號主按：新春伊始，化學優質公眾號聯盟企劃推出“感恩你，向粉絲送豪禮”活動方案。本號作為聯盟成員之一，特別贊賞這一活動，并以本號個性形式響應這一活動，即于近日推送號主已發表論文（知網可查）。依據聯盟統一要求，“豪禮”（本號附贈為號主已發表的論文，PDF版）均要裝入云盤中，便捷同學直接下載。明天推送的論文，是就模型建構教學進行教學實踐研究而撰寫的文章之一，分享于此，希望對同仁同學舉辦模型教學有所助益。
［發表文章］“多方建模”化解化學知識難點初探［發表文章］“多方建模”突破化學模型思維障礙——以理想二氧化碳浮力微觀表達式的探究教學為例［發表文章］基于學科核心素質的中學數學模型教學策略［發表文章］數學建模與物理解模教學探究——以“輕物”模型教學為例———————………——————
《普通中學數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)為落實中國中學生發展核心素質要求，內蘊了數學學科核心素質，主要包括數學觀念、科學思維、科學探究、科學心態與責任等的方面。注意到模型建構是科學思維的要素之一，這是由于“科學的基本活動就是探求和制訂模型”(美國科學方式論學者阿雷語)，在探求和制訂模型活動中須要科學推理、科學論證等要素的參與，擬定模型后常常還要經歷指責創新要素的洗禮，科學進步過程就是對模型的批判、否定、修正、更替的過程。剖析可知，數學模型思維在《新課標》中的地位明顯提高。基于《新課標》編制的人教版普通中學教科書《物理》(以下簡稱《物理》)提升了數學模型這一科學方式的顯性化水平，但仍然存在“直呼其名不見雖然”的情況。筆者闡述了數學模型思維的特點，強調了數學模型思維認識中的缺位，提出了具有針對性的重建策略，但是以無窮時問題的教學反省為例，進行了具體闡述。
一、物理模型思維
1.模型思維概述
數學模型是反映原物(物體或事物)某方面本質特點的理想物質(過程)或假定結構，是對實際問題進行科學的具象化處理結果，運用了忽視次要誘因，突出主要誘因的簡化方式，有利于對實際問題的剖析和研究。數學模型作為一種思維方式和科學研究方式，具有理想化、純凈化、抽象化等特點。筆者注重從功能作用方面，探討數學模型建構的必要性、辯證性和發展性等重要特點。
(1)數學模型的必要性
趙凱華院長曾說：“實際問題常常是復雜的，其中包含一些非本質的枝節，數學模型就是把實際問題理想化，先略去一些次要誘因，突出其主要誘因，不這樣做我們就得不到簡約的數學規律。”也就是說，數學模型思維在科學探究活動中不可或缺，非常必要。實際上，數學建模過程就是解決問題的過程1。由此可見，就培養中學生的科學研究能力和解決問題的能力而言，注重數學模型教學是非常重要的，是班主任不可推脫的教學責任。
(2)數學模型的辨證性
數學模型思維方式最核心的特點是忽視次要誘因突出主要誘因，而實際問題常常非常復雜，具有諸多的影響誘因。主要誘因和次要誘因的確定取決于問題研究的需求，研究問題的需求不同，這種諸多誘因的地位也就不同。某個誘因在這個問題需求中本來為主要誘因，在另一個問題需求中可能變為次要誘因，反之亦然。由此可見，數學模型思維具有辨證性，必須具體問題具體剖析，在同一問題中還得依照不同需求而區別剖析。
(3)數學模型的發展性
隨著技術條件的發展、觀察認識的推動、理解思索的深入，非常是隨著一種新實驗現象的呈現，人們對同一事物或問題都會有一個新的認識和理解，而且會通過可共享、可理解、可接受的形式敘述下來，這個新認識就是一個新模型。也就是說，對同一事物或問題所建立的化學模型總是發展變化的。比如，人們對于宇宙的認識，有關宇宙構造的模型經歷了從天蓋說、地心說到日心說、宇宙爆燃學說的變革；對于原子結構的認識，對其模型的建立歷經了實體模型、棗糕模型、核式結構模型、波爾模型和量子模型。
2.模型思維的缺位
在實際教學中，師生對化學模型的認識或多或少存在著各類缺憾，這些缺憾源于深層次的認知缺位和最基層的意識缺位，以及無法攻破的心理缺位。在小學數學教學中，常見的模型思維的缺位性表現主要有以下三個特點：
(1)模型認識的敵視性
物理學科幾乎伴隨著每一位中學生的成長，也深深地影響著中學生的思維方法。物理是符號模式化學科，研究的是物理模型的符號詮釋、推導，在詮釋推論中，整個過程要求邏輯嚴密，估算精確。實際上，中中學階段中學生接觸到的化學內容指出理智認知，方式常常偏語文化，而對于真正的原始數學問題中學生常常接觸較少。在數學教學中，從原始問題到模型建立的剖析過程常常被忽略，而過分重視模型建構后的概念詮釋、規律呈現和推論推論；得到推論后，課堂教學便猝然而止，完全遺棄了由推論到原始問題的反饋過程，數學課堂教學呈現“棄兩端取中間”的缺頭少尾現象。嚴格地講，這不是數學課，而是語文課。
