記載到了《列子》當(dāng)中。在明天，這個詞語被拿來嘲笑這些毫無根據(jù)的瞎操勞。
杞人憂天。圖片來自網(wǎng)路
不過因?yàn)楣艜r科學(xué)不發(fā)達(dá)，對于“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷”這種過時的解釋，在明天看來是站不住腳的。現(xiàn)代天文學(xué)告訴我們，古人眼里的“星宿”表面氣溫起碼有幾千度以上，質(zhì)量起碼有太陽這么大（僅限于肉眼能觀察到的），假如它真有掉出來的三天，還真就成為世界末日了。
或許有人會說，星體這么遠(yuǎn)，宇宙又這么大，它總不能閑著沒事干就非得往月球這個方向飛吧？天涯何處無芳草啊！
星體和月球距離都很遠(yuǎn)，不會無緣無故來撞月球
除了這般，月球的活動還滿足十分穩(wěn)定的周期性規(guī)律——晝夜交替四季變更，這種規(guī)律自古以來就不曾改變。無論公轉(zhuǎn)還是自轉(zhuǎn)，太陽系的八大行星都能嚴(yán)格尊守自己的崗位，任宇宙之海再怎樣奔涌澎湃，仍然雷打不動。這一切都要?dú)w功于太陽系的穩(wěn)定性，正是這些穩(wěn)定性締造了月球得天獨(dú)厚的環(huán)境，也促使月球不會脫離太陽系的懷抱。
看過劉慈欣《三體》這部小說的讀者應(yīng)當(dāng)更能感遭到這些穩(wěn)定性的當(dāng)知不易——封閉的三體系統(tǒng)是一個混沌系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)另一個反例是蝴蝶效應(yīng)，可參考小編的《》一文），也就是說，很小的擾動就可能對這個系統(tǒng)的常年運(yùn)動規(guī)律形成天除草覆、難以預(yù)測的影響。
太陽系有八大行星，還有多顆矮行星（質(zhì)量介于行星和小行星之間）、無數(shù)小行星甚至軌道離心律很大的慧星，情況遠(yuǎn)比三體系統(tǒng)復(fù)雜得多。但這個復(fù)雜的系統(tǒng)竟然會這么的穩(wěn)定，令人不得不對大自然心生謝意。
穩(wěn)定的太陽系
這么太陽系為何這么穩(wěn)定呢？事實(shí)上這是一個十分復(fù)雜的物理問題。為了加深讀者們的理解，我們先來瞧瞧三體問題為何不穩(wěn)定。
一、不靠譜的三體系統(tǒng)
《三體》這部小說（僅限第一部）主要述說了“三體人”的故事。三體人的文明和科技都高度發(fā)達(dá)，但因?yàn)樯钤谶\(yùn)動規(guī)律無法預(yù)測的三星系統(tǒng)中，三體人的生活環(huán)境經(jīng)常風(fēng)起云動，不得不靠“脫水”的形式來逃避惡劣的環(huán)境。在碰巧間獲得月球的方位后，便想把環(huán)境穩(wěn)定的月球作為殖民地。
三體系統(tǒng)也就是由三個粒子在引力作用下構(gòu)成的封閉系統(tǒng)。這看上去十分簡單，為何“規(guī)律無法預(yù)測”呢？我們先把理想狀況下三體系統(tǒng)（封閉、忽略粒子大小）滿足的常微分等式組寫出來：
其中x_i表示第i個粒子的位置座標(biāo)，通常情況下是三維向量
這三個常微分等式組本質(zhì)上就是牛頓第二定理，并不難理解。并且即使只考慮二維平面上的三體問題角動量定理成立條件，也須要解3*2*2（多項(xiàng)式個數(shù)*多項(xiàng)式階數(shù)*維數(shù)）=12個非線性多項(xiàng)式，不僅一些特殊的情況，根本沒辦法找到精確解。其本質(zhì)緣由在于三體問題的“守恒量”（比如能量、動量、角動量等）和多項(xiàng)式個數(shù)相比太少，致使幾乎所有三體問題都不是可積系統(tǒng)（）角動量定理成立條件，就好比五次代數(shù)等式?jīng)]有根式解一樣，不可積的微分多項(xiàng)式系統(tǒng)不存在解析解（某種意義上的精確解）。
