第一篇：[中學物理證明試卷
九年級(上)單元測試題
第一章證明(二)
(時間90分鐘滿分100分)
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1、兩個直角三角形全等的條件是（）
A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等
2、如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的依據是（）
A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形斜邊長為7，一腰上的中線把其邊長分成兩部份的差為3，則腰長是（）
A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對
4、如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點，有以下推論：
(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中推論正確的是（）
A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)
5、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交CB邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個數為（）
A、2B、3C、4D、5(第2題圖)(第4題圖)(第5題圖)
6、設M表示直角三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形，Q表示等邊直角三角形，則下述四個圖中，能表示她們之間關系的是（）
7、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC如圖所示ab是圓直徑的兩個端點，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△DEB的邊長為（）
A、4cmB、6cmC、8cmD、10cmcm8、如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數為（）
A、30°B、36°C、45°D、70°
9、如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，假如添加一個條件，即可推出AB=AB′，這么該條件可以是（）
A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C
(第7題圖)(第8題圖)(第9題圖)(第10題圖)
10、如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則
九年級(上)物理單元測試題[1]第1頁(共四頁)
ABC的大小是（）
A、40°B、45°C、50°D、60°
二、填空題(每小題3分，共24分)
11、如果等邊三角形的一個底角是80°，這么內角是度.12、如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補充一個條件.(第12題圖)(第13題圖)(第15題圖)
13、如圖，點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，則∠C=°.14、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC邊上的中線AD=4cm，則∠ADC的度數是.15、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點，則∠BCD的度數為.16、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.17、如圖，在等邊直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，則△DEF是三角形.18、如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，給出下述推論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的推論是（注：將你覺得正確的推論都填上．）
(第16題圖)(第17題圖)(第18題圖)
三、(每小題6分，共12分)
19、如圖，在四個正圓形拼接成的圖形中，以A1、A2、A3、…、A10這十個點中任意三點為頂點，共能組成多少個等邊直角三角形？你樂意把得到上述推論的探究方式與別人交流嗎?若樂意，請簡略寫出你的探究過程
20、已知：矩形ABCD中（如圖），∠A＝72°，請設計三種不同的分法，將矩形ABCD分割成四個三角形，致使每位三角形都是等邊三角形．（作圖工具不限，要求畫出分割線段；標出才能說明分法所得三角形頂角的度數，沒有標出才能說明分法所得三角形頂角度數不給分；不要求寫出畫法，不要求證明．）
注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就覺得是兩種不同的分法．
分法一：分法二：分法三：
四、(每小題6分，共18分)
21、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC22、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數.23、已知：如圖，等邊矩形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E為矩形外一點，且AE=DE.求證：BE=CE．
五、(每小題8分，共16分)
24、閱讀下題及其證明過程：
已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求證：∠BAE=∠CAE.證明：在△AEB和△AEC中，?EB?EC???ABE??ACE
?AE?AE?
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
問：前面證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理按照；若不正確，請強調錯在哪一步？并寫出你覺得正確的推理過程。
25、如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等腰三角形，直線AN，MC交于點F。
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF為等腰三角形；
(3)將△ACM繞點C按逆秒針方向旋轉900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判定第（1）、（2）兩小題的推論是否仍舊創立（不要求證明）
第二篇：小學語文-幾何證明精典試卷及答案
中學幾何證明題
精典題（一）
1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求證：CD＝GF．（初中）
D2、已知：如圖，P是正圓形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．
求證：△PBC是正三角形．（初中）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
A13、如圖，已知四邊形ABCD、都是正圓形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．
求證：四邊形是正圓形．（初中）
B4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．
求證：∠DEN＝∠F．
精典題（二）
1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．
·
（1）求證：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初中）
·
