電動(dòng)機(jī)是怎樣將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的？發(fā)電機(jī)又是怎樣將機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能的？8月19日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》第七十九期播出，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐陣搜狐視頻直播間，先帶著網(wǎng)友備考了靜電磁學(xué)中一系列的重要公式及其應(yīng)用，接著借助洛倫茲力推導(dǎo)入安培力公式，并討論了電動(dòng)機(jī)的工作原理。此后，繼續(xù)借助洛倫茲力推論動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與磁路量變化的關(guān)系，并強(qiáng)調(diào)感生電動(dòng)勢(shì)也滿足同樣的關(guān)系式，也稱為法拉第電磁感應(yīng)定理，該定理可以得到麥克斯韋等式組中關(guān)于電場(chǎng)旋度的等式，并幫助人們制造發(fā)電機(jī)。
靜電磁學(xué)的特征與總結(jié)
張朝陽(yáng)先回顧了近來這幾期關(guān)于電磁學(xué)的內(nèi)容，他率領(lǐng)網(wǎng)友先從麥克斯韋多項(xiàng)式組出發(fā)：
只是簡(jiǎn)單地推導(dǎo)入電磁波以后，課程就圍繞著電磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化的情況展開，這時(shí)麥克斯韋多項(xiàng)式組中關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)項(xiàng)都可以忽視，得到簡(jiǎn)易的靜電磁場(chǎng)多項(xiàng)式組：
上述靜電磁場(chǎng)多項(xiàng)式組的解就是庫(kù)倫定理：
和畢奧薩伐爾定理：
由上述公式可以求出給定恒定電荷密度與電壓密度情況下的電磁場(chǎng)。但在對(duì)稱性較高的情況下，還可以通過靜態(tài)微分等式組的積分方式來高效求得電磁場(chǎng)。借助散度定律，可以將第一個(gè)等式改寫為高斯定律：
借助高斯定律和對(duì)稱性，可以簡(jiǎn)單地得到點(diǎn)電荷，線電荷和面電荷的電場(chǎng)。
同樣對(duì)第三個(gè)公式借助散度定律，也可以得到：
這表明一個(gè)閉合曲面的磁路量為零，是磁荷不存在的表現(xiàn),須要注意的是，該公式對(duì)隨時(shí)間變化的電荷密度與電壓密度也創(chuàng)立。
借助斯托克斯公式，第二個(gè)等式可以改寫為：
這說明電場(chǎng)順著閉合曲線積分一周后為零，同時(shí)也說明將電場(chǎng)從空間某點(diǎn)路徑積分到另一點(diǎn)的值與路徑無關(guān)，所以可以由此定義出標(biāo)量的勢(shì)能φ，它滿足：
注意，滿足上式的勢(shì)能φ只能在靜電磁場(chǎng)的情況下才會(huì)被定義下來，否則將與公式-▽×▽?duì)?▽×E=0矛盾。
同樣借助斯托克斯公式，最后一個(gè)等式可以改寫為：
該公式是安培支路定律，它能取代復(fù)雜的畢奧薩伐爾公式來推論磁場(chǎng)。無窮長(zhǎng)線電壓（導(dǎo)線橫截面積可以不趨向零），面電壓還有環(huán)型電壓（比如通電螺線管）等等具有一定對(duì)稱性的電壓密度分布的情況，都可以用安培支路定律簡(jiǎn)單快速地求得磁場(chǎng)分布。
安培力與電動(dòng)機(jī)
上述回顧的麥克斯韋多項(xiàng)式組可知電荷怎樣形成電磁場(chǎng)，而這節(jié)課要討論的洛倫茲力則可以明白電荷怎么遭到電磁場(chǎng)的作用，麥克斯韋多項(xiàng)式組加上洛倫茲力才構(gòu)成完整的電磁學(xué)理論體系。一個(gè)以速率v運(yùn)動(dòng)帶電量為q的點(diǎn)電荷遭到的洛倫茲力為：
（張朝陽(yáng)借助洛倫茲力推論安培力）
若要考慮的對(duì)象不是一個(gè)點(diǎn)電荷，而是具有電荷密度ρ的電荷分布。其中一個(gè)體積微元dτ具有電荷量q=ρdτ，設(shè)此容積微元的運(yùn)動(dòng)速率為v，這么它深受的洛倫茲力為：
其中j=ρv是電壓密度。將上式兩側(cè)同乘以dτ，得到單位容積遭到的洛倫茲力為：
現(xiàn)今只考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的情況，忽視掉電場(chǎng)的部份，但是磁場(chǎng)與電壓方向垂直，這么單位容積的洛倫茲力的大小可以簡(jiǎn)寫成：
對(duì)于橫截面積為dS的導(dǎo)線，其電壓為：
若導(dǎo)線垂直于磁場(chǎng)方向B安培力公式，則每單位寬度的導(dǎo)線受磁場(chǎng)造成的洛倫茲力為：
設(shè)導(dǎo)線的寬度為L(zhǎng)，磁場(chǎng)均勻且垂直于導(dǎo)線，這么導(dǎo)線受力為：
這就是安培力公式，它給出了通濁度線在磁場(chǎng)下的受力大小。
借助安培力，可以制做電動(dòng)機(jī)，其構(gòu)造如右圖所示：
（張朝陽(yáng)介紹電動(dòng)機(jī)工作原理）
恒定且均勻的磁場(chǎng)B從左往右，一條導(dǎo)線電壓垂直紙面向里，另一條導(dǎo)線電壓垂直紙面向外，設(shè)導(dǎo)線的寬度為L(zhǎng)，兩導(dǎo)線的距離為d，兩導(dǎo)線中心的連線與磁場(chǎng)方向的傾角為θ。借助安培力公式，可知兩導(dǎo)線受力都為F=BIL。另外F的方向就是j×B的方向，由左手螺旋定則還可判斷電壓垂直紙面向里的導(dǎo)線受力向上，而電壓垂直紙面向外的導(dǎo)線受力向下。由此線圈遭到一個(gè)沿紙面向外的扭力，并可估算出線圈遭到的總扭力為：
其中A=Ld是線圈的面積。
