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37卷第7期2015年7月數學教學PHYS1CSNGVoL37NO7July2015應用磁矩守恒解答磁約束問題吳慶華山東省單縣中級學校廣東223600摘要磁約束是用磁場來約束等離子體中帶電粒子的運動其基本原理是帶電粒子在磁場中遭到洛倫茲力作用僅從受力情況出發剖析磁鏡場中帶電粒子的運動情況往往比較困難結合磁矩守恒思想能達到意想不到的效果通過例題介紹磁矩概念證明帶電粒子在磁鏡場中運動時磁矩守恒并應用磁矩守恒性質解釋磁鏡場約束現象和求解奧賽題關鍵詞磁矩磁矩守恒磁鏡場約束文章編號10020748201570016中圖分類號G6337文獻標識碼B一磁矩和磁矩守恒磁矩是表征載流線圈或微觀粒子磁性的物理量計算公式為miSn其中i為電壓硬度S為線圈面積n為與電流方向成右手螺旋關系的單位矢量例題11質量為m帶電量為q速率為的帶電粒子在勻強磁場B中做勻速圓周運動產生一個圓電壓環如圖1所示該電壓環的磁矩稱為粒子的回旋磁矩試寫出粒子回旋磁矩的大小的表達式圖1圖22非勻強磁場B不隨時間變化僅隨空間緩慢變化磁場關于z軸對稱磁場的非均勻尺度遠大于帶電粒子在該磁場中運動的回旋直徑粒子的運動可以近似看成繞磁感線的螺旋運動如圖2所示不構成磁矩圖中未畫出試證明運動帶電粒子的回旋磁矩是一個守恒量解析1設帶電粒子在勻強磁場中做圓運動的直徑為R則電壓環的面積為丌R等效電壓強度為一景所以回旋磁矩為一IS一此處磁矩寫成以免與質量混淆再借助R一T一代入得回旋JNAN一通常情況下與B不垂直回旋磁矩寫為一2借助圖3沿磁場對稱軸取為軸在垂直于z軸的平面上取平面極坐標r和臼因而r構成一個柱座標系因磁場相對于z軸對稱B一0B的出現緣于B沿z軸的變化粒子運動的速率滿足一口其中決定了所在磁場繞對稱軸所做的圓周運動使圓軌道垂直聯通磁場的平緩變化使粒子近似做螺旋線的運動圖3圖4借助空間對稱的隨空間緩慢變化磁場中B的存在先討論B和B的關系為此取一很小柱形封閉面使z軸為柱軸直徑為r高為z如圖4所示穿進和穿出柱面的磁通量之和為零磁場高斯定理即B2nrAzBr一04z7c一Br一0z7r其中B為柱側面上沿徑向向外的平均磁感應強度37卷第7期數學教學面看B方向徑向向里B將為負值由于側面很小近似看成側面上的磁感應強度柱面兩端面上的磁感應強度近似取r一0處的磁感應強度即Br一0z和Br一0z解得B一一號Br一0z一B一0zrBf210一一l此處B為z軸上的磁感應強度值又由于B的存在帶電粒子沿z方向將存在加速度滿足動力學等式AVz一上B一若把式中r作為粒子回旋直徑Rz軸上的B寫成B則粒子加速度可寫為一一ABNNR再利用一丟代入式得一一AB一一壘旦2B0一一l4J一tPAt因一z一且為定值有一1刪12上A12一一一一一一一因有一一At聯臥式和得一壘由此知必為恒量二磁矩守恒的應用1解釋磁約束現象1磁鏡場約束兩端呈瓶頸狀的磁感線如圖5瓶頸處的磁場強能將帶電粒子反射回來也稱作磁鏡從而限制粒子沿磁場方向的移動使粒子Bo8圖5在回旋運動的同時不斷地來回穿梭被約束在兩端磁鏡之間這些現象稱作磁鏡場約束2解釋當粒子從弱磁場區向強磁場區運動時由磁矩一爭守恒特性口上將隨著B的逐漸增強而不斷增大又因為帶電粒子在磁場中運動速度保持不變且一l47J將隨著I的增大而減少如果磁鏡咽喉處的磁場特別強則當某處一時便消失稱鏡點同時此處的洛倫茲力除了粒子做圓運動所需分力外另一個分力將把粒子推向弱磁場方向發生粒子反射同樣的情況出現在另一端的鏡點于是粒子將在兩鏡點間陸續反射而被捕獲在弱場區設弱場的最小磁感應硬度為B該處粒子的速度與磁場的傾角稱投射角為則鏡點處的磁感應硬度B應滿足條件一改寫為B一口假如磁鏡極大磁場為B則投射角小