1、第第5章章質點質點(系系)的角動量的角動量角動量守恒定理角動量守恒定理Lawofof5.1質點的角動量定律質點的角動量定律5.2質點系的角動量定律質點系的角動量定律5.3角動量守恒定理角動量守恒定理在自然界中常常會碰到質點圍繞著一定的中心運轉在自然界中常常會碰到質點圍繞著一定的中心運轉的情況。諸如，行星繞太陽的公轉，人造衛星繞地的情況。諸如，行星繞太陽的公轉，人造衛星繞地球轉動動量定理是末減初，電子繞原子核轉動以及質心的轉動等等。球轉動，電子繞原子核轉動以及質心的轉動等等。在這種問題中，動量定律及其守恒定理未必適用，在這
2、些問題中，動量定律及其守恒定理未必適用，這時若采用這時若采用角動量角動量概念討論問題就比較便捷。概念討論問題就比較便捷。角動量也是一個重要概念。角動量也是一個重要概念。0Lrmv((矢量矢量))Lmvr的大小為：的大小為：LsinLLrmv和和的傾角為的傾角為，rmv的方向：由的方向：由和和根據根據雙手螺旋法則手指螺旋法則確定。確定。Lrmv角動量的定義：角動量的定義：俗稱為動量矩。稱作為動量矩。5.1質點的角動量定律質點的角動量定律關于角動量關于角動量角動量與位矢有關角動量與位矢有關,位矢與參考點有關位矢與參考點有關,有相對性
3、。有相對性。提到角動量時提到角動量時必須指明必須指明是對哪一是對哪一參照點參照點而言。而言。當質點作圓周運動時，當質點作圓周運動時，=/2角動量大小為：角動量大小為：2mr討論討論對于勻速圓周運動，因速率的方向仍然在改變，對于勻速圓周運動動量定理是末減初，因速率的方向仍然在改變，因此進而動量不守恒動量不守恒，但，但角動量是一個常矢量角動量是一個常矢量。在直角座標系中，角動量在各座標軸的份量為：在直角座標系中，角動量在各座標軸的份量為：()zyxLxPyP()yxzLzPxP()xzyLyPzPxyzijkPPP00xyi
4、jkLrPxyPP當質點作通常平面運動時，當質點作通常平面運動時，角動量為：角動量為：()yxxPyPk質點作直線運動的角動量。質點作直線運動的角動量。質點位置矢量的方向發質點位置矢量的方向發生了變化生了變化轉動轉動廣義的轉動：廣義的轉動：yzxoprLr當質點作勻速直線運動時，當質點作勻速直線運動時，v,r都都是不變的，角動量是常量。是不變的，角動量是常量。LmvrrPLmvr月球公轉（圓軌道）的角動量。月球公轉（圓軌道）的角動量。月球的軌道直徑是月球的軌道直徑是它的
5、質量是它的質量是為此可得，它繞太陽的角速度因而可得，它繞太陽的角速度111.510mR246.010kgm月球每年月球每年運動一周運動一周(365)dT(2)rad72.010rad/s2(365)(24)(3600)dh/ds/h2/T所以月球繞太陽公轉的角動量大小是所以月球繞太陽公轉的角動量大小是402.7102kgm/s241127(6.010)(1.510)(2.010)2LmR類比質點的動量定律類比質點的動量定律FdvmdtdPdmvdtdt考查質點角動量考查質點角動量的變化率：的變
6、化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()dmvdrrmvdtdtrFvmvdLMdt于是有于是有導致轉動狀態改變的原導致轉動狀態改變的原因是因為扭力的作用因是因為扭力的作用可見可見:rF令令rFM扭力扭力比較比較dLMdt角動量定律的微分方式角動量定律的微分方式dPFdt00ttMdtLL00ttFdtPP與動量定律在方式、結構上一致。與動量定律在方式、結構上一致。角動量定律的積分方式角動量定律的積分方式沖量矩沖量矩沖量沖量0MMrF其中其中為為和和的傾角的傾角rFMrFr
7、FrFrF力對某一固定點的力力對某一固定點的力矩的大矩的大小等于此力和小等于此力和力臂的乘積。力臂的乘積。Fr有心力對力心的扭矩為零。有心力對力心的扭矩為零。在直角座標系中，扭力在各座標軸的份量為：在直角座標系中，扭力在各座標軸的份量為：關于扭力關于扭力上式亦稱為力對軸的扭矩。上式亦稱為力對軸的扭矩。仍然指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。仍舊指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。xyzijkFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF討論討論落體運動中質點對同一落體運動中質點
