寧夏學院碩士學位論文有限維空間q-相干態的量子統計性質姓名：****學位級別：碩士專業：理論化學指導班主任：**璽2001.6.1有限維ＨｉＩｂｏｒｔ空間ｐ相千態的量子統計性質指導班主任：**璽院長摘要第一章研究了有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空問ｑ一形變諧振子的基態結構和動力學性質，發覺這些諧振子因為空間維數的有限性和ｑ形變而具有與普通諧振子完全不同的基態結構和動力學特點。構造了有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ一相干態，并研究了此相干態的非精典性質。發覺有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ一相干態存在高階壓縮效應、高階反聚束效應和亞泊松分布：并且隨形變參數ｑ遠離１．０，這種非精典效應提高，隨空間維數熱阻ｓ的減小，高階壓縮效應明顯提高，高階反聚束效應和亞泊松分布減小。Ｉ第二章構造了有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ一奇偶相干態，研究了這兩種相干態的正交壓縮和高階反聚束效應。發覺奇偶ｑ一相干態都能凸顯這兩種非精典效應，且形變熱阻對非精典性質有著重要的影響。隨形變參數ｑ遠離１．０，有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ一奇相干態出現了正交壓縮并逐步提高，而高階反聚束效應卻漸漸減小：對于偶相干態則有著相反的變化。空間維數對有限維Ｈｉｌｂｅａ空間ｑ一奇偶相干態的壓縮效應和高階反聚束效應的影響不同。
維數的降低使奇偶相干態的反聚束效應減小，使奇相干態的壓縮效應減小，偶相干態的壓縮效應則提高．’關鍵詞：有限維Ｈｉｌｂｅａ空間；ｑ－相干態：壓縮效應；高階反聚束效應Ｔｈｅｑｕａｎｔｕｍｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｑ－ｃｏｈｅｒｅｎｔｓｔａｔｅｓｉｎａｆｉｎｉｔｅ——ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＨｉｉｂｅｒｔｓｐａｃｅＺｈａｎｇＹｏｎｇＤｉｒｅｃｔｅｄｐｒｏｆｅｓｓｏｒ：ＷａｎｇＷｅｉｘｉＡＢＳＴＲＡＣＴＴｈｉｓＰａＤｅｒｉｓｍａｄｅｏｆｔｗｏｃｈａｐｔｅｒｓ：Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｅｎｅｒｇｙ－ｌｅｖｅｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｄｙｎａｍｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｑ－ｄｅｆｏｒｍｅｄｈａｍｌｏｎｉｃｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｉｎａｆｉｎｉｔｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅ（ＦＤＨＳｌｓｔｕｄｉｅｄ．ＩｔｉＳｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｅｎｅｒｇｙ－ｌｅｖｅｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｄｙｎａｍｉｃａｃｔｉｏｎａｒｅｖｅｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈａｔｏｆｕｓｕａｌｈａｒｍｏｎｉｃｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｄｕｅｔｏｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆＨｉｌｂｅｒｔｓｒＩａｃｅａｎｄｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ’Ｓｉｎｆｌｕｅｎｃｅ．ｑ－Ｃｏｈｅｒｅｎｔｓｔａｔｅｓ（ｑＣＳｓ）ｉｎａＦＤＨＳａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ａｎｄｔｈｅｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｉｔｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．ＩｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｑＣＳｓｉｎａＦＤＨＳＣａｎｅｘｈｉｂｉｔｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒｓｑｕｅｅｚｉｎｇａｎｔｉｂａｎｔｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔａｎｄｓｕｂｐｏｉｓｓｏｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄｗｉｔｈｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｑｄｅｖｉａｔｅｆｒｏｍｌ＿０，ａｌｌｔｈｅｓｅｂｅｃｏｍｅｓｔｒｏｎｇｅｒ．ＷｉｔＩｌｔｈｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｐａｃｅｉｎｃｒｅａｓｅ，ｔｈｅｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒｓｑｕｅｅｚｉｎｇｅｆｆｅＣｔｂｅｃｏｍｅｓｔｒｏｎｇｅｒ，ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅＣｔｓｕｂｐｏｉｓｓｏｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌｂｅｃｏｍｅｗｅａｋｅｒ．ＩｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒｅｖｅｎａｎｄｏｄｄｑＣＳｓｉｎａＦＤＨＳａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ。
ｔｈｅｎｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｓｑｕｅｅｚｉｎｇｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅＣｔｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｗｏｋｉｎｄｏｆＣＳｓａｌｌｅｘｈｉｂｉｔａｂｏｖｅｎｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌｅｆｆｅｃｔｓａｎｄｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｑｃａｎａｆｆｅｃｔｔｈｅｓｅｅｆｆｅｃｔｓ．０ｄｄｑＣＳｓｃａｎｓｈｏｗｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｓｑｕｅｅｚｉｎｇａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｇｇｒａｖａｔｅｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔｗｅａｋｅｎｗｉｔｈｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｑｄｅｖｉａｔｅｆｒｏｍ１．Ｏ．ＥｖｅｎｑＣＳｓＣａｎｅｘｈｉｂｉｔｔｗｏｅｆｆｅｃｔｓｔｏｏ，ｂｕｔｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｉＳｒｅｖｅｒｓｅｔｏｏｄｄｑＣＳｓ．Ｔｈｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｐａｃｅｅｎｇｅｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｆｌｕｅｎｃｅｔｏｔｈｅｓｑｕｅｅｚｉｎｇｅｆｆｅｃｔｆｒｏｍｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔｏｆｅｖｅｎａｎｄｏｄｄｑＣＳｓ．ＴｈｅａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔｏｆｅｖｅｎａｎｄｏｄｄｑＣＳｓａｎｄｔｈｅｓｑｕｅｅｚｉｎｇｅｆｆｅｃｔｏｆｏｄｄｑＣＳｓｗｅａｋｅｎｗｉｔｈｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒＳ．ＴｌｌｅｓｑｕｅｅｚｉｎｇｅｆｆｅｃｔｏｆｅｖｅｎｑＣＳｓａｇｇｒａｖａｔｅｗｉｔｌｌｉｎｃｒｅａｓｉｎｇＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＦＤＨＳ：ｑＣＳｓ；ｓｑｕｅｅｚｉｎｇｅｆｆｅｃｔ；ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒａｎｔｉｂｕｎｃｈｉｎｇｅｆｆｅｃｔ．寧夏學院碩士學位論文有限維Ｈ．Ｉｂｅｒｔ空間ｑ＿相干態的量子統計性質第一章有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ＿形變諧振子及其相干態的量子特點前言：光的量子理論應溯源到Ｐｌａｎｋ－Ｅｉｎｓｔａｉｎ年代，但直至１９６０年激光器問世前，在光學研究上并無更多的新現象、新概念出現。
六十年代初發明了激光器完全改變了這個局面，迎來了量子光學蓬勃發展的新時代Ｉ”。量子光學中所出現的蓬勃發展，從技術上講是激光這一新型光源的發明以及微弱光訊號偵測技術改進的直接結果，在理論上則主要是因為相干態這一有著基本重要性的概念與技巧的提出。自從１９６３年Ｇｌａｕｂｅｒ提出相干態［２１后，相干態以其獨到的最小測不準性和超完備性等性質導致人們的廣泛關注。如今我們早已熟知，相干態除了直接描述一個重要之數學實在，即穩定運轉于閩值以上的激光器多模輸出就是處于相干態的光，非常是它們構成一個處理幅射問題時十分便捷的假象，使我們可拿來展開激光化學和非線形光學所形成的各類光場，為我們提供一個將量子熱學的算符轉變為Ｃ數函數積分的有效方式。除了這般，相干態的概念已被推廣到量子光學以外的許多數學的以及非化學的研究領域量子隱態傳輸，成為一個行之有效的語文工具和研究方式。在過去的四六年里，量子光學研究的重大進展之一，是構造出許多非精典態，如：光子數態、Ｃｌａｕｂｅｒ相干態、多光子相干態、偶奇相干態、壓縮態、Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ貓態、相位態、壓縮數態以及中間態等等，這種量子態都存在～些非精典性質，如：壓縮效應、高階壓縮效應、反聚束效應、高階反聚束效有限維Ｈｉ｜ｂｅｒｔ空間ｑ－相干態的量子統計特點應和亞泊松分布等，非精典效應是光場量子特點的彰顯，這也正是量子光學感興趣的核心所在。
