(1上海十一中學)
(2上海交通學院理大學)
(3中國科大學數學研究所)
(4天津師范學院科學教育研究院)
本文選自《物理》2021年第5期
化學學側重“用量來描述質”。對每一個我們關心的問題，化學學家首先要做的就是把關心的性質或行為用一組數目()表示下來。對化學量本身的理解，正是讓所學的數學更像歐內斯特·盧瑟福所說的“物理”而不是“集郵”的關鍵。文章嘗試對化學量本身的思想基礎、定義和檢測等進行闡述，希望喚醒讀者對這一問題的注重，因而對化學有更深入的理解與思索。
01
引言
化學學側重“用量來描述質”。對每一個我們關心的問題，例如數學的冷熱、運動的快慢等等，化學學家首先要做的就是把關心的性質或行為用一組數目()表示下來，如氣溫、速度等等。假如把建立和發展化學體系喻為修筑一座摩天大廈，這么那些以數目的方式抒發出的研究對象的性質和行為——物理量，就是構成大樓的最小“磚塊”。
好多人在學習、使用、研究數學時，對各類數學量“磚塊”只是用來就用，甚少認真思索過這種磚塊的特性和共性。但是對化學量本身的理解，正是讓所學的數學更像歐內斯特·盧瑟福所說的“物理”而不是“集郵”的關鍵。
02
化學量的定義
伽利略對斜面和落地的研究推翻了亞里士多德的觀點，但這并不意味著亞里士多德的體系對現代數學學沒有影響。我們定義數學量的基本思想，還是要參考亞里士多德對“量”的范疇和“質”的范疇的分辨。
“量”的范疇基本特點是：“量的數目的每一個狀態，總可以利用同一量的其他較小的狀態通過乘法產生；通過比第一個量小，但卻是它同一類型的量的交換和結合操作，量都是這種較小量的總和[1]。”而這些不符合這一特點的東西則歸為“質”，比如一個物體的冷熱，在沒有把它轉化成一個具有可加性的量之前，我們很難比較。
化學量的定義，就是把數學學中所描述的現象、物體或物質的性質和行為等這些符合“量”的特點的誘因找下來，如規格的長短，容積的大小，物質的多少等等；或則把這些不符合量的特點的“質”轉化成“量”，如把冷熱程度轉化為容積的大小，或把快慢轉化為距離長短和時間長短之間的比值等等。
理論上只要是研究須要，誰都可以定義數學量；同一個性質，也完全可以有不同的化學量定義方法。但為了便捷協作，一般各研究領域中都有共同約定的基本量，明天的化學學體系中選購了7個才能直接檢測且互相獨立的化學量作為基本數學量。而基本數學量的任意運算組合都能定義出新的數學量。雖然同一種組合，在不同的情景下，也可以是不同的化學量。諸如質量與寬度的比值，在物質科學領域可以是反映物體質量分布線密度，在健康科學領域可以是評判人體美丑程度以及是否健康的一個標準指數BMI。理論上數學量是無窮無盡的，但實際上，只有發覺某種組合才能反映特定的屬性后，該化學量才具有實際意義。諸如質量與厚度的5次方、6次方的比值，假如暫時沒有發覺才能反映哪種特殊屬性，就沒有必要定義成化學量。
03
化學量的檢測
量的可加性，為檢測奠定了基礎。諸如“物理學大樓”的容積，就是組成大樓的每一塊磚容積相乘的結果，我們可以把一個磚塊的容積作為一個基準(例如“一升”)，通過數這獨棟大廈由多少塊磚(例如N塊)，就完成了大廈容積的檢測——N升。
定量地描述一個數學量的基本范式是數值(一般是實數)和單位的組合。諸位讀者不妨回顧一下數學學中這些就能直接檢測的量，大都是構建在這樣的基礎之上。而完成這個工作實際須要兩步：
第1步：確定一個標準，例如我們以伸開雙手時大手指尖到手指間的距離(也稱“一拃”)，或是用尺子和圓規在白紙上打出等寬度的條紋作為標準產生一個“單位”，此時我們的手或那張有條紋的白紙就成了一個厚度“計”。
第2步：用我們定的標準去和想要描述的對象做比較，瞧瞧它有多少個“單位”，例如對比一根竹竿的寬度有幾拃，或是白紙上條紋寬度的幾倍。這個過程就是用“計”去進行“量”，因而獲得一個具體的數目。