8、對同一參照點的角動量和扭矩參照點的角動量和扭矩試問：企鵝從試問：企鵝從A做自由落體運動的過做自由落體運動的過程中，對于程中，對于O點的角動量為多少？點的角動量為多少？質心矩質心矩FFFF一對等大反向的力作用于對稱中心的轉矩。一對等大反向的力作用于對稱中心的轉矩。2MRF2MFdd質點系的角動量是各個質點對同一固定參照點質點系的角動量是各個質點對同一固定參照點的角動量的矢量和。的角動量的矢量和。5.2質點系的角動量定律質點系的角動量定律11nniiiiiLLrp研究方式：研究方式：先對每位質點應用角動量定律，之后先對每位質點應用角動量定律，之后對所有
9、質點求和。對所有質點求和。對質點對質點i應用角動量定律：應用角動量定律：1,niiiiijjjidLMrFfdt對質點系中所有質點求和，則有對質點系中所有質點求和，則有11nniiiiLLLddd11nniiiiiijjirFrffijfjirirjFiFjO1nintiijijiMrf1nextiiiMrFjiijffijrrijfri-rjfijfjirirjFiFjOextdLMdt則有：則
10、有：若質點若質點((系系))所受外力對某固定參照點的扭矩矢量和所受外力對某固定參照點的扭矩矢量和為零，則質點為零，則質點(系系)對對該固定點的角動量守恒。該固定點的角動量守恒。角動量守恒定理角動量守恒定理依據動量定律：依據動量定律：dLMdt若若0ML經常矢矢量量5.3角動量守恒定理角動量守恒定理質點質點((系系))所受的合外力為零；所受的合外力為零；合扭力為零。合扭力為零。在有心力的作用下在有心力的作用下,,質點質點((系系))對力心的角動對力心的角動量都是守恒的；量都是守恒的；勻速直線運動的質點勻速直線運動的質點((系系))對任意固定點
11、的對任意固定點的角動量都是守恒的。角動量都是守恒的。討論討論用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運動，其直徑為周運動，其直徑為r0，角速率為，角速率為0。現通過圓心。現通過圓心處的小孔平緩地往下拉繩使直徑逐步降低。求處的小孔平緩地往下拉繩使直徑逐步降低。求(1)當直徑縮為當直徑縮為r時的角速率；時的角速率；(2)此力作功幾何？此力作功幾何？解：mr0rov以小孔以小孔o為原點為原點繩對小球的拉力為有心力，繩對小球的拉力為有心力，則小球對則小球對o點的角動量守恒。點的角動量守恒。其轉矩為零。其轉矩為零
12、。初態初態末態末態角動量守恒角動量守恒所以所以2000Lmr2Lmr2200mrmr2002rr按照動能定律，此力的功為：按照動能定律，此力的功為：0()2200112rmvr2201122mvmvkWE可見，把質點從較遠的距離移到較近的距離過程可見，把質點從較遠的距離移到較近的距離過程中，若維持角動量守恒，必須對質點做功。中，若維持角動量守恒，必須對質點做功。星體的形狀可能與此有關。星體的形狀可能與此有關。星體（銀河系）的初期可能是具有角動量的大質星體（銀河系）的初期可能是具有角動量的大質量氣團，在引力作用下收
13、縮。軸向的收縮不受什量氣團，在引力作用下收縮。軸向的收縮不受什么阻撓，很快塌縮。徑向卻不這么容易，因此像么阻撓，很快塌縮。徑向卻不這么容易，因此像銀河系這樣的星體呈扁平狀。銀河系這樣的星體呈扁平狀。銀河系銀河系Hereis我們的太陽我們的太陽仙女座星體仙女座星體(220萬光年萬光年)一顆月球衛星，近地點一顆月球衛星，近地點181km，速度，速度8.0km/s，遠地點遠地點327km，求衛星在該點的速度。，求衛星在該點的速度。解：角動量守恒角動量守恒近地點近地點11vr遠地點遠地點22vr則則2211mvrmvr7.83km/s1212r
14、vvr63701818.0且且Istheofabouttheotherfocusoforbit?Why?NO!1r1v2r2v這就是為何慧星運轉周期為幾六年，而經過太陽這就是為何慧星運轉周期為幾六年，而經過太陽時只有很短的幾周時間。慧星接近太陽時勢能轉換時只有很短的幾周時間。慧星接近太陽時勢能轉換成動能，而遠離太陽時，動能轉換成勢能。成動能，而遠離太陽時，動能轉換成勢能。在在低軌道上運行的月球衛星低軌道上運行的月球衛星因為大氣磨擦阻力對地因為大
15、氣磨擦阻力對地心的矩不為零，其心的矩不為零，其對地心的角動量不守恒對地心的角動量不守恒。在此力。在此力矩的作用下，衛星的角動量值不斷減少，最后隕落矩的作用下，衛星的角動量值不斷減少，最后隕落地面。地面。角動量守恒是自然界的普遍規律角動量守恒是自然界的普遍規律從天體運動到亞原子粒子的運動，都未發覺例子。從天體運動到亞原子粒子的運動，都未發覺例子。角動量守恒角動量守恒、動量守恒動量守恒及及機械能轉換與守恒定理機械能轉換與守恒定理并并稱為稱為三大守恒定理三大守恒定理。dLMdtextdLMdtxyzijkPPPxyzijkFFF角動量：角動量：扭力：扭力：質點角動量定律：質點角動量定律：質點角動量定律：質點角動量定律：角動量守恒條件：角動量守恒條件：0extM0M00ttMdtLL沖量矩沖量矩What?