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[!--downpath--]極化恒方程速解一類平面向量問題
湖北省金華市蕭山區(qū)班主任發(fā)展中心施廣平
極化恒方程是學院物理基礎(chǔ)課程《泛函剖析》（）中的知識，經(jīng)過簡單的變型就可轉(zhuǎn)化為如下平面向量基本關(guān)系式，對于向量a,b，通過恒等變型可得
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a?b?21?a?b?(a?b)2?，再經(jīng)過幾何延展，如圖所示，對于平
22AB將平面向量的數(shù)目積（亦稱為點積）關(guān)系轉(zhuǎn)化為了兩個平面向量的厚度關(guān)系，使不可測度的向量數(shù)目積關(guān)
系轉(zhuǎn)化為可測度、可估算的數(shù)目關(guān)系，其意義不同凡響．若能依靠于極化恒方程那就可以速解一類有關(guān)平面向量數(shù)目積的問題，下邊分四類例析：
一．數(shù)目積與線性問題
例1．（2014上海市摸擬試卷）已知向量a,b滿足2a?3b?1，則a?b最大值為剖析：此題主要是通過給出平面向量的線性條件，來求解平面向量數(shù)目積的最大值，問題設(shè)置簡約漂亮，但考生化解破費腦勁，緣由是此題突破的思路看似好多，但走上去都要費一翻工夫，之后若能利用于平面向量的極化恒方程，那破解上去堪稱事半功倍．
解析1：（多項式構(gòu)造法）構(gòu)造多項式?2a?3b??(2a?3b)?24a?b
22(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211則a?b?，當且僅當2a?3b，且a?時，上式等號創(chuàng)立．????解法2：（不方程法）對于條件2a?3b?1，則有4a?9b?12ab?1，又因?2a?3b??0，則有4a?9b?12a?b，則12a?b?1?12a?b，
22222因而a?b最大值為
124解法3：（極化恒方程法）設(shè)2a?OA，3b?OB，取AB的中點為M，
BM
1，對于?OAB，因?BOA可以變化，當?BOA趨于于0度時，趨于于0，而OM?，則2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?，
442OM?OA
1為此a?b最大值為
24點評：破解這種問題，因涉及的路徑入口較多，技巧也是層出不窮．構(gòu)造法和不方程法在破解時雖也是簡約明了，但由于要想到這類方式的突破口較為困難，對好多中學生而言，理解尚可，把握就較為困難了；而若能利用于極化恒方程，只要能畫出線性圖形，結(jié)合幾何意義，問題的突破就有一種水到渠成的快感．
二．數(shù)目積與三角形問題
例2．（2013山東，7）設(shè)?ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B?1AB，且對于邊AB上任一點P，4恒有PB?PC?P，則（）0B?PC0A．?ABC?90B．?BAC?90C．AB?ACD．AC?BC
剖析：此題若采用普通的方式，只能通過一個一個的檢驗，對不滿足條件的情況進行排除，對滿足條件的情況進行論證；而若能采用極化恒方程進行突破，結(jié)合三角形的特征，就可將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離最小問題，使復雜多變的幾何問題顯得單一和直觀，破解效率其實大大提升
解析：（函數(shù)法）選項A,B,C均可通過特殊值排除，而對于AC?BC的情況，?ABC為等邊三角形，點P0是斜邊的四分之一點，如圖所示，P0B?001AB極化恒等式推導證明，4為PB?PC的最小值，不妨作CM?AB，∴P0B?PC0C
AM?MB；不妨設(shè)AB?4,BP?x,MP0?P0B?1，
MP?x?2,按照向量數(shù)目積的定義，∴
當x?1時，即P在P0處時，P為PB?PC的最小0B?PC0值
，
因
此
有
AP
MP0
解析：（利用于極化恒方程）如圖所示，設(shè)D為BC的中點，由極化恒方程得PB?PC?PD?BD，，P0B?PC?P0D?BD，則由PB?PC?P00B?PC022即PD?P0D，得PD?P0D?AB，所0D，故P22C
22D
以有AC?BC，宜選D
點評：在三角形問題中運用極化恒方程，可使復雜問題簡單化，綜合問題單一化，具象問題具體化，更易于考生化解和突破
三、數(shù)量積與圓問題
例3．已知過點A?0,1?，且斜率為k的直線l與圓C：
AP
P0
求AM?AN的值．
剖析：這類向量點積問題若采用普通方式也可以化解，將要平面向量問題座標化突破求解，但是若能結(jié)合極化恒方程點積值的求解可事半功倍，運算速率可用急速形容．
解析：（普通方式）設(shè)直線l與圓的交點為M(x1,y1),N(x2,y2)，則AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1)，由直線
yMGNCxAOy?kx?1與圓
如圖所示，取MN的中點為G，則CG?MN，由極化恒方程可得AM?AN?AG?MG
222?22?AOMGNCx22點評：采用普通方式運算向量點積值的估算求解運算量大，也容易出錯，若能結(jié)合極化恒方程能夠化繁為簡，數(shù)形結(jié)合療效好．
四．數(shù)目積與圓柱曲線問題
x2y2??1上經(jīng)過原點的一條動弦，M為圓C：例4．（2014年蘇州市期終試卷）已知A,B為雙曲線
164x2?(y?2)2?1上的一個動點，則MA?MB的最大值為（）
A．?15B．?9C．?7D．?6
剖析：圓柱曲線中的向量關(guān)系的運算求解若采用普通的方式通常就是運用座標法結(jié)合韋達定律進行運算求解，此法運算量大，須要考生有扎實的運算功力，若能采用極化恒方程，結(jié)合圖形，那運算就直觀、簡捷高效．
22解析：（普通方式）設(shè)M?x0,y0?，滿足x0?(y0?2)?1；
??1設(shè)A?x1,y1?,B(?x1,?y1)，滿足
164yC2MMA?(x1?x0,y1?y0)，MB?(?x1?x0,?y1?y0)極化恒等式推導證明，
AOxx1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12，
因而MA?MB的最大值為1?4?y0?max?15152?x1?min?1?4?3??16??744解析：（利用于極化恒方程）如圖所示，O為A,B的中點，由極化恒方程可得MA?MB?MO?OA，而C2M?(2?1)?9，?4，
xO因而MA?MB的最大值為?點評：極化恒方程的運用，在圓柱曲線中若能結(jié)合其規(guī)律特征那運用療效是十分不錯的，既作為工具的極化恒等的應用之美，也彰顯了物理的幾何之美．
注：此文發(fā)表于《中學語文教學參考》2014年第12期，并在2015年《人大報刊打印資料》轉(zhuǎn)載