電動機是怎樣將電能轉化為機械能的？發電機又是怎樣將機械能轉化成電能的？8月19日12時，《張朝陽的數學課》第七十九期播出，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐陣搜狐視頻直播間，先帶著網友備考了靜電磁學中一系列的重要公式及其應用，接著借助洛倫茲力推導入安培力公式，并討論了電動機的工作原理。此后，繼續借助洛倫茲力推論動生電動勢與磁路量變化的關系，并強調感生電動勢也滿足同樣的關系式，也稱為法拉第電磁感應定理，該定理可以得到麥克斯韋等式組中關于電場旋度的等式，并幫助人們制造發電機。
靜電磁學的特征與總結
張朝陽先回顧了近來這幾期關于電磁學的內容，他率領網友先從麥克斯韋多項式組出發：
只是簡單地推導入電磁波以后，課程就圍繞著電磁場不隨時間變化的情況展開，這時麥克斯韋多項式組中關于時間的偏導項都可以忽視，得到簡易的靜電磁場多項式組：
上述靜電磁場多項式組的解就是庫倫定理：
和畢奧薩伐爾定理：
由上述公式可以求出給定恒定電荷密度與電壓密度情況下的電磁場。但在對稱性較高的情況下，還可以通過靜態微分等式組的積分方式來高效求得電磁場。借助散度定律，可以將第一個等式改寫為高斯定律：
借助高斯定律和對稱性，可以簡單地得到點電荷，線電荷和面電荷的電場。
同樣對第三個公式借助散度定律，也可以得到：
這表明一個閉合曲面的磁路量為零，是磁荷不存在的表現,須要注意的是，該公式對隨時間變化的電荷密度與電壓密度也創立。
借助斯托克斯公式，第二個等式可以改寫為：
這說明電場順著閉合曲線積分一周后為零，同時也說明將電場從空間某點路徑積分到另一點的值與路徑無關，所以可以由此定義出標量的勢能φ，它滿足：
注意，滿足上式的勢能φ只能在靜電磁場的情況下才會被定義下來，否則將與公式-▽×▽φ=▽×E=0矛盾。
同樣借助斯托克斯公式，最后一個等式可以改寫為：
該公式是安培支路定律，它能取代復雜的畢奧薩伐爾公式來推論磁場。無窮長線電壓（導線橫截面積可以不趨向零），面電壓還有環型電壓（比如通電螺線管）等等具有一定對稱性的電壓密度分布的情況，都可以用安培支路定律簡單快速地求得磁場分布。
安培力與電動機
上述回顧的麥克斯韋多項式組可知電荷怎樣形成電磁場，而這節課要討論的洛倫茲力則可以明白電荷怎么遭到電磁場的作用，麥克斯韋多項式組加上洛倫茲力才構成完整的電磁學理論體系。一個以速率v運動帶電量為q的點電荷遭到的洛倫茲力為：
（張朝陽借助洛倫茲力推論安培力）
若要考慮的對象不是一個點電荷，而是具有電荷密度ρ的電荷分布。其中一個體積微元dτ具有電荷量q=ρdτ，設此容積微元的運動速率為v，這么它深受的洛倫茲力為：
其中j=ρv是電壓密度。將上式兩側同乘以dτ，得到單位容積遭到的洛倫茲力為：
現今只考慮一個簡單的情況，忽視掉電場的部份，但是磁場與電壓方向垂直，這么單位容積的洛倫茲力的大小可以簡寫成：
對于橫截面積為dS的導線，其電壓為：
若導線垂直于磁場方向B安培力公式，則每單位寬度的導線受磁場造成的洛倫茲力為：
設導線的寬度為L，磁場均勻且垂直于導線，這么導線受力為：
這就是安培力公式，它給出了通濁度線在磁場下的受力大小。
借助安培力，可以制做電動機，其構造如右圖所示：
（張朝陽介紹電動機工作原理）
恒定且均勻的磁場B從左往右，一條導線電壓垂直紙面向里，另一條導線電壓垂直紙面向外，設導線的寬度為L，兩導線的距離為d，兩導線中心的連線與磁場方向的傾角為θ。借助安培力公式，可知兩導線受力都為F=BIL。另外F的方向就是j×B的方向，由左手螺旋定則還可判斷電壓垂直紙面向里的導線受力向上，而電壓垂直紙面向外的導線受力向下。由此線圈遭到一個沿紙面向外的扭力，并可估算出線圈遭到的總扭力為：
