貢獻者：addis
預備知識圓周運動，庫侖力
圖1：玻爾原子模型
玻爾原子模型（BohrModel）（）是量子熱學發展的初期被提出的一種解釋類氫原子波譜的模型。該模型中，我們假定原子核具有$Z$個正電荷。對于氫原子${H}$有$Z=1$，氦離子${He}^+$有$Z=2$，鋰離子${Li}^{++}$有$Z=3$等等。
因為原子核質量遠小于電子，我們先假定原子核固定不動，若要考慮原子核運動使用相對座標和約化質量$mu$取代電子質量$m$即可（）。惟一的核外電子根據牛頓熱學和庫侖定理運動，再人為地加上一個條件（量子化條件）使電子的軌道角動量只能取一些特定的（離散的）值。這樣，軌道的直徑也只能取離散的值，每位直徑$r_n$對應一個機械能（動能加勢能）$E_n$，我們把這種能量稱作基態。假若電子從一條能量較高的軌道躍遷到另一條能量較低的軌道，這么一個光子將被形成，帶走兩個軌道的能量差。反之，假如正好有一個入射光子的能量是兩條軌道機械能之差，那這個光子就可以被低能量軌道的電子吸收，使其躍遷到高能量軌道。
盡管這個模型成功地解釋了氫原子各個基態的能量以及氫原子波譜，但它卻并不是完全根據量子熱學的的方式來估算的。根據（現代的）量子熱學，電子須要用波函數描述，波函數由薛定諤多項式估算得到，所以不具有精典熱學中“軌道”的概念。
按照玻爾模型，氫原子的各個基態的能量為
begin{}E_n=-frac{me^4}{32pi^2^2hbar^2}frac{Z^2}{n^2}-13.6,{eV}frac{Z^2}{n^2}qquad(n=1,2,dots)~.end{}
該式稱作玻爾能量公式（Bohr），由此可見$n$越大，基態越高。我們把$n=1$的狀態稱作能級，其他狀態稱作迸發態。公式中的常數因子（$13.6,{eV}$）稱作里德堡能量（），也就是玻爾模型中的能級能量。
各基態的軌道直徑如下。特殊地，我們把氫原子能級（$Z=1$，$n=1$）的電子軌道的直徑稱作玻爾直徑（Bohr），記為$a_0$。
begin{}r_n=a_0frac{n^2}{Z}qquad(n=1,2,dots)~,end{}
begin{}a_0=frac{4pi\hbar^2}{m_ee^2}5.292times10^{-11},{m}~.end{}
1.基態公式推論
所有原子或離子中最簡單的一類叫類氫原子原子模型，類氫原子只有一個核外電子，以及一個帶$Z$個元電荷的原子核。以下的估算假定兩者為質點和點電荷，原子核不動，電子繞原子核做圓周運動。運用精典熱學和庫侖力公式，可求出電子在不同直徑下做圓周運動的能量。庫侖定理與牛頓定理（圓周運動）分別為
begin{}F=frac{1}{4pi}frac{(Ze)e}{r^2}~,=ma=mfrac{v^2}{r}~.end{}
解得電子速率平方為
begin{}v^2=frac{e^2Z}{4pimr}~.end{}
動能與勢能分別為
begin{}E_K=mv^2=frac{1}{8pi}frac{Ze^2}{r}~,=-frac{1}{4pi}frac{Ze^2}{r}=-2E_k~.end{}
總能量為
begin{}E=E_K+E_P=-frac{Ze^2}{8pir}~.end{}
到此為止，我們還沒有用到量子熱學。但是這樣的模型與真實的類氫原子相比有兩個致命的缺陷：第一，按照電動熱學，圓周運動的電子會向外幅射電磁波，能量降低，最終墮入原子核;第二，該模型容許氫原子的能量具有連續值（由于$r$可連續變化），而實驗中氫原子只能放出特定能量的光子，說明只能取特定的能量，即存在離散的基態，我們把基態由低到高記為$E$$(n=1,2,3dots)$。
以上矛盾說明微觀世界的粒子不遵循精典熱學和電磁學。玻爾為了解釋實驗，在精典熱學和電磁學上加入了一個條件：角動量量子化。
以原子核為原點，電子軌道平面的法向量為$z$軸，因為電子的位矢${{r}}$與動量${{p}}$一直垂直，電子的角動量為
begin{}{{L}}={{r}}\times{{p}}=mvrhat{{{z}}}~,end{}
玻爾引入的角動量量子化條件為
begin{}L=mvr=nhbar~,end{}
其中$n$可以取任意正整數，$hbar$為約化普朗克常量
begin{}hbar=frac{h}{2pi}~,end{}
該條件也可以等效理解為串擾條件，即容許的方形軌道寬度是德布羅意波長的整數倍。
begin{}2pir=frac{h}{mv}n~.end{}
注意與等效。把代入了該條件，解得可能的軌道直徑為。注意軌道與$n^2$成反比，和$Z$成正比。
將$r_n$（）代入，得到基態表達式為
begin{}E_n=-frac{mZ^2e^4}{32pi^2^2hbar^2}frac{1}{n^2}-13.6,{eV}frac{Z^2}{n^2}~.end{}
對氫原子原子模型，有$Z=1$，最低的基態為$n=1$，所以氫原子能級的基態$E_0$約為$-13.6,{eV}$。這是一個知名的常數（若使用原子單位，這個值正好是$-1/2$）。
將$r_n$代入還可以得到電子速率為
begin{}v_n=frac{Ze^2}{4pi\hbar}frac{1}{n}~.end{}
2.玻爾原子模型的局限性
從可以看出，玻爾原子模型中角動量和基態是一一對應的。而事實上現代的理論和實驗告訴我們氫原子的每位基態都具有許多不同的角動量量子態，對給定的$n$，角動量有$n$個不同的值，使用量子數$l$來分辨那些態，對應的軌道角動量大小為
begin{}L=sqrt{l(l+1)}hbarqquad(l=0,dots,n-1)~.end{}
其次，玻爾模型覺得角動量矢量${{L}}$的方向可以是任意的，也就是對某個給定基態的許多取向隨機的氫原子檢測某個給定方向的角動量份量可以得到連續的值，但事實上只能得到$2l+1$個分立的值：
begin{}L_z=mhbarqquad(m=-l,dots,l)~.end{}
所以算出來每位基態$n$共有$1+3+dots+[2(n-1)+1]=n^2$個不同的角動量狀態（包括大小和取向）。這是玻爾模型完全沒法解釋的。
也可以用精細結構常數記為
begin{}E_n=frac{alpha^2}{2}mc^2frac{Z^2}{n^2}~.end{}
