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[!--downpath--]極化恒方程速解一類平面向量問題
湖北省金華市蕭山區班主任發展中心施廣平
極化恒方程是學院物理基礎課程《泛函剖析》（）中的知識，經過簡單的變型就可轉化為如下平面向量基本關系式，對于向量a,b，通過恒等變型可得
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a?b?21?a?b?(a?b)2?，再經過幾何延展，如圖所示，對于平
22AB將平面向量的數目積（亦稱為點積）關系轉化為了兩個平面向量的厚度關系，使不可測度的向量數目積關
系轉化為可測度、可估算的數目關系，其意義不同凡響．若能依靠于極化恒方程那就可以速解一類有關平面向量數目積的問題，下邊分四類例析：
一．數目積與線性問題
例1．（2014上海市摸擬試卷）已知向量a,b滿足2a?3b?1，則a?b最大值為剖析：此題主要是通過給出平面向量的線性條件，來求解平面向量數目積的最大值，問題設置簡約漂亮，但考生化解破費腦勁，緣由是此題突破的思路看似好多，但走上去都要費一翻工夫，之后若能利用于平面向量的極化恒方程，那破解上去堪稱事半功倍．
解析1：（多項式構造法）構造多項式?2a?3b??(2a?3b)?24a?b
22(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211則a?b?，當且僅當2a?3b，且a?時，上式等號創立．????解法2：（不方程法）對于條件2a?3b?1，則有4a?9b?12ab?1，又因?2a?3b??0，則有4a?9b?12a?b，則12a?b?1?12a?b，
22222因而a?b最大值為
124解法3：（極化恒方程法）設2a?OA，3b?OB，取AB的中點為M，
BM
1，對于?OAB，因?BOA可以變化，當?BOA趨于于0度時，趨于于0，而OM?，則2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?，
442OM?OA
1為此a?b最大值為
24點評：破解這種問題，因涉及的路徑入口較多，技巧也是層出不窮．構造法和不方程法在破解時雖也是簡約明了，但由于要想到這類方式的突破口較為困難，對好多中學生而言，理解尚可，把握就較為困難了；而若能利用于極化恒方程，只要能畫出線性圖形，結合幾何意義，問題的突破就有一種水到渠成的快感．
二．數目積與三角形問題
例2．（2013山東，7）設?ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B?1AB，且對于邊AB上任一點P，4恒有PB?PC?P，則（）0B?PC0A．?ABC?90B．?BAC?90C．AB?ACD．AC?BC
剖析：此題若采用普通的方式，只能通過一個一個的檢驗，對不滿足條件的情況進行排除，對滿足條件的情況進行論證；而若能采用極化恒方程進行突破，結合三角形的特征，就可將問題轉化為點到直線的距離最小問題，使復雜多變的幾何問題顯得單一和直觀，破解效率其實大大提升
解析：（函數法）選項A,B,C均可通過特殊值排除，而對于AC?BC的情況，?ABC為等邊三角形，點P0是斜邊的四分之一點，如圖所示，P0B?001AB極化恒等式推導證明，4為PB?PC的最小值，不妨作CM?AB，∴P0B?PC0C
AM?MB；不妨設AB?4,BP?x,MP0?P0B?1，
MP?x?2,按照向量數目積的定義，∴
當x?1時，即P在P0處時，P為PB?PC的最小0B?PC0值
，
因
此
有
AP
MP0
解析：（利用于極化恒方程）如圖所示，設D為BC的中點，由極化恒方程得PB?PC?PD?BD，，P0B?PC?P0D?BD，則由PB?PC?P00B?PC022即PD?P0D，得PD?P0D?AB，所0D，故P22C
22D
以有AC?BC，宜選D
點評：在三角形問題中運用極化恒方程，可使復雜問題簡單化，綜合問題單一化，具象問題具體化，更易于考生化解和突破
三、數量積與圓問題
例3．已知過點A?0,1?，且斜率為k的直線l與圓C：
AP
P0
求AM?AN的值．
剖析：這類向量點積問題若采用普通方式也可以化解，將要平面向量問題座標化突破求解，但是若能結合極化恒方程點積值的求解可事半功倍，運算速率可用急速形容．
解析：（普通方式）設直線l與圓的交點為M(x1,y1),N(x2,y2)，則AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1)，由直線
yMGNCxAOy?kx?1與圓
如圖所示，取MN的中點為G，則CG?MN，由極化恒方程可得AM?AN?AG?MG
222?22?AOMGNCx22點評：采用普通方式運算向量點積值的估算求解運算量大，也容易出錯，若能結合極化恒方程能夠化繁為簡，數形結合療效好．
四．數目積與圓柱曲線問題
x2y2??1上經過原點的一條動弦，M為圓C：例4．（2014年蘇州市期終試卷）已知A,B為雙曲線
164x2?(y?2)2?1上的一個動點，則MA?MB的最大值為（）
A．?15B．?9C．?7D．?6
剖析：圓柱曲線中的向量關系的運算求解若采用普通的方式通常就是運用座標法結合韋達定律進行運算求解，此法運算量大，須要考生有扎實的運算功力，若能采用極化恒方程，結合圖形，那運算就直觀、簡捷高效．
22解析：（普通方式）設M?x0,y0?，滿足x0?(y0?2)?1；
??1設A?x1,y1?,B(?x1,?y1)，滿足
164yC2MMA?(x1?x0,y1?y0)，MB?(?x1?x0,?y1?y0)極化恒等式推導證明，
AOxx1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12，
因而MA?MB的最大值為1?4?y0?max?15152?x1?min?1?4?3??16??744解析：（利用于極化恒方程）如圖所示，O為A,B的中點，由極化恒方程可得MA?MB?MO?OA，而C2M?(2?1)?9，?4，
xO因而MA?MB的最大值為?點評：極化恒方程的運用，在圓柱曲線中若能結合其規律特征那運用療效是十分不錯的，既作為工具的極化恒等的應用之美，也彰顯了物理的幾何之美．
注：此文發表于《中學語文教學參考》2014年第12期，并在2015年《人大報刊打印資料》轉載