M2、設MN是圓O外仍然線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．
求證：AP＝AQ．（初中）
3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：
·
·
設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．
求證：AP＝AQ．（初中）
4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的兩側作正圓形ACDE和正圓形CBFG，點P是EF的中點．
求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．（初中）
精典題（三）
1、如圖，四邊形ABCD為正圓形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．
求證：CE＝CF．（初中）
2、如圖，四邊形ABCD為正圓形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．
求證：AE＝AF．（初中）
3、設P是正圓形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求證：PA＝PF．（初中）
P4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的半徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（高中）
精典題（四）
B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度數．（初中）
2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．
求證：∠PAB＝∠PCB．（初中）
B3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（高中）
A4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且
AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初中）
精典困局（五）
1、設P是周長為1的正△ABC內任一點，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．
D2、已知：P是周長為1的正圓形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．
D3、P為正圓形ABCD內的一點，但是PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正圓形的周長．
A4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．
精典題（一）
1.如右圖做GH⊥AB,聯接EO。因為GOFE四點共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。
2.如右圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等腰△，繼而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，因而得出△PBC是正三角形
3.如右圖聯接BC1和AB1分別找其中點F,E.聯接C2F與A2E并延長相交于Q點，聯接EB2并延長交C2Q于H點，聯接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=A1B1=B1C1=
FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,繼而可得∠A2B2
C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，因而得出四邊形是正圓形。
4.如右圖聯接AC并取其中點Q，聯接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，因而得出∠DEN＝∠F。
精典題（二）
1.(1)延長AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,因而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)聯接OB，OC,既得∠BOC=1200，繼而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，聯接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
因為，由此可得△ADF≌△ABG，繼而可得∠AFC=∠AGE。
又由于PFOA與QGOA四點共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，繼而可得AP=AQ。
4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，FH。可得PQ=。
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
繼而可得PQ=
=，因而得證。
精典題（三）
1.順秒針旋轉△ADE，到△ABG，聯接CG.因為∠ABG=∠ADE=900+450=1350
因而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等腰三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，因而可得∠A
EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。
2.聯接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正圓形。
由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，因而可曉得∠F=150，因而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC為正圓形。
令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。
精典困局（四）
1.順秒針旋轉△ABP
600，聯接PQ，則△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。
3.在BD取一點E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
=，即AD?BC=BE?AC，①
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
=，即AB?CD=DE?AC，②
由①+②可得:
AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=
AC·BD，得證。
4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：
=，由AE=FC。
可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定律）。
精典題（五）
1.（1）順秒針旋轉△BPC
600，可得△PBE為等腰三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如右圖：可得最小L=；
（2）過P點作BC的平行線交AB,AC與點D，F。
因為∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP
①
又BP+DP>BP
②
和PF+FC>PC
③
又DF=AF
④
由①②③④可得：最大L<
2；
由（1）和（2）既得：≤L＜2。
2.順秒針旋轉△BPC