久而久之，師生對近似處理、理想化處理具有發自意識深處的排斥心理，產生思維障礙確有其因。對數學模型的敵視性，是模型思維缺位表現中最癥結性的問題。
(2)模型認識的孤立性
對事物和問題的認識一旦產生了較為深刻的印象后，這些認識就容易固化，從數學模型角度來看，表現為模型認識的孤立性。諸如，質點是中學階段中學生接觸的模型之一，在熱學問題的研究中，可依照具體情況忽視物體的大小或形狀，將其視為質點，將要物體看成一個有質量的幾何點。然而，中學生容易產生這樣的孤立認識：一個物體要么可以視為質點，要么不可以視為質點，除此之外無法聯想到其他數學模型。假如說難以把物體建立為質心模型是受教學要求所限，甚或情有可原高中物理148個解題模型，這么把物體視為輕物模型時表現下來的思維障礙，卻意味著是數學模型教學的缺憾。在實際教學中，班主任應該充分認識到中學生極容易產生模型認識的孤立性特征，這對建立數學模型教學非常重要。
(3)模型認識的靜態性
對事物的認識應當具備與時俱進、發展變化的眼光，對化學模型的認識亦當這么。但是，中學生對模型的認識常常容易靜態化，不能用動態的視角處理問題。在小學數學的電路問題中，水表通常就會被理想化處理，無須考慮電流表的分流作用或電壓表的分壓作用，中學階段通常不再忽視水表的影響，而是必須考慮水表電阻的影響。中學生對于這一變化往往無所適從，思維嚴重遇阻，這正是模型認識的靜態性表現。
3.模型思維的重建
按照數學模型的特點和中學生認識中存在的缺位性特征，筆者就數學模型教學提出重建策略，以期幫助中學生提升模型思維意識和數學建模能力。
(1)建模思維體驗策略
讓中學生經歷數學建模的思維過程，這是一種體驗性策略。趙凱華院長執筆的《走在數學課堂之前》一文所呈現的教學故事大致如是：一群好學的兒子從物體下落現象中喚起好奇心，興高采烈地討論后，提出了有價值的問題；之后對問題進行了深入研究，提出了初步方案，遇見了解決問題的阻礙條件；在班主任的幫助下改善了條件，并成功地解決了問題。解決問題后，班主任不忘進一步點撥，從解決問題中提煉出科學方式，并以“現身說法”的形式闡發了數學模型的概念及其作用。趙凱華院士的這個教學故事挺好地闡明了建模思維中的體驗策略，只有經歷了數學模型的構建過程，能夠真正理解化學模型。
(2)建模思維顯化策略
科學方式教育的顯性化是新教材的突出特征之一。數學模型科學方式在新教材中的顯性化水平似乎明顯增強，但一直存在化學模型的建構過程顯化程度不高的問題。數學建模須要經歷“實際問題→實物原型→物理模型→數學模型→形成推論→實際問題”這一完整的思維過程。其中剖析原型特點、根據問題須要忽視次要或無關特點、突出主要特點、形成數學模型是數學建模思維過程中的核心環節，在數學模型教學中，勿必要把這一建模核心環節顯性化，著力做到思維過程顯性化。
(3)建模思維多元策略
同樣一個物體，既可以視為質點，也可以視為質心，還可以視為輕物模型。也就是說，同一個物體到底該建構成何種模型，取決于研究問題的須要。文獻[1]提出了具有遞進關系的“多方建模”教學策略；文獻[2]提出了具有并列關系的“多方建模”教學策略。只有經歷多樣化的建模教學，能夠靈活把握數學建模科學思維方式，最終達到學因而用的目的。
二、無窮時問題
1.無窮時問題的劃分
一個化學過程須要經歷無限長時間，稱為無窮時化學過程。從物理角度而言，這個化學過程的特征是：一個具有累積性的數學量歷經時間的推移趨近于某個特定值。似乎，這屬于漸進性問題。具有前述特性的數學問題，本文稱為無窮時問題。在小學階段，有以下三個十分典型的無窮時問題。
2.無窮時問題典例剖析
(1)恒定功率啟動問題
例1某機車的額定功率為P，在某直線公路上行駛時遭到恒定阻力f的作用。若機車以額定功率從靜止開始運動，試求其最終速率及達到此速率所需的時間。
解析設底盤牽引力為F，依據牛頓第二定理：
3.無窮時問題的疑慮
疑問1若一個化學過程中一個數學量趨近于某一特定值須要歷經無限長時間，這就說明這個數學量不可能達到前述特定值。所以通過“特殊”物理情景剖析并估算得到這一特定值是值得商榷的，由于這種化學過程難以達到所須要的這個值。文獻[3]就提出了這一苦惱，并對一類常見電磁感應題目提出商榷，強調這類題目應當規避過程指向以回避商榷點或困擾點。