其中A=Ld是線圈的面積。
當θ等于零的時侯，扭矩最大，在扭矩的作用下，線圈旋轉到θ等于90°的情況，此時扭力為零，當線圈繼續轉過該平衡位置后，扭矩從零減小，但扭力的方向卻與之前的相反，妨礙線圈的轉動。為了能讓扭矩一直保持一個方向，可以在θ等于90°的平衡位置處安裝一個插口切換裝置，使得線圈電壓反向，安培力也會反向，致使轉過90°之后扭矩方向與轉過90°之前一致，這樣線圈就可以不停地順著同一方向持續轉動，這就是電動機的工作原理，借助安培力將電能轉化成機械能。
法拉第電磁感應定理
給置于磁場中的線圈加電動勢形成電壓后，線圈會轉上去，若反過來，使置于磁場中的線圈轉上去后，是否會形成電動勢呢？
（張朝陽借助洛倫茲力推論感應電動勢）
當線圈轉上去后，設垂直紙面的導線的運動速率為v，導線中的電荷相對于磁場運動，它們遭到的洛倫茲力大小為：
左側的導線的電荷遭到洛倫茲力沿導線垂直紙面向外，而右側的導線的電荷受力沿導線垂直紙面向里，由此導線內的電荷會運動產生電壓，這說明線圈內形成了電動勢。而只有垂直于紙面的兩條導線會貢獻電動勢，線圈內的動生總電動勢大小為V，這么由電動勢的定義與功的表達式可得：
進一步考慮導線的運動速率v與轉動速率ω=dθ/dt之間的關系：
可以得到動生電動勢的新表達式：
其中面積A=dL。注意到φ=BAsinθ正是線圈的鐵損量大小，鐵損量方向（定義為磁場垂直于平面的份量）具有往右的份量，從θ=0轉入θ=90°的過程中，鐵損量日漸變大，于是磁路量的變化的方向也是具有往右的份量。而按照上述洛倫茲力方向的剖析，可知若手指四指朝著電壓方向則左手大手指方向具有向左的份量，表明大手指方向與磁路量的變化的方向相反。若以手指螺旋定則來聯系磁路量方向與電動勢的方向，這么具有正負號的動生電動勢與磁路量的關系為：
這兒動生電動勢的形成是因為線圈轉動（切割磁感線）造成的，實際上，若線圈不動，但改變磁場的硬度也可以形成電動勢，稱為感生電動勢，而感生電動勢與磁路量的關系也滿足上述公式，電動勢與磁路量的關系稱為法拉第電磁感應定理。另外，因為線圈不動，所以電荷速率為零，不會遭到磁場力qvB，但是電荷還是由于有感生電動勢而受力，那依照洛倫茲力公式，電荷受力只能來始于電場力F=qE，即這些情況下磁路量的變化形成了電場，將法拉第電磁感應定理中的感生電動勢用電場具體寫下來為：
其中最后一個等號用到了線圈不隨時間變化的條件。
因為上式對任意線圈創立，所以有：
這正是麥克斯韋等式組中關于電場散度的等式。也可以反過來看，該多項式能推導入感生電動勢與磁路量變化的關系，而洛倫茲力則能推導入動生電動勢與磁路量變化的關系，而且神奇的是電動勢與磁路量的關系都滿足同一方程安培力公式，這就是大名鼎鼎的法拉第電磁感應定理。安培力促使人們可以制造出電動機，讓電能轉化為機械能，而法拉第電磁感應定理則反之，讓機械能轉化成電能，促使人們可以制造出發馬達，對人類文明的發展有著重大意義。
據了解，《張朝陽的數學課》于每周周一、周日上午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的數學課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。據悉，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期數學課程的詳盡文章。