600，可得△PBE為等腰三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如右圖：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=
=。
3.順秒針旋轉△ABP
900，可得如右圖：
既得正圓形周長L
=。
4.在AB上找一點F，使∠BCF=600，聯接EF，DG，既得△BGC為等腰三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。
推出
：
△FGE為等腰三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400
①
又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400
②
推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，因而推得：∠FED=∠BED=300。
第三篇：中學語文證明(二)
《證明(二)》單元測試題
一、選擇題（每小題3分）、如圖，在△ABC中，?C?90，EF//AB,?1?50，則?B的度數為（）A．50B.60C.30D.402、兩個直角三角形全等的條件是（）
A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等
3、等腰三角形斜邊長為7，一腰上的中線把其邊長分成兩部份的差為3，則腰長是（）
A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對
4、如圖，已知AB?AD，這么添加下述一個條件后，仍未能判斷△ABC≌△ADC的是（）
A．CB?CDB．∠BAC?∠DAC
C．∠BCA?∠DCAD．∠B?∠D?90?。。。
5、如圖所示，A、B、C分別表示三個村落，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社會主義新農村建設中，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村落到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置應在（）
A．AB中點B．BC中點
C．AC中點D．∠C的平分線與AB的交點
6、設M表示直角三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形，Q表示等邊直角三角形，則下述四個圖中，能表示她們之間關系的是（）
7．下述命題是假命題的是（）
A．有兩個頂角分別為70°和40°的三角形是等邊三角形
B．有兩側長分別為3，4且三周長均為整數的三角形一定是等邊三角形
C．任意兩個頂角不相等的三角形不是等邊三角形
D．有兩個內角相等的三角形是等邊三角形
8、如圖，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分別
為A，B．下述推論中不一定創立的是（）
A．PA?PBB．PO平分?APB
C．OA?OBD．AB垂直平分OPB9、等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則內角的度數是()
A.30°B.60°;C.30°或150°D.不能確定
10、下列說法錯誤的是（）
A.任何命題都有逆命題B.定律都有逆定律
C.命題的逆命題不一定是正確的D.定律的逆定律一定是正確的二、填空題（每小題3分）
11、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點，則∠BCD的度數為.12、如圖，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10分米，BC=8分米，則點D到直線AB的距離是分米。
3，用經過A，B，C三點的平面截這個正方體，所得截面的邊長是cm．
14、我們來探究“雪花曲線”的有關問題：圖7（1）是周長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為斜邊再作正三角形，之后以其兩腰取代斜邊，得到第二個圖形如圖7（2）；再將圖7（2）的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如圖7（3），這么繼續下去，得到的第五個圖形的邊長應等于．
BC
D15、如圖，△ABC的邊長為32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的邊長為24，這么AD的長為．
16、如圖5，△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A等于．
17、如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補充一個條件
.18、三角形兩側的長分別為5和7,則最短周長的取值范圍是.19、命題“如果一個四邊形的四邊都相等,這么這個四邊形是矩形”的逆命題是.20、用反證法證明“三角形鈍角至多有一個”首先假定
三、解答題：（21題4分，其余每小題8分）
21、如圖，三條道路兩兩相交，有關部門要在此“三角形”區域內修筑一個轉運站，使轉運站到三條道路的距離相等，怎么確定轉運站位置。（要求：用尺規畫圖，保留畫圖痕跡，不寫已知、求作和作法）
22．如圖9是一副三角板拼成的四邊形，含45°角那一塊的底邊正好等于另一塊60°角的對邊如圖所示ab是圓直徑的兩個端點，試比較這兩塊三角燴面積的大小，并說明理由．
23．如圖1
2，ABCD是一張長圓形的紙片，折疊它的一邊AD，使點D落在BC邊上的F點處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，這么EC等于多少？你能證明你的推論嗎？
24、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC25、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數.26、已知D是Rt△ABC底邊AC的中點，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度數.27、已知：如圖，在等腰三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．
28、已知：如圖，在等腰三角形ABC中，D、E分別為BC、AC上的點，且AE＝CD，聯結AD、BE交于點P，作BQ⊥AD，垂足為Q．求
證：BP＝2PQ.
第四篇：中學語文三角形證明（例文）
1.如圖△ABC，∠AFD＝
158°，求∠EDF的度數。
2.如圖，∠C
＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A與∠EFD的度數。
3.如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC
4.如圖，在△ABC中，已知AD是△
ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度數．
5.如圖△ABC的邊長為18
cm，BE、CF
分別為AC、AB邊上的中線，BE、CF相交于點O，AO的延長線交BC于D，且AF=3cm,AE=2cm，求BD的長.解題思路：
（1）求角度問題要考慮：角平分線、三角形頂角和定律、兩頂角之和等于第三角的內角
（2）先列方程，之后按照題目要求除去無關信息，最后采用“消元法”的思路轉換解決，求出未知
（3）對于個別題要結合外圍圖形和條件，例如四邊形、三角形全等、直線關系（平行、相交）來解答。
00第八講三角形證明
（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求ADECDAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中點，F求證：∠1=∠2EA8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CABA9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：EAE=AD+如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M，求證：2∠M=（∠ACB-∠B）解題思路：(1)三角形的證明通常思路是證全等和相像（八年級）（2）剖析題目先看求哪些？之后考慮求未知必須先求哪些？需證明這些量相等，或那個三角形相等之后找出已知條件所能得出的推論，之后看它們能不能證出所要的關系（3）假如不能證出數目關系要考慮添加輔助線來“湊出”條件，然后在證明