疑問2電容器充放電過程是一個無窮時化學過程，中學階段對電容器充放電過程卻處理為頓時過程。中學階段對充放電過程的處理是否犯了科學性錯誤？
4.無窮時問題的命制
針對無窮時問題的三個典型情景命制試卷極容易出現矛盾性問題，即按照不同解題方式得出的推論出現嚴重不一致高中物理148個解題模型，經反復剖析，兩種解法都正確，估算沒有出錯。這著實讓一線班主任倍感困擾，以至于在命制試題時只能規避前述三個典型情景。嚴格說來，這類題目之所以出現矛盾性問題，其本質就是犯了科學性錯誤。文獻[4]強調了一道機車啟動題目中的矛盾性問題，并運用Graph軟件呈現且解決了問題，提出“在命制機車啟動數學試卷時，不能隨便設定時間，必須尊重客觀規律”。筆者覺得該建議確實不錯，卻沒有提供可操作的考題命制建議。這么，為何在命制這類試卷時容易犯科學性錯誤，又如何在命制這種試卷時防止犯科學性錯誤呢？
三、無窮時問題的模型剖析
面對無窮時問題容易產生疑問，以及命制這種試卷時容易犯科學性錯誤，其根本緣由是對這一問題無法進行具體問題具體剖析，即無法根據問題須要建構合理的模型。其中，在模型剖析時表現出敵視性、孤立性、靜態性等思維局限性，這須要通過數學建模體驗策略、顯化策略和多元策略加以突破。
1.化學中的“無窮”與“有窮”
在數學學中存在例如“有”與“無”，“動”與“靜”，“無限”與“有限”等矛盾轉化問題。諸如，理論上任何兩個物體之間都有萬有引力作用，然而微觀乃至中觀領域卻可以忽視不計，“有”中視“無”。運動和靜止具有相對性，參考系選擇不同，運動方式就可能不同。眾所周知，分子之間的斥力隨著距離減小而降低，其中距離趨向無窮大時分子力才趨向零。但在實際處理問題時，分子之間的距離>10r。(約10^-10m)時，分子力就可以視為0。這類矛盾轉化問題正是數學模型思維的特點表現，即必要性、辯證性和發展性的彰顯。無窮時問題實際上也存在“無窮”與“有窮”的模型轉化問題。
2.無窮時問題的過程模型
前述例1、2、3三個情景問題均屬于過程問題，屬于理想化的過程模型。把握了微積分等物理方式，完全可以如前文解析一樣進行嚴密的物理剖析。值得強調，卻不能被這些具象的、嚴密的思維所禁錮而無法關照到數學問題的實際情況。諸如充放電過程，假如在圖1電路中串聯一個可觀察的電壓測量儀器(靈敏電壓表或電壓傳感等)，我們將發覺電容器充放電過程確實是短暫的，并不是“無窮時”過程。是前文理論解析錯誤嗎？并不是。若把電容器電容、電阻器阻值等實際參數代入剖析，就不難發覺所需時間很短時充放電過程就趨向結束，即測量電壓趨向0。機車啟動也是這么，實際機車啟動時間并不是太長。前述的三情景問題均彰顯無窮中的有窮現象。不難發覺，只有通過實際問題的親身體驗(做實驗或回歸實際生活)，能夠突破數學建模思維障礙。
3.無窮時問題的終態模型
正如前述所言，無窮時問題具有無窮中的“有窮”特征，所以討論無窮時問題的最終狀態是有意義的。倘若無須突出“過程”特征，這么可以忽視過程
4.無窮時問題的命制策略
不難看出，無窮時問題的過程模型與終態模型具有對立統一的關系，若須要考慮過程細節，就必須運用過程模型；若僅考慮最終狀態，則只需運用終態模型。在命制試卷時，應該靈活運用過程模型和終態模型，能夠規避科學性錯誤。
命題人若能運用過程模型推論過程關系式，并運用函數圖象軟件勾畫圖象，極易發覺試卷所犯的科學性錯誤。假如命題人在命制試卷時能運用好過程模型，可以命制出高質量的題目。下邊對例4進行改編以作示范。
改編題如圖5所示，在豎直平面內有一上下邊界均水平，垂直線框所在平面的勻強磁場，磁感應硬度B=2.5T。長矩形單匝金屬線框在磁場上方h=0.45m處，質量為m=0.1kg，周長l
?
=1m;
答案AD
解讀運用過程模型，即按照圖4所示的過程函數圖象可知，cd邊步入磁場切割磁感線運動作為初始條件，再經過約0.5m位移后即可視為勻速直線運動。把線框豎直周長修正為1m，確保了線框才能達到勻速直線運動，即可過渡到終態模型。可見，運用過程模型做出物理圖象(亦可稱為物理模型)有利于輔助試卷命題，防止犯條件不自洽的科學性錯誤。
四、結語
數學建模作為一種科學研究方式，對于提升中學生的問題剖析能力、科學思維能力、解題能力等，具有重要的作用；同時，對于提升班主任的教學質量和效率，也具有推動作用。事實上，只要能否把握數學模型建構的思維方式，明晰數學模型的功能特點，就能靈活運用數學建模教學策略，提升數學建模意識和能力指日可待。
本文的PDF文件及本號的“豪禮”，下載步驟如下：