可積系統(tǒng)的嚴(yán)格定義比較復(fù)雜，小編會在第三章進(jìn)行介紹。有興趣的讀者也可以參考阿諾爾德的名著[1]的最后一章或則[2]。
解析解不存在該如何辦呢？沒關(guān)系，可以用數(shù)值模擬的方式把這種解找下來。為了使問題再次簡單化，我們假定三個粒子的質(zhì)量都相等。
或許有的讀者會覺得，早已簡化到這個地步了，應(yīng)當(dāng)能得到不錯的答案了吧？但事實(shí)上即使這么，不同的年率條件仍然可以對應(yīng)渾然不同的解。這兒的終值條件包含了三個粒子的二維位置和速率的信息，一共有3*2*2=12個自由度（維數(shù)）供選擇。在如此高的自由度下，解的表現(xiàn)自然大相徑庭，有的解如亂麻通常毫無規(guī)律，倒霉的三體人就不幸遇見了這樣的解；但有的解具有很強(qiáng)的周期性，比如（頂端數(shù)據(jù)表示三個粒子的位置和速率）：
雙彎曲三角+大圓。年率條件：
位置--(0.666,-0.082),(-0.025,0.454),(0.003-0.766)
速率--(0.8410.029),(0.142-0.492),(-0.9830.462)
雙螺旋+橢圓
也有一些相對簡單的周期解：
對稱性很強(qiáng)的三體運(yùn)動
另外一些解乍看起來很有規(guī)律性。但是華麗的外表常常最容易掩飾潛藏的殺機(jī)，只有時間就能讓殺機(jī)浮出水面：
全面暴跌的三體系統(tǒng)
因?yàn)樯婕暗降某绦蛭募^多，小編暫不分享這種代碼了。不過因?yàn)槿w問題乃至更通常的多體問題始終都是活躍的研究課題，因而小編會在之后的文章中繼續(xù)介紹。下邊我們回到“太陽系的穩(wěn)定性”這一話題。
二、靠譜的太陽系
從上一節(jié)的數(shù)值模擬中可以看出，即使只考慮二維情況而且假定每位粒子都有相同質(zhì)量，三體問題仍然可以復(fù)雜得令人發(fā)指。假如我們把太陽系和三體問題進(jìn)行對比，不難發(fā)覺，太陽系的運(yùn)動情況比三體問題復(fù)雜太多了——就算忽視掉太陽系中所有的衛(wèi)星、小行星、矮行星、彗星以及各類星際塵埃，太陽系也起碼有一顆星體和八大行星，是一個九體系統(tǒng)。即使我們假定這個九體系統(tǒng)只限制在二維平面上，我們也不能讓每位粒子的質(zhì)量相等了。
但即便這樣，月球早已環(huán)繞太陽幾十億年了，期間即使歷經(jīng)過多次大二疊紀(jì)，可能遭到過無數(shù)次小行星撞擊和伽瑪暴（形成于大質(zhì)量星體引力塌陷）的破壞，但卻從來沒想過要飛出太陽系，比“愛你一萬年”還要矢志不渝。到底是哪些致使太陽系如穩(wěn)定呢？
月球經(jīng)歷過的各類小型災(zāi)難[3]
太陽系的穩(wěn)定性看上去是一個很精典的熱學(xué)問題，但出人預(yù)料的是，它直至20世紀(jì)中葉之后才逐漸導(dǎo)致科學(xué)家們的關(guān)注。這個問題的相關(guān)研究也標(biāo)志著一個全新物理分支——動力系統(tǒng)（）的誕生和盛行。