其中，具有壓縮效應的光場（壓縮態光場）仍然是量子光學領域一個非常重要的前沿性熱點研究課題之－－［３￣５１。壓縮態是通過比相干態還要低的噪聲份量來彰顯光場的非精典性，即在滿足測不準原理的前提下，把光場的一個份量的起伏壓縮到真空起伏之下【６１，因為光場所具有的這些純量子效應，因此壓縮態在高保真度【７１的量子通信、量子非破壞性檢測、光學精密計量以及生命系統的超弱光子幅射等研究領域有著非常寬廣的應用前景；光場的反聚束效應作為一種量子效應，在闡明光場的量子本質方面起著重要作用，理論上有非常重要的意義，并且還因為它們在光通信、弱訊號檢測、人類視覺系統方面有著迷人的應用前景…“，成為人們所關注的熱點。在實驗方面，隨著實驗設備及技術進步，人們早已才能通過一些非線形過程制各出許多非精典態，但是觀察到一些非精典效應。這為非精典光場的研究奠定了堅實可靠的實驗基礎。近來，人們十分關注ＰＢ相位理論【１２—４１，ＰＢ相位理論在量子光學領域已應用于許多問題‘”￣２６１，其核心是引入了定義于有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間的伊寧頓相位算符，定義在有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間的諧振子在ＰＢ相位理論中起著重要作用，它的形成、湮滅算符可以表示為在這個空間的投影算符。
由于空間維數的有限性，形成、湮滅算符并不構成Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ－Ｗｅｙｌ代數。Ｂｕｚｅｋ等首先提出研究有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間諧振子問題，但是討論了一個二態Ｆｏｃｋ空間相干態的壓縮特點田Ｉ。匡樂滿等提出了有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間諧振子相干態，并研究了其量子特點［２８２９１。近些年來，理論化學和物理領域有一個重要進展，就是關于楊一巴克斯多項式寧夏學院碩士學位論文的求解問題［３０３１】。在求解該多項式的過程中，構建了量子群理論【３２￣３４１。人們應用量子群理論研究許多具體問題并取得了很大進展，其少將具有李群結構的相干態推廣到具有量子群結構的相干態，導致了人們的極昌平趣。１９８９年Ｂｉｅｄｅｎｈａｒｎ率先將Ｇｌａｕｂｅｒ相干態推廣到ｑ一形變情形量子隱態傳輸，提出了ｑ－相干態的概念【３５】。通過進～步研究人們發覺，ｑ＿形變參數可使原先量子態的非精典效應削弱，甚至消失。由此可見，ｑ一相干態要比一般相干態有著更廣泛的數學內涵【３６－－４１］。一旦人們完全把握了ｑ一形變參數的數學意義，而且還能在實驗上實現，則就可以通過控制ｑ的值來調制光場的個別非精典特點。目前ｑ一相干態己得到了一些學者的獨立研究。
本章在前人的基礎上構造了有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間曠形變諧振子的相干態研究這些諧振子及其相干態的量子統計特點，期望發覺相干態的非精典特點與空間維數和形變參數的關系，以闡明相干態在內部結構上各數態之間的關系，甚至期望這樣的研究才能給出形變參數ｑ數學內涵的更多信息。１．１．有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間—眵變諧振子考慮一個ｓ＋１維的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，＋１＝《磚。，ｎ＝Ｏ，１，２，…ｓ）其正交完備性關系為：有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間Ｐ形變諧振子的形成、湮滅算符可以定義為＋１的投影算符：有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｑ－相干態的量子統計特點（１．３）粒子數算符由對易關系定義：［＾０，ａｑ】＝一ａｑＩＮｇ，口ｑ＋】＝口ｇ＋（１．４）可見粒子數算符，形成、湮滅算符并不能構成儼形變諧振子的量子Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ－Ｗｅｙｌ代數。里面用到曠形變函數：Ｉｘ］＝（９。一ｑ－Ｘ）／（ｇ—ｑ－１）其中ｘ可以是ｃ數，也可以是算符（比如）借助這一記號可定義振子硬度算符：ａｑｌ０＞＝０（１．５）制，ｚ）＝面＋１＋１），［帕。＝陋１１以）。（１．７）為研究有限維Ｈｉｌｂｅｒｔ空間儼形變諧振子的動力學性質定義座標、動量滿足對易關系隧，只】－腕［ａｑ，ａｑ＋】（１．９）寧夏學院碩士學位論文恥去＋ｌｍｏ）以２＝ｊ１殼（ａｑａｑ＋＋ａｑ＋ａｑ）作用在空間。的基矢上：Ｅ＝ｌｈ國Ｇ一”＋ｇＭ＋Ｍ）Ｅ＝主砌（ｇ“一ｐ＋１】＋刪＋ｔｓｌ）（１．１０）（１．１２）（１．１３）（１．１４）可見，其基態與ｓ和ｑ的值有密切的關系。