當(dāng)θ等于零的時(shí)侯，扭矩最大，在扭矩的作用下，線圈旋轉(zhuǎn)到θ等于90°的情況，此時(shí)扭力為零，當(dāng)線圈繼續(xù)轉(zhuǎn)過該平衡位置后，扭矩從零減小，但扭力的方向卻與之前的相反，妨礙線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)。為了能讓扭矩一直保持一個(gè)方向，可以在θ等于90°的平衡位置處安裝一個(gè)插口切換裝置，使得線圈電壓反向，安培力也會(huì)反向，致使轉(zhuǎn)過90°之后扭矩方向與轉(zhuǎn)過90°之前一致，這樣線圈就可以不停地順著同一方向持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是電動(dòng)機(jī)的工作原理，借助安培力將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能。
法拉第電磁感應(yīng)定理
給置于磁場(chǎng)中的線圈加電動(dòng)勢(shì)形成電壓后，線圈會(huì)轉(zhuǎn)上去，若反過來，使置于磁場(chǎng)中的線圈轉(zhuǎn)上去后，是否會(huì)形成電動(dòng)勢(shì)呢？
（張朝陽(yáng)借助洛倫茲力推論感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)）
當(dāng)線圈轉(zhuǎn)上去后，設(shè)垂直紙面的導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)速率為v，導(dǎo)線中的電荷相對(duì)于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，它們?cè)獾降穆鍌惼澚Υ笮椋?span style="display:none">9n6物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
左側(cè)的導(dǎo)線的電荷遭到洛倫茲力沿導(dǎo)線垂直紙面向外，而右側(cè)的導(dǎo)線的電荷受力沿導(dǎo)線垂直紙面向里，由此導(dǎo)線內(nèi)的電荷會(huì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電壓，這說明線圈內(nèi)形成了電動(dòng)勢(shì)。而只有垂直于紙面的兩條導(dǎo)線會(huì)貢獻(xiàn)電動(dòng)勢(shì)，線圈內(nèi)的動(dòng)生總電動(dòng)勢(shì)大小為V，這么由電動(dòng)勢(shì)的定義與功的表達(dá)式可得：
進(jìn)一步考慮導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)速率v與轉(zhuǎn)動(dòng)速率ω=dθ/dt之間的關(guān)系：
可以得到動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的新表達(dá)式：
其中面積A=dL。注意到φ=BAsinθ正是線圈的鐵損量大小，鐵損量方向（定義為磁場(chǎng)垂直于平面的份量）具有往右的份量，從θ=0轉(zhuǎn)入θ=90°的過程中，鐵損量日漸變大，于是磁路量的變化的方向也是具有往右的份量。而按照上述洛倫茲力方向的剖析，可知若手指四指朝著電壓方向則左手大手指方向具有向左的份量，表明大手指方向與磁路量的變化的方向相反。若以手指螺旋定則來聯(lián)系磁路量方向與電動(dòng)勢(shì)的方向，這么具有正負(fù)號(hào)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與磁路量的關(guān)系為：
這兒動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的形成是因?yàn)榫€圈轉(zhuǎn)動(dòng)（切割磁感線）造成的，實(shí)際上，若線圈不動(dòng)，但改變磁場(chǎng)的硬度也可以形成電動(dòng)勢(shì)，稱為感生電動(dòng)勢(shì)，而感生電動(dòng)勢(shì)與磁路量的關(guān)系也滿足上述公式，電動(dòng)勢(shì)與磁路量的關(guān)系稱為法拉第電磁感應(yīng)定理。另外，因?yàn)榫€圈不動(dòng)，所以電荷速率為零，不會(huì)遭到磁場(chǎng)力qvB，但是電荷還是由于有感生電動(dòng)勢(shì)而受力，那依照洛倫茲力公式，電荷受力只能來始于電場(chǎng)力F=qE，即這些情況下磁路量的變化形成了電場(chǎng)，將法拉第電磁感應(yīng)定理中的感生電動(dòng)勢(shì)用電場(chǎng)具體寫下來為：
其中最后一個(gè)等號(hào)用到了線圈不隨時(shí)間變化的條件。
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意線圈創(chuàng)立，所以有：
這正是麥克斯韋等式組中關(guān)于電場(chǎng)散度的等式。也可以反過來看，該多項(xiàng)式能推導(dǎo)入感生電動(dòng)勢(shì)與磁路量變化的關(guān)系，而洛倫茲力則能推導(dǎo)入動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與磁路量變化的關(guān)系，而且神奇的是電動(dòng)勢(shì)與磁路量的關(guān)系都滿足同一方程安培力公式，這就是大名鼎鼎的法拉第電磁感應(yīng)定理。安培力促使人們可以制造出電動(dòng)機(jī)，讓電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，而法拉第電磁感應(yīng)定理則反之，讓機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能，促使人們可以制造出發(fā)馬達(dá)，對(duì)人類文明的發(fā)展有著重大意義。
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