摘要： 本文主要介紹了競爭數學的一些基本問題解決方法，包括構造法（存在問題的構造方法和構造的數學建模）、反證法和數學歸納法。
關鍵詞：數學;比賽;如何解決問題
數學離不開解決問題，掌握數學的一個重要標志就是善于解決問題。本文將介紹一些解決競賽數學問題的基本方法。
一、施工方法
問題解決通常是從給定系統中的問題中推斷出來的。但是，對于一些問題，例如存在問題和條件和結論相對遙遠的問題物理競賽解題方法，直接推理無法順利進行，因此有必要找到某種中介工具來建立條件和結論之間的聯系。這種解決問題的中介工具通常隱含在問題設計中，需要被發現、解釋和構建。通過構建解決問題的中介工具（示例、數學模型或對應關系）來構建問題的解決方案，這是構建方法。
1. 對生存問題的建設性解決方案
存在主義問題是結論中包含“存在”一詞的問題。它是研究數學對象的存在，或者研究數學對象是否具有某種性質的問題。有兩種方法可以解決存在的問題：結構性和非結構性。一個非建設性的解決方案是使用排他性法律（例如，反證）進行論證。反證在建構證據中起著非常重要的作用。
例1：證明：奇數c為合數的充分必要條件是自然數a≤■-1的存在，因此（2a-1）2+8c是平方數。
證書的充分性很簡單，證明被省略了。以下證明了這種必要性。必要性是一個存在的問題，可以使用構造方法。
設c為奇數，則c可以分解為兩個大于1的奇數的乘積，較小的一個表示為2k-1，較大的一個表示為m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。設 a=m-k+1，則 a=■-k+1≤■-1≤■-1，
和（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）。
=[2m-（2k-1）]2
例 2.對于任何自然數，整個點平面上是否有一個圓英語作文，使得里面正好有一個完整的點？
為了解決論證性存在問題，假設問題中的圓存在，只需找到一個點，使得平面上每個點的距離不相等。點 P （■， ■） 是符合條件的點。使用反證來證明猜想是正確的。
否則，平面上有兩個不同的整點 M（a，b） 和 N（c，d），到點 P 點的距離相等物理競賽解題方法，即 （a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2
簡化后，C2+D2-A2-B2+■（B-D）=02（A-C）=0可以推導出a=c，b=d，這與假設相矛盾。我們將從平面的整個點到點 P 的距離從近到遠排列為 P1 和 P2,...Pn,...,選擇R，使■
2. 構建數學模型
構建數學模型是指反映特定問題的數學對象及其關系結構的圖像系統，是一種具體、直觀、典型的模式。構建數學模型是一種創造性思維，但也離不開對問題結構的深刻理解。
示例 3：知道 a、b 和 c 是 ABC 的三個邊，請驗證它
a2（b+c-a）+b2（a+c-b）+c2（a+b-c）≤3abc
分析：使驗證器左側變形
A（B2+C2-A2）+B（A2+C2-B2）+C（A2+B2+C2）（*）
可以使用余弦定理相關聯，并使用已知的三角不等式將 （*） 轉換為三角函數問題 cosA+cosB+cosC≤ ■ 證明結論是正確的。
2. 反證
數學證明有兩種類型：直接證明和間接證明。反證法是間接證據的一種，是數學證明的偉大方法。歷史上許多最著名的命題都是通過反證方法證明的。反證方法被譽為“數學家最精密的武器”。
例 4.{an} 是一個正序列，滿足 （ak+1+k）ak=1，k=1,2,...,驗證對于所有 k∈N，ak 是一個無理數。
假設 ak=■ （p，q 是互質自然數），則 ak+1=■，即 ak+1 也是有理數，則 Sk 表示 ak 的分子和分母之和，則 Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。
因為 k≥1，Sk ≥ Sk+1，因此 Sk>Sk+1>Sk+2>....
因為Sk，Sk+1，Sk+2,...都是整數，所以必須有 Sk+1
3. 數學歸納法
數學歸納法也是數學中最基本、最重要的方法之一，在數學的各個分支中都有廣泛的應用。需要用數學歸納法證明的一般是與自然數有關的命題，但并不是所有與自然數有關的命題都能被證明，只有能遞歸的命題才能用數學歸納法證明。
示例 5.m，n∈N 驗證 2mn>mn
證明：（1）顯然，當 m=1 且 n=1 時，不等式成立。
（2）對于任何自然數k，l，假設2kl>kl和2kl>lk為真，則
2（K+1）L=2kl2L>kl2l=（2k）l≥（k+1）l，2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k
也就是說，p（k+1，l）和p（k，l+1）都是真的，并且命題被證明。
任何方法都有一定的適用范圍，在競賽數學中還有很多其他的解題方法，比如構造法，也可以構造對應法、染色法、賦值法等，教師要不斷探索。
引用：
陳傳麗，張彤軍.競賽數學課程[M]北京：高等教育出版社，2000