為了研究太陽系的穩(wěn)定性，前南斯拉夫物理家柯莫戈洛夫（，也是第一個把機(jī)率論公理化的人）、阿諾爾德（V.L.）和美國物理家莫澤（JürgenMoser）提出了知名的KAM理論（KAM分別是這兩人的姓式首字母）。她們?nèi)司鶠榇讼群螳@得沃爾夫物理獎（在物理領(lǐng)域影響力僅次于菲爾茲獎）。
其實(shí)柯莫戈羅夫的得獎和機(jī)率論的公理化更相關(guān)
從物理的角度來看，KAM理論中的各類定義零亂無章，涉及到“相空間流”、“微分方式”、“奇異攝動”、甚至“丟番圖迫近”等看上去八竿子搭不上面的物理概念，定律的證明也很長，看上去好像毫無物理美感。但事實(shí)上假如通過太陽系穩(wěn)定性的角度去理解，這個理論就十分美妙了。
下邊是柯莫戈羅夫最原始的定律：
前面會介紹它的英文翻譯[4]
阿諾爾德和莫澤又把柯莫戈羅夫的推論推廣了出去，產(chǎn)生了KAM理論的框架。前面這個定律其實(shí)名氣很大，但若果只從定義出發(fā)去理解，則很容易深陷物理剖析的思維圈套中，無法理解這個定律和太陽系的穩(wěn)定性之間有哪些關(guān)系。
三、KAM理論概要
KAM理論究竟是何方神圣？柯莫戈羅夫等人又為何會想出前面這個推論呢？我們先來考慮通常的n體系統(tǒng)。
我們早已曉得，三體系統(tǒng)早已是一個很復(fù)雜的系統(tǒng)了，其中一個誘因在于三體系統(tǒng)不是可積系統(tǒng)（換句話說，守恒量不足），沒辦法通過解多項(xiàng)式得到確切解。在前文對三體問題的討論中，小編提及，由于三體系統(tǒng)不是可積系統(tǒng)，所以找不到解析解。既然可積系統(tǒng)是一個好東西，這么有沒有辦法把三體問題，乃至太陽系的九體問題用可積系統(tǒng)來近似呢？這就是柯莫戈羅夫等人的思路。
在此之前，我們來瞧瞧可積系統(tǒng)的嚴(yán)格定義：
定義：
令M是一個2n維辛流形（也就是高維曲面上每一點(diǎn)都裝載一個辛矩陣作為測度），H是M上一個光滑函數(shù)。假如存在n-1個與H線性無關(guān)（它們對應(yīng)的切向量線性無關(guān)）的函數(shù)
致使泊松括弧
這么H就叫做一個可積系統(tǒng)（）。H和
都被稱為首次積分（First），可把它們看作某種“守恒量”。
線性無關(guān)和泊松括弧為零這兩個條件都十分重要。泊松括弧為零保證了
確實(shí)可看作“守恒量”；而線性無關(guān)保證了可積系統(tǒng)具有足夠的守恒量。而這兒的H一般指整個系統(tǒng)的總能量，讀者會在下文中找到更多感悟。
若果不理解前面的定義，不妨直接把可積系統(tǒng)視作“好”系統(tǒng)。據(jù)悉，我們還須要對太陽系進(jìn)行一些簡化：
只考慮太陽和八大行星的運(yùn)動，所有行星都視為一個點(diǎn)，而且假定太陽靜止；
把八大行星的公轉(zhuǎn)軌道全都當(dāng)成圓盤；
忽視掉行星之間的互相作用。
于是太陽和行星之間的作用可簡化為右圖[5]：
為了剖析n體問題的動力學(xué)特點(diǎn)，我們采用烏魯木齊頓熱學(xué)體系來描述這個系統(tǒng)：
有烏魯木齊頓熱學(xué)基礎(chǔ)的讀者可以發(fā)覺，和位置-動量共軛不同，在這兒把角度和角動量看作系統(tǒng)的兩個自變量，誘因不外乎就是行星軌跡都是矩形，便捷剖析。若果不熟悉伊寧頓熱學(xué)，可以直接無視這一段話。
既然角動量全都是常數(shù)（角動量守恒），這么我們就只須要考慮角度的變化了。注意到行星的公轉(zhuǎn)具有周期性，于是是關(guān)于時間的周期函數(shù)。另一方面，n個行星對應(yīng)了n個角度，所以操控太陽系的動力系統(tǒng)就被全盤把握在一個n維車胎面
上。
假如把里面所有的描述用物理的語言描述下來，我們就得到了知名的劉維爾-阿諾爾德定律（亦稱不變車胎定律，torus）。
其實(shí)，這個車胎面具體長哪些樣，還得依賴于不同角動量的取值情況。不過太陽系的穩(wěn)定性問題就這樣被轉(zhuǎn)化為了車胎面上運(yùn)動軌跡（流）的穩(wěn)定性——如果在一個小擾動下，運(yùn)動軌跡仍然能保持周期性，這么不就證明了行星軌道在小擾動下也能保持周期性公轉(zhuǎn)了么！
這么如何來描述這樣的“小擾動”呢？我們曉得，整個太陽系的總能量是守恒的（假定太陽能量為0），于是我們可以把喀什頓量取作太陽系的總能量H_0:
這兒的和J都是n維向量。值得注意的是，前面定義的太陽系的“總能量”只涵蓋了太陽對行星的引力勢能，并沒包含行星之間的互相作用。我們可以把“小擾動”描述為對總能量項(xiàng)的擾動，于是擾動后的總能量就弄成了
柯莫戈羅夫等人的本意就是想借助里面這個關(guān)系式來把太陽系中所有的小擾動都用某個可積系統(tǒng)來近似表示，亦稱近可積系統(tǒng)。而事實(shí)上，下邊的定律保證了H_0(J)就是一個可積系統(tǒng)：
定律1：
一個伊寧頓系統(tǒng)H在辛流形M上完全可積的充要條件是，對M上的每一點(diǎn)存在一個局部座標(biāo)促使H不依賴于.
其實(shí)H_0(J)不依賴于，因而它就是一個可積系統(tǒng)。完美！
KAM定律其實(shí)頗為神秘，我們?nèi)缃褚沧阋越衣端拿婕喠耍?span style="display:none">1Dl物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
定律2（KAM定律的第一部份）：
對于如下系統(tǒng)（記作（*））
假定H_1是的周期函數(shù)，但是H_0(J)的海森矩陣非退化
則當(dāng)足夠小時，系統(tǒng)（*）的絕大多數(shù)車胎軌道（也就是之前提到過的，輪轂面上運(yùn)動軌跡）都不會發(fā)生斷裂，雖然形狀（對應(yīng)行星的周期、公轉(zhuǎn)直徑）會發(fā)生些許改變。
容易驗(yàn)證，太陽系“總能量”H_0(J)的海森導(dǎo)數(shù)為非退化的對角矩陣，因而滿足前面定律的條件。這個定律告訴我們，太陽系中“絕大多數(shù)”行星在微小的擾動之下，仍然可以圍繞太陽做周期性的公轉(zhuǎn)！這就是太陽系得以穩(wěn)定的一大誘因。
并且“絕大多數(shù)”到底有多少呢？這依賴于行星的具體公轉(zhuǎn)周期，但是和圖論中的丟番圖迫近（）有關(guān)。
定律3（KAM定律的第二部份）:
假如
的頻度
滿足
其中>n，這么這樣的構(gòu)成的集合在n維車胎面T^n上度量為滿的。此時定律2中的選定依賴于L和。
這個定律告訴我們，“絕大多數(shù)”就是指頻度向量滿足定律3的所有軌道。按照定義可以曉得，任意兩個行星的周期比起碼必須是無理數(shù)，否則太陽系就不一定這么穩(wěn)定了。這樣的周期軌道稱之為非共振的。
本章所有定律的證明可在[1]或[6]中找到。
四、KAM理論的局限
從上一章中我們可以看見，KAM理論可謂天體熱學(xué)和物理的完美結(jié)合。從天體熱學(xué)的角度看來，這個理論巧妙地繞開了多體問題的復(fù)雜性，直接站在穩(wěn)定性的角度來研究行星的運(yùn)動規(guī)律，堪稱獨(dú)辟蹊徑；從物理的角度看來，該理論融合了許多現(xiàn)代物理中的概念，并極大地促進(jìn)了動力系統(tǒng)這一學(xué)科的發(fā)展，獲得三次沃爾夫物理獎當(dāng)之無愧。