于的ln口粒子被捕獲滿足sin一L0當0粒子將Dm穿過磁鏡而逃逸2應用解題例題21999年全省奧賽世錦賽圍繞月球周圍的磁場呈兩極強中間弱的空間分布1958年范阿倫通過人造衛星搜集到的資料研究了帶電粒子在地球磁場空間中的運動情況后得出了在距地面幾千公里和幾萬公里的高空存在著電磁輻射帶范阿倫幅射帶的推論有人在實驗室中通過實驗裝置形成了如圖6所示的磁場分布區域MN在該區域中磁感應硬度B的大小沿軸從左到右由強變弱再由弱變強對稱面為PP已知z軸上0點磁感應硬度B的大小為JDP一一二Mr一一一t一一一一P圖6B兩端M點的磁感應強度大小為B現有一束質量均為m電量均為q速度大小均為的粒子在0點以與z軸成不同的投射角a往右半空間發射設磁場足夠強粒子只能在由鄰近軸的磁感應線圍成的截面積很小的磁力管內運動試剖析說明具有不同的投射角0t的粒子在磁場區MN間的運動情況剖析這是一道闡述題要求通過必要的估算半定性半定量地說明各個粒子如何運動解答這類題的關鍵是分析清楚題中有哪些物理過程以及過程和過程間有什么不同哪些聯系分析清楚從現象的產生發展到結果造成了什么數學量的變化以及怎樣的變化本題中的粒子投射角a不同物理37卷第7期數學教學過程的共同點除a一90外都是做螺旋形運動不同點只是各個螺旋線的直徑斜度不同而已解1帶電粒子沿軸做螺旋運動時受到阻力而減速設粒子達到磁感應硬度為B處的速度為其垂直和平行于磁場的方向的分速率分別為J和粒子剛從0點射出時有I一sin按照磁矩守恒一一一sin2Go因為粒子在磁場運動過程中洛倫茲力不做功粒子動能守恒即速度7d為守恒量有7d一口j由式知粒子到達不同的B處73將有變化再由式廠一得V一470一1一sina此式說明隨著沿軸磁場B的減小平行磁場方向的速度口將急劇減少軸向速率的減少是由于粒子沿軸往右運動時受到阻力因磁力管壁的磁場與z軸不平行粒子在運動過程中受到的洛倫茲力廠斜向指向z軸如圖7所示廠是平行于z軸的分量它成為阻礙粒子沿軸向右運動的阻力廠I是洛倫茲力垂直于z軸的份量它為粒子做螺旋運動提供粒子做圓周運動的向心力由圓半徑表達式和rr一f一U一蔭P圖7式得rm7308113or0此式表qBBo明螺旋直徑隨磁場B的減小而降低結合式螺旋運動的軸向速率漸漸減少即螺旋斜度逐步減少若粒子抵達M端它必定以FM為直徑做圓周運動70sin口o1qBMB2臨界投射角由式知若以某個投射角tXOL發射的粒子抵達M點時其平行于磁場方向的速率M恰好滿足1一安sin蟣即sina0L候則粒子剛好在M點軸向速率為零此時VM一即垂直于磁場方向的分速度最大Ol稱為臨界投射角由式易知投射角aa的粒子在未抵達M點時軸向速度已減至零這些粒子將在小于MN點距離范圍內相對于對稱面PP做周期的往復螺旋運動投射角越大往復運動的距離越小當投射角a90時粒子就在對稱面PP內做直徑為rITKU0的廁周qD運動小結粒子射入分布對稱非勻強磁場倘若僅從受力情況出發分析帶電粒子的運動情況往往比較困難結合磁矩守恒思想很容易判斷粒子沿z軸直線運動的速率和垂直z軸的圓周運動的半徑如何隨座標z的變化而變化參考文獻1殷實最新國際國外數學奧林匹克大賽優化解題題典IM長春山東教育出版社20123393402程稼夫高中數學奧賽補習教程電磁學IM南京中國科技學院出版社20042492523NicholasJGiordano計算物理M北京復旦大學出版社2007更正本刊2015年第5期中探討等效思維在小學物理解題中的運用一文的作者儲成節來信要求更正如下1第56頁例4這一段最后已知未一1000kgm應更正為已知V木一1000cm2第56頁例4下面一段最后所以解出液體的密度為應更正為所以解出木塊的密度為本刊2015年第5期第5頁關于愛因斯坦博得1928年諾貝爾化學學獎1928年應當更正為1921年18