為此我們所說的數學量的檢測，雖然稱為“計量”更為確切。“計”和“量”是兩件不同的事。“計”是制訂標準，制做“尺子”；而“量”則是用“尺子”去和我們想要描述的東西做比較，瞧瞧它大概有“尺子”上的“幾格”那么長。日常生活中時常進行的“測量”工作只是第2步，拿早已制做好的厚度“計”——尺子，去和各類各樣的物體做比較，獲得有關物體厚度的數目描述的過程。而第1步制做“尺子”的過程，早已由計量學家完成了[2]。
04
單位制
基準的選擇是可以因人而異的，對同一化學量的檢測常常可以存在多個標準。從物理上看，單位制的構建可以看作所有數學量構成一個向量空間。確定單位制，本質上就是選取一組描述不同屬性的數學量的單位作為基矢，則通過化學量之間的相關關系就可以把其他化學量用這一組基矢表示下來。在這個過程中，基矢的選擇也并沒有惟一的答案。
倘若只是一個人封閉地做研究，自己約定單位不會影響化學量之間的內在關聯。例如牛頓第二定理F=kma什么是物理量，當力F、質量m或加速度a的單位改變時，只會影響系數k，不會影響加速度與斥力成反比，與受力物體質量成正比的基本規律。并且要進行大規模協作時，單位不統一會引起許多不便。如秦始皇統一中國時就發覺各地的寬度、容量、輕重單位都不相同什么是物理量，他下命令給士兵發1斗米做糧食，在有的地方可才能兩三個人吃，而在有的地方卻連一個人吃都不夠，讓國家的整治顯得混亂不堪，因此使得秦始皇統一測度衡，為整個國家的大規模協作奠定基礎。有時單位不統一甚至可能殃及人命。1983年的三天，美國民航143號航班的燃料檢測裝置出了點問題，并且備用零件又一時拿不到，于是機長決定手工估算燃料，飛到目的地再修理。這趟航程根據公制大概須要2萬千克的燃油，而且工作人員卻是根據美制的2萬磅加的油。美制的2萬磅雖然只有公制的大概9072kg，還不到一半，結果可想而知，客機飛到一半就沒有油了。在千鈞一發的時刻，幸好機長想起幾十公里外有一個基米尼海軍基地。在沒有動力的情況下，客機進行了創紀錄的超長距離滑翔，最終成功迫降，這才避開了一場機毀人亡的悲劇發生。
所以，盡管理論上約定單位制不是必須的，研究者可以依據自己的研究便捷定義自己的單位制。但為了領域內溝通交流的便捷，一般還會使用約定的單位制。其實，各領域又會按照各自不同的研究特征，確定不同的單位制。
明天，國際單位制(ofunits)是國際計量會議(CGPM)采納和推薦的一種一貫單位制。在國際單位制中，將單位分成三類：基本單位、導出單位和輔助單位。7個嚴格定義的基本單位是：寬度(米)、質量(千克)、時間(秒)、電流(安培)、熱力學氣溫(開爾文)、物質的量(摩爾)和發光硬度(坎德拉)。
國際單位制
05
化學量的內在聯系——量綱
化學學通過定義各類數學量來描述對象的不同性質，最終的目的還是找到聯系各類數學量之間的數學規律，并通過代數等式的形式抒發下來。這么人們定義的各類數學量也就必然通過各類數學規律(有些直接來始于定義)存在一些內在的聯系，用物理語言抒發就是數學量之間存在函數關系。以給定量制中基本量量綱的冪的乘積表示某量量綱的表達式，稱為量綱式、量綱積或簡稱為量綱。
量綱定性地抒發了導入量與基本量的關系，合理地借助量綱來剖析問題，往往帶來好多便利。諸如最簡單地借助量綱齊次原則檢測結果的合理智。其實量綱合理的結果不一定正確，但量綱不合理的結果一定錯誤，在實際工作中能節省不少資源。在1914年提出的π定律，有時更能在變量多、模型復雜的估算時對結果進行快速定性預測。
06
結語
化學量的定義和計量，以及單位制、量綱等問題，都是數學學最基本也是最重要的問題，貫串數學學的各個角落，其中蘊涵著數學學的基本思想。但是在數學教育中，它們往往只被“拿來主義”地直接使用，少有深入地闡述，這對學習者和研究者而言都是很大的缺憾。本文嘗試對那些問題做些闡述，希望喚醒讀者對這一問題的注重，因此對化學有更深入的思索。
參考文獻
[1]皮埃爾·迪昂.數學學理論的目的與結構.上海：商務印書館，2005.39
[2]陳征.化學運轉的奧秘.北京：山東少兒出版社，2021