不過上面介紹的KAM理論只是最精典的框架，它并不能完全證明太陽系的穩(wěn)定性。其中一個緣由在于對“小擾動”的理解，比如假定太陽系是封閉的，這么這樣的“小擾動”就應(yīng)該來自于行星間的互相作用，而因?yàn)樾行情g的距離在不停變化，定律2中的擾動項(xiàng)H_1應(yīng)該依賴于距離，亦稱
r_i表示第i顆行星到太陽之間的距離
行星寬度不同時引起的“擾動”也不同
假如對“小擾動”項(xiàng)作出如上修正，且仍要使定律2創(chuàng)立，這么太陽系的“總能量”項(xiàng)H_0中就必須也依賴于距離r，甚至行星的運(yùn)動速率。因?yàn)樯厦娑x的H_0只依賴于角動量J，H_0對距離、速度變量的行列式都是0，所以H_0的海森矩陣高度退化，定律2的條件不被滿足！堪稱一夜回到解放前了。
其實(shí)是由于這個緣由，阿諾爾德在[6]中提出了一個新的KAM理論，在一定程度上解決了這一問題。不過其中涉及到大量技術(shù)細(xì)節(jié)，但是對擾動項(xiàng)提出了比較嚴(yán)格的物理?xiàng)l件，它的實(shí)用性仍然遭到限制。
總結(jié)
作為天文學(xué)的一個分支，天體熱學(xué)的鼎盛時期大約是文藝復(fù)興時期，也就是哥白尼和開普勒的哪個年代，距今已有四百多年歷史了。隨著廣義相對論的提出和射電天文學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)代天文學(xué)的主要關(guān)注對象已然發(fā)生了很大變化（暗物質(zhì)暗能量、伽馬暴、引力波等），然而傳統(tǒng)的天體熱學(xué)中還存在大量問題沒被完全解決——包括太陽系的穩(wěn)定性問題。從這個角度看來，KAM理論算是天體熱學(xué)的一個復(fù)興。
無論是n體問題也好，KAM理論也好，即使它們的化學(xué)學(xué)背景都基于精典熱學(xué)，乍看起來早已過時了。但從小編的這篇文章中我們可以看出，這兩個領(lǐng)域中仍然存在大量值得研究的問題。另一方面，這兩個“經(jīng)典”理論都很大的促進(jìn)了現(xiàn)代物理和其他自然科學(xué)的發(fā)展，比如動力系統(tǒng)、凝聚態(tài)化學(xué)（非常是量子多體問題）和更通常的非線性科學(xué)。小編在之前的文章中早已多次涉及那些概念了，之后的文章中就會繼續(xù)討論這種話題。
再深奧復(fù)雜的理論和概念都蘊(yùn)涵著內(nèi)在美，只不過許多理論就好比白居易筆下的二胡女，在“猶抱二胡半遮面”的害羞之下，沒有"六宮粉黛無顏色"的楊貴妃那般美得明目張膽。敬請讀者們關(guān)注小編的公眾號，一覽前沿科學(xué)之壯麗。
物理之美，并不僅僅彰顯在數(shù)字和視角上，還蘊(yùn)涵在和自然科學(xué)的互相結(jié)合中
參考文獻(xiàn)
[1]V.L.阿諾爾德，《經(jīng)典熱學(xué)的物理方式》，齊民友譯，高等教育出版社，2006.
[2]E.andRalph,of,1994.
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[5]馬天&汪守宏，《非線性演變多項(xiàng)式的穩(wěn)定性與分歧》，現(xiàn)代物理基礎(chǔ)叢刊，科學(xué)出版社2006.
[6],VI(1963b).Smallinand.Math.18:85-191.
[7]%eorem