11.如圖，A,F,E,B四點共線，AC?CE，BD?DF，AE?BF，A
17.如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求AC?BD。求證：?ACF??BDE。較難
12.如圖，在?ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD?BE，垂足為D。求證：?2??1??C
13.已知如圖，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE.14.在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經過點C，且AD?MN于D，BE?MN于E求證：?ADC≌?CEB
15.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE
證：∠C=2∠BCD
BF
18.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平
分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交D
BA的延長線于F．BC
求證：BD=2CE．Q
19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定P
AP與AQ的數目關系和位置關系B
20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，E、F分別在AC、AB上，且DE⊥DF，試判定DE、DF的數目關系，并說明理由．
(附加題)如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=
CD，AF=CE，BD交AC于點M．
（1）求證：MB=MD，ME=MF
（2）當E、F兩點聯通到如圖②的位置時，其余條件不變，上述推論能夠創立？若創立請給與證明；若不創立請說明理由．
第五篇：中學語文定律證明
中學語文定律證明
物理定律
三角形三條邊的關系
定律：三角形兩側的和小于第三邊
結論：三角形兩側的差大于第三邊
三角形頂角和
三角形頂角和定律三角形三個頂角的和等于180°
結論1直角三角形的兩個銳角互余
結論2三角形的一個內角等于和它不相鄰的兩個頂角和
結論3三角形的一個內角洪水任何一個和它不相鄰的頂角
角的平分線
性質定律在角的平分線上的點到這個角的兩側的距離相等
幾何語言：
∵OC是∠AOB的角平分線(或則∠AOC=∠BOC)
pE⊥OA，pF⊥OB
點p在OC上
∴pE=pF(角平分線性質定律)
判斷定律到一個角的兩側的距離相等的點，在這個角的平分線上
幾何語言：
∵pE⊥OA，pF⊥OB
pE=pF
∴點p在∠AOB的角平分線上(角平分線判斷定律)
等邊三角形的性質
等邊三角形的性質定律等邊三角形的兩底角相等
幾何語言：
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等腰對等角)
結論1等邊三角形內角的平分線平分斜邊而且垂直于斜邊
幾何語言：
(1)∵AB=AC，BD=DC
∴∠1=∠2，AD⊥BC(等邊三角形內角的平分線垂直平分斜邊)
(2)∵AB=AC，∠1=∠
2∴AD⊥BC，BD=DC(等邊三角形內角的平分線垂直平分斜邊)
(3)∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠1=∠2，BD=DC(等邊三角形內角的平分線垂直平分斜邊)
結論2等腰三角形的各角都相等，而且每一個角等于60°
幾何語言：
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等腰三角形的各角都相等，而且每一個角都等于60°)
等邊三角形的判斷
判斷定律假如一個三角形有兩個角相等，這么這兩個角所對的邊也相等
幾何語言：
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角對等腰)
結論1三個角都相等的三角形是等腰三角形
幾何語言：
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三個角都相等的三角形是等腰三角形)
結論2有一個角等于60°的等邊三角形是等腰三角形
幾何語言：
∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一個角等于60°的等邊三角形是等腰三角形)
結論3在直角三角形中，假如一個銳角等于30°，這么它所對的直角邊等于底邊的一半
幾何語言：
∵∠C=90°，∠B=30°
∴BC=AB或則AB=2BC(在直角三角形中，假如一個銳角等于30°，這么它所對的直角邊等于底邊的一半)
線段的垂直平分線
定律線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
幾何語言：
∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)
點p為MN上任一點
∴pA=pB(線段垂直平分線性質)
逆定律和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
幾何語言：
∵pA=pB
∴點p在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判斷)
軸對稱和軸對稱圖形
定律1關于某條之間對稱的兩個圖形是全等形
定律2假如兩個圖形關于某直線對稱，這么對稱軸是對應點連線的垂直平分線
定律3兩個圖形關于某直線對稱，若它們的對應線段或延長線相交，這么交點在對稱軸上
逆定律若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那這兩個圖形關于這條直線對稱
勾股定律
勾股定律直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于底邊c的平方，即
a2+b2=c
2勾股定律的逆定律
勾股定律的逆定律假如三角形的三周長a、b、c有關系，這么這個三角形是直角三角形
四邊形
定律任意四邊形的外角和等于360°
六邊形頂角和
定律六邊形頂角和定律n邊形的外角的和等于(n-2)·180°
推測任意五邊形的內角和等于360°
平行四邊形及其性質
性質定律1平行四邊形的對角相等
性質定律2平行四邊形的對邊相等
推測夾在兩條平行線間的平行線段相等
性質定律3平行四邊形的對角線相互平分
幾何語言：
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對角相等)
∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對邊相等)
AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對角線相互平分)
平行四邊形的判斷
判斷定律1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
判斷定律2兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)
判斷定律3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD=BC，AB=CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
判斷定律4對角線相互平分的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(對角線相互平分的四邊形是平行四邊形)
判斷定律5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
