化學(xué)實驗芻議之十五
瞬時速率概念的完善和檢測
老劉2019/03/22
有人提出了《測量物體運動的瞬時速率》這個實驗課題，老師們?nèi)绾稳テ饰瞿?？你們會想到它不是單純的檢測方式和技術(shù)問題，而是與用極限的思想構(gòu)建瞬時速率的概念密切相關(guān)的。為此，將課題改為《瞬時速率概念的構(gòu)建和檢測》似更為合適。
怎樣做好教學(xué)設(shè)計，是須要深入研究的。在對概念的理解和實驗設(shè)計這兩方面都可以做得更深刻、更到位。
嚴(yán)格地講，數(shù)學(xué)學(xué)是用物理式
來定義瞬時速率的，但是可以用變速運動的x-t圖線（如圖1所示）來說明它的物理和數(shù)學(xué)意義。[1]
圖1
能夠根據(jù)一個物體運動的x-t圖線準(zhǔn)確地求出它在某個時刻（比如圖中t1）瞬時速率的大小呢？對于任意的變速運動是困難的，由于該圖線并不具有某種已知的簡單的函數(shù)式。
這么，能夠用簡單的運動學(xué)實驗方式來求呢？直接測出一組Δx、Δt是不行的，由于在實驗中不能使Δt→0。但可以設(shè)法做間接的外推來求解。
下文將注重介紹用實驗來構(gòu)建瞬時速率的概念，同時設(shè)法求出瞬時速率的大小。
1.用氣墊滑軌和光電門做演示
方案一：如圖2所示，將氣軌支成小夾角斜面。滑塊后端安裝條形擋光片P。由軌道側(cè)面的刻度尺測出兩個光電門G1、G2的距離Δx。從O點由靜止釋放滑塊，測出它在AB間運動的時間Δt。固定G1位置，將G2移到G2/，仍從O點釋放滑塊再做檢測。這般將G2聯(lián)通幾次。逐次減短距離Δx，測出若干組Δt和Δx，分別估算出平均速率?？梢砸姷礁鞔沃凳沁f減的，而且呈現(xiàn)向某個值迫近的趨勢。于是由這個事實引入瞬時速率的概念和定義。此種方案的優(yōu)點是檢測原理直觀易懂，缺點是多次聯(lián)通光電門頗費時間，但是靠刻度尺讀取光電門的位置會導(dǎo)致Δx值較大的偏差。
圖2
方案二：如圖3所示，實驗原理與后者相同，但只用一個光電門G，配合U形擋光片。擋光片的第一前沿a對光電門擋光開始計時、第二前沿b擋光停止計時。ab的距離就是運動的位移Δs，是已知的數(shù)值。儀器配套提供了Δs值不同的4個擋光片逐次換用，安裝時其前沿a都要對齊滑塊后端，實驗時都從同一位置O點釋放。此種方案的優(yōu)點是鞋廠所制擋光片Δs值的確切度很高，偏差可小到0.1cm；但是Δs值最小為1.00cm，其測出的平均速率更趨近瞬時速率。缺點是位移與擋光片規(guī)格的對應(yīng)關(guān)系稍難理解，且儀器只配備了4個不同Δs值的擋光片。若能自行刻制條形擋光柵，則可在一次運動過程中采集多組Δs與Δt數(shù)據(jù)，簡化操作、節(jié)約時間。[2]
圖3
下邊列舉某次用U形擋光片做實驗的數(shù)據(jù)（表1），并說明怎樣由它求出瞬時速率值。
表1
Δs/cm
10.00
5.00
3.00
1.00
Δt/ms
359
193
121
41.4
360
193
120
41.5
361
194
120
41.4
平均
360
193
120
41.4
/cm·s-1
27.8
25.9
25.0
24.2
表中數(shù)據(jù)顯示出隨著Δt的減少，將趨于某個數(shù)值。將各組數(shù)據(jù)標(biāo)記在-Δt的座標(biāo)中測量平均速度教學(xué)設(shè)計，根據(jù)其分布狀態(tài)做線性擬合，將此直線向左延展（外推）與橫軸交于A點，如圖4所示。讀出A點的縱座標(biāo)23.7cm/s，就是Δt→0時的極限值，即瞬時速率vA。
圖4
筆者從1992年起，曾多次采用此方案開辦分組實驗，中學(xué)生都可以理解并順利完成。[3]現(xiàn)今許多中學(xué)都配有氣墊滑軌測量平均速度教學(xué)設(shè)計，就更有條件來施行了。
2.用打點計時器和紙帶做分組實驗或演示
用貨車拖拉紙帶做近似的勻加速運動。優(yōu)點是一次能夠采集好多位移和時間數(shù)據(jù)（不妨說是“大數(shù)據(jù)”），缺點是位移數(shù)值的偏差較大。
比如，想求出圖5所示紙帶上P點對應(yīng)的瞬時速率，可先在其后取若干段位移Δx1、Δx2、……，求出各平均速率，觀察到變化的趨勢。再畫出-Δt圖線，外推得到P點的瞬時速率vP。某次實驗的記錄和結(jié)果如圖6所示。
圖5
*里面列表中的五組數(shù)據(jù)是一位老師測出的。
圖6
3.用頻閃拍照裝置做實驗
用50.00Hz的頻閃光對自由下落的小鋼球照相，檢測出它在不同時刻t的位置x。[4]之后仿造前述的方式處理數(shù)據(jù)，去求A點的瞬時速率，即可得到圖7所示的結(jié)果。
圖7
以上介紹的借助-Δt圖線求瞬時速率的實驗方式，可稱為外推法或極限法。用此求瞬時速率只法能讓中學(xué)生感悟即可，不宜作為考試要求。
外推法也有其它應(yīng)用。如在《測定電源的電動勢和內(nèi)內(nèi)阻》實驗中用于求出未知的電動勢。
須要強(qiáng)調(diào)：在氣軌上做實驗時，假若不須要精確的瞬時速率值，則可以使用Δs=1.00cm的U形擋光片測出從某個位置的這么小的位移的對應(yīng)的很短的時間Δt，求出其平均速率作為瞬時速率的近似值。諸如檢測變速運動的加速度時即可這么。有的實驗，比如研究兩個物體的碰撞，就不可能用前述的極限法測出撞前那種時刻及撞后那種時刻的瞬時速率，也就只得用Δs=1.00cm的U形擋光片來分別測出撞前及撞后的平均速率作為瞬時速率的近似值了。
工程技術(shù)上也有多種檢測瞬時速率（線速率和角速率）的方式。它們大多不是由位移和時間來測算的，無法與速率概念的教學(xué)相聯(lián)系。本公眾號將另有專文介紹它們的裝置和檢測原理。
【注】
[1]《新概念中學(xué)數(shù)學(xué)讀本第一冊》第一章第三節(jié)（趙凱華、張維善編繪，人民教育出版社）
[2]參閱本公眾號文章《正確認(rèn)識和使用光控計時裝置》第04節(jié)
[3]廣州二中《高中數(shù)學(xué)必修實驗課本》第四講實驗七（劉彬生編繪，教育科學(xué)出版社）
[4]《創(chuàng)新學(xué)?；瘜W(xué)實驗——電子信息技術(shù)的應(yīng)用》第一章第二節(jié)（劉彬生等編繪，上海師范學(xué)院出版社）