博科園-科學科譜：數學學類
博科園-科學科譜：數學學類
19世紀末，數學學上空飄著兩朵烏云。它們分別引起了兩場重要的革命：量子理論和相對論。
1.量子熱學
20世紀，經過普朗克、愛因斯坦、玻爾等人的努力，她們發展出了有史以來最深刻的理論之一——量子熱學。量子熱學以驚人的精確性，確切地描述了我們周圍的一切：它能解釋原子怎么運動，分子怎樣產生，事物為何會有顏色。在我們制造計算機所須要的這些電子設備時，它也同樣是不可或缺的重要部份。
量子熱學是在20世紀20年代提出的，最初拿來描述氫原子等原子。在量子熱學中量子物理學，能量并不是連續的，而是存在于一份一份的大包中，也就是所謂的量子。粒子所能擁有的能量值是離散的，它們沒法擁有量子與量子之間的這些能量值，我們可以將它們所搶占的能量視為一個“階梯”。我們在日常生活中難以感遭到這些基態，由于一個量子的能量是十分小的。量子是由約化普朗克常數設定的，大概為1×10-34J·s。
在量子世界中，有一些東西基本上是不可知的。諸如我們不可能同時精確地確定一個粒子的位置和速率，這就是海森堡不確定性原理。雖然擁有最先進的儀器，我們也未能同時精確檢測三者。這對能量的理解有著深遠的影響。
不確定性原理促使一切都具有少量能量，雖然是在絕對零度，也有所謂的“零點能量”；哪怕是在空無一物的真空之中，也飽含了能量漲落。量子熱學還表明，波與粒子之間存在一種基本的關聯。也就是說，事物有時能同時表現出這兩種性質！化學學家稱之為波粒二象性。
值得注意的是，量子熱學是機率性的理論。這意味著它只能告訴我們測得某一結果的機率。而觀測會促使系統選擇一個可能的值。化學學家早已通過實驗驗證了這些行為。這導致一些有趣的哲學思索：在進行檢測之前，我們真的能說粒子存在嗎？這依然是現代數學學的最大疑點之一。我們不曉得在我們背過身時的量子世界是哪些樣子。
我們曉得量子熱學能確切地描述我們所看見的世界，所以我們想讓所有其他的數學理論都與之相容。我們稱這種新的理論為量子理論，而不包含量子力學的理論則稱為精典理論。在過去的50年里，化學學家成功地為四種基本力中的三種（電磁力、弱力和強力）發展出了量子理論。
2.量子場論
量子場論（QFT）將量子熱學從單一的局部粒子，擴充成為到無處不在的場。場代表的是滲透了所有空間和時間的力。電磁場是我們較為熟悉的一個場，從灑落在吸鐵石周圍的鐵屑，我們能夠觀察到磁場。另一個與我們密切相關的場是引力場，它指向月球的中心。
這是兩個精典（非量子）場的反例。將量子熱學應用于在那些領域就帶來了量子場論。最簡單的量子場論是量子電動熱學（QED），它是關于電磁場的量子理論，描述的是被稱為電磁場的信使粒子——光子，與電子和正電子之間的互相作用。
量子場論的思想聽上去似乎很簡單，但它在概念上似乎十分復雜。雖然量子場論可以輕易地再現精典數學學，但若只是按部就班地對量子修正進行簡單估算，會很容易得到無窮大的答案——這不可能是對的，由于機率不可能超過100%。所以若要得到可檢驗的預測，化學學家必須從量子場論中得出有限的幾率。
這一過程被稱為重整化。原本，你們認為它如同是一種“魔術”：盡管才能給出與自然一致的正確答案，但它處理無窮大的方法卻是完全人為的。直至20世紀70年代，理論化學學家肯尼斯·威爾遜（）能夠解釋為何這種無窮大的存在既合理但又無關緊要。他也因對此問題的研究而獲得了1982年的諾貝爾獎。
威爾遜解釋說，之所以會出現無窮大，是由于在估算中，我們錯誤地假定量子場論適用于無限短的距離。重整化只不過就是一個合理而系統的，才能去掉那些因這個錯誤假定而形成的無窮大的過程。量子場論還遭到了第二個困難：它所涉及的機制太過分復雜，致使我們只能得到近似答案。也就是說化學學家只能對解進行計算，而不能直接估算。這個過程被我們稱為微擾理論。
在個別情況下，微擾理論十分有效。化學學家會將它運用于粒子加速器，例如法國核子研究中心（CERN）的小型強子對撞機（LHC）。你還可以為它畫出一幅漂亮的費曼圖（如右圖）。但它并非完美，對于在遠距離上的強力它是無效的。
如今，我們早已大致了解量子場論在電磁力、弱力和強力這三種基本力上的運用。這構成粒子化學學中知名的標準模型的基礎。標準模型所作出的預測不斷地得到否認，有時它們確切得驚人（詳見：《已知最精確的科學理論是？》）。但是，標準模型的問題在于不夠簡約典雅，它須要輸入19個經過精細調整的參數，并且沒有人曉得這樣做的緣由是哪些。
但是問題還不止于此。讓量子場論敗下陣來的是第四種基本力——引力。我們覺得引力是不可重整化的。量子場論只可部份地描畫引力在低能量時的圖景，卻不能擴充——它在高能區域的理論是完全沒有預測價值的，由于它須要無窮多個常數。
3.廣義相對論
愛因斯坦的廣義相對論是我們對引力的最好理解。質量扭曲了時空，形成了我們能否觀察到的引力現象。我們早已把握了許多與廣義相對論有關的特點。它應用廣泛，我們可以用它來研究宇宙的膨脹量子物理學，也可以將它運用于GPS衛星的精確定位。但有時，這個概念也會喪失效力。
引力是最弱的基本力。當我們企圖在微觀尺度上剖析它的影響時，它的弱便成了一個大問題。強力、弱力和電磁力之間的互相作用，都能有效地掩藏任何發覺引力的機會。我們以為可能存在的引力的信使粒子——引力子，未曾真的被實驗偵測到過。在大多數時侯，微小的引力無足輕重，我們可以放心地忽視它對原子行為施與的微小影響。這在現代粒子化學學中早已取得了極大的成功。量子場論是一個能對物質進行無法置信的精確描述的框架，雖然它難以與引力相容。
但有時我們想要在非常微弱的區域理解引力。按照大爆燃理論的預言，初期的宇宙是微小而致密的。在這些情況下，所有力都是平等的。若要模擬宇宙的發展，我們就必須弄清楚它們的互相作用。為此我們須要引力的量子理論。黑洞也被神秘的謎題映照。那些已死亡的星體有著這么巨大的質量，以至于能將時空擠壓成一個無窮小的點。量子效應在哪里開始發揮作用。簡單粗魯地將廣義相對論和量子熱學的估算結合在一起，只會得出愚蠢的結果。
我們對引力的理解是不完整的。對于太小的時空或太大的引力，愛因斯坦不能為我們再提供更多的信息。我們須要一種方式來調和現代數學學的兩大基石——廣義相對論和量子場論。一個成功的方式必須能在基礎層面上修正數學學，幫助我們解決量子引力問題。
博科園-科學科普｜文:二宗主轉自:原理/博科園-傳遞宇宙科學之美