圓形
性質定律1方形的四個角都是直角
性質定律2方形的對角線相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是圓形
∴AC=BD(方形的對角線相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(菱形的四個角都是直角)
推測直角三角形底邊上的中線等于底邊的一半
幾何語言：
∵△ABC為直角三角形，AO=OC
∴BO=AC(直角三角形底邊上的中線等于底邊的一半)
判斷定律1有三個角是直角的四邊形是圓形
幾何語言：
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四邊形ABCD是圓形(有三個角是直角的四邊形是圓形)
判斷定律2對角線相等的平行四邊形是圓形
幾何語言：
∵AC=BD
∴四邊形ABCD是圓形(對角線相等的平行四邊形是圓形)
矩形
性質定律1矩形的四條邊都相等
性質定律2矩形的對角線相互垂直，而且每一條對角線平分一組對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=BC=CD=AD(矩形的四條邊都相等)
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
(矩形的對角線相互垂直，而且每一條對角線平分一組對角)
判斷定律1四邊都相等的四邊形是矩形
幾何語言：
∵AB=BC=CD=AD
∴四邊形ABCD是矩形(四邊都相等的四邊形是矩形)
判斷定律2對角線相互垂直的平行四邊形是矩形
幾何語言：
∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是矩形(對角線相互垂直的平行四邊形是矩形)
正圓形
性質定律1正圓形的四個角都是直角，四條邊都相等
性質定律2正圓形的兩條對角線相等，而且相互垂直平分，每條對角線平分一組對角
中心對稱和中心對稱圖形
定律1關于中心對稱的兩個圖形是全等形
定律2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，但是被對稱中心平分
逆定律假如兩個圖形的對應點連線都經過某一點，但是被這一點平分，這么這兩個圖形關于這一點對稱
矩形
等邊矩形性質定律等邊矩形在同一底上的兩個角相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是等邊矩形
∴∠A=∠B，∠C=∠D(等邊矩形在同一底上的兩個角相等)
等邊矩形判斷定律在同一底上的兩個角相等的矩形是等邊矩形
幾何語言：
∵∠A=∠B，∠C=∠D
∴四邊形ABCD是等邊矩形(在同一底上的兩個角相等的矩形是等邊矩形)
三角形、梯形中位線
三角形中位線定律三角形的中位線平行與第三邊，而且等于它的一半
幾何語言：
∵EF是三角形的中位線
∴EF=AB(三角形中位線定律)
矩形中位線定律矩形的中位線平行與兩底，但是等于兩底和的一半
幾何語言：
∵EF是矩形的中位線
∴EF=(AB+CD)(矩形中位線定律)
比列線段
1、比例的基本性質
假如a∶b=c∶d，這么ad=bc2、合比性質
3、等比性質
平行線分線段成比列定律
平行線分線段成比列定律三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比列
幾何語言：
∵l‖p‖a
(三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比列)
推測平行與三角形一邊的直線截其他兩側(或兩側的延長線)，所得的對應線段成比列
定律若果一條直線截三角形的兩側(或兩側的延長線)所得的對應線段成比列，這么這條直線平行與三角形的第三邊
垂直于弦的半徑
垂徑定律垂直于弦的半徑平分這條弦，但是平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，OC過圓心
(垂徑定律)
推斷
1(1)平分弦(不是半徑)的半徑垂直于弦，但是平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是半徑
(平分弦(不是半徑)的半徑垂直于弦，但是平分弦所對的兩條弧)
(2)弦的垂直平分線過圓心，但是平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵AC=BC，OC過圓心
(弦的垂直平分線過圓心，但是平分弦所對的兩條弧)
(3)平分弦所對的一條弧的半徑，垂直平分弦，但是平分弦所對的另一條弧
幾何語言：
(平分弦所對的一條弧的半徑，垂直平分弦，但是平分弦所對的另一條弧)
推測2圓的兩條平分弦所夾的弧相等
幾何語言：∵AB‖CD
圓心角、虎弦、弦心距之間的關系
定律在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等
推測在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，這么它們所對應的其余各組量都分別相等
圓周角
定律一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
推測1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推測2半圓(或半徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直角
推測3假如三角形一邊上的中線等于那邊的一半，這么這個三角形是直角三角形
圓的內接四邊形
定律圓的內接四邊形的對角互補，而且任何一個內角都等于它的內對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE
切線的判斷和性質
切線的判斷定律經過直徑的外端而且垂直于這條直徑的直線是圓的切線
幾何語言：∵l⊥OA，點A在⊙O上
∴直線l是⊙O的切線(切線判斷定律)
切線的性質定律圓的切線垂直于經過切點直徑
幾何語言：∵OA是⊙O的直徑，直線l切⊙O于點A
∴l⊥OA(切線性質定律)
推測1經過圓心且垂直于切線的半徑必經過切點
推測2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心
切線長定律
定律從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線外貌等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的傾角
幾何語言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C兩點
∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切線長定律)
弦切角
弦切角定律弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對的是
∴∠BCN=∠A
推測假如兩個弦切角所夾的弧相等，這么這兩個弦切角也相等
幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對的是，=
∴∠BCN=∠ACM
和圓有關的比列線段
相交弦定律：圓內的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵弦AB、CD交于點p
∴pA·pB=pC·pD(相交弦定律)
結論：假如弦與半徑垂直相交，這么弦的一半是它分半徑所成的兩條線段的比列中項
幾何語言：∵AB是半徑，CD⊥AB于點p
∴pC2=pA·pB(相交弦定律推導)
切割線定律從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比列中項
幾何語言：∵pT切⊙O于點T，pBA是⊙O的割線
∴pT2=pA·pB(切割線定律)
推測從圓外一點因圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的焦點的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵pBA、pDC是⊙O的割線
∴pT2=pA·pB(切割線定律推導)。
