繞定軸轉動的質心
強基培優專題7
湖南省岳陽市第二中學
專題概述
上個專題，我們把許多（有限或無限）相互聯系著的質點所組成的系統稱作質點組。如果這種質點連續密集分布且質點寬度離保持不變則構成了質心。本節知識將涉及到質心動力學內容，這是2019年推行的全省高等高校實行“強基計劃”以來，校考數學大綱中的增補內容。作為校考中的必考內容，主要是剛體和質點組的運動定律及其動能定律，至于質心動力學部份僅限于繞固定轉軸的質心平衡、轉動定律、角動量守恒等基礎知識的應用。
因為質心繞定軸O轉動時，質心上任一質點都在垂直于轉軸平面內運動。質點的位置常用極座標（r,?）來確定，類似于質點動力學的探究方法，研究問題還是從運動的描述、力的療效性、或從質心轉動狀態的變化緣由著手，皆因質心運動的空間性較強，對質心的描述較為復雜，概念較多。
一．質心轉動的描述
1.角位移φ：過定軸作固定平面Ⅰ，在轉動的質心上過定軸作運動平面Ⅱ，并設平面Ⅱ從平面Ⅰ開始運動，至時間t，兩平面所夾的二面角叫角位移。
2.角速率ω：在⊿t時間頂角位移⊿φ與⊿t之比為質心的平均角速率。記作：ω平均=⊿φ/⊿t。當⊿t→0時，ω=lim⊿φ/⊿t。在垂直轉軸，距軸r處線速與角速關系為V＝ω·r…①
3.角加速度β：與角速率定義相像，記作：β=lim⊿ω/⊿t，
在垂直轉軸，距軸γ處的切向加速度與角加速度關系為
at＝lim⊿V/⊿t=β·r…②
4.各運動量關系：當β為常量時，類比勻加速直線運動，有
ω＝ω0＋βt…③
φ＝φ0＋ω0t＋βt2/2…④
ω2＝ω02＋2β(φ-φ0)…⑤
例1：有一車輪繞輪心以角速率ω勻速轉動，輪上有一蟲子自輪心沿一根輪組向輪邊以初速為V0，加速為a作勻加速爬行，求蟲子運動軌跡。
解：以輪心為原點，沿蟲子爬行的輪輞初始位置方向為直徑方向構建極座標，則在時間t內，車輪轉過角度θ＝ωt，蟲子爬過的距離：ρ＝V0t＋at2/2，消掉參數t，得ρ＝V0(?/ω)＋a(?/ω)2/2；此即蟲子運動的軌跡。
例2：一飛輪作定軸轉動，其轉過的角度θ與時間t的關系式為：θ＝at＋bt2－ct3（SⅠ制），式中a、b、c均為恒量。試求飛輪的角加速度β的表達式及距轉軸r處的切向加速度at和法向加速度an。
解：∵ω=limΔ?/Δt＝a＋2bt－3ct2
∴β=limΔω/Δt＝2b－6ct
可得r處切向加速度at＝βr=2br-6rct
和法向加速度an=rω2=r(a＋2bt－3ct2)2
例3：分針從零點開始計時，在12小時內，長針和短針將會
（1）在什么時刻重合？
（2）在什么時刻成反向直線？
（3）在什么時刻成直角？
解（1）：長針角速ω1=2π/60rad／min
短針角速ω2=2π/60×12rad/min
Δω=ω1-ω2=11π/30×12rad／min
兩針重合,必有角位移之差：
Δ?=?1-?2=2kπ(k=1,2,3,…)
t=Δ?/Δω=12×60k/11min…①
由①可知：k=0時，t0=0,即開始時刻；
k=1時，t1=720/11min，即1:5’27‘’3
k=2時，t2=1440/11min,即2:10’54‘’5
…………
k=11時，t11=720min，即12h。
可見，長短針重合共出現11次。（不含k＝0）
解（2）：兩針成反向直線，角位移之差為
Δ?=?1-?2=(ω1-ω2)t=(2k-1)π(k=1,2,3,…)
=>t=(2k-1)π/(ω1-ω2)=360(2k-1)/11min…②
其中k＝1,2,3,……。
根據上問算法,反向直線也出現11次。
解（3）：兩針成900時，角位移之差為
Δ?=?1-?2=(ω1-ω2)t=(2k-1)π/2(k=1,2,3,…)
=>t=(2k-1)π/2(ω1-ω2)=180(2k-1)/11min…③
根據上問算法,12小時內兩針成直角出現22次。
點評：本題早已給出條件為12小時，故可以令①②③中t=60×12min,分別得到相應的最大正整數K,即為所求的出現次數。
二．質心轉動的本質
1..力矩（動量矩）：質心的轉動慣性大小由質心中每質點與該質點到轉軸的距離的平方之積所決定，數學上定義它為力矩。對質心可以記作：I=∑Δmiri2…①是描述物體轉動慣性的數學量。與“質量是平動慣性的量度”相當。單位是千克米2。式中Δmi為質心上任一質量元，ri為該質量元到轉軸的距離。
2.扭力：τ=M=rxF=rFsin?,矢量、方向用左手螺旋法判定。大小除了與F的大小方向有關，并且與力的作用點（位矢r）有關。是改變質心繞軸轉動角速率的誘因。單位是千克米2/秒2。注意：這一概念可以推廣到某一質點相對參考點O的扭矩,即τ=r×F=rFsin?；也可以推廣到某一質點系相對參考點O的扭矩,即τ=∑τ外=∑ri×Fi,（注意質點系中∑τ內=0與內力的沖量相像，而且內力的功不為零）；
3.質心轉動定理：M=Iβ（或τ=Iβ）定點角動量守恒，其中β=Δω/Δt,稱之角加速度，它與質點的平動加速度相對應。其實，從因果角度看：扭力是形成質心角加速度的緣由，故質心轉動定理與質點動力學中牛二律對應。假如合扭力M=0，則β=0。此時質心靜止或勻角速轉動，稱之為轉動平衡；因而M=0與共點力平衡條件F=0(矢量式)一起構成通常物體的平衡條件。
例4：按照力矩定義求:（1）對均質的長為L的細棒，其對過中心轉軸和過端點轉軸的力矩：（2）均質圓盤，直徑為R，對過圓心的與面垂直的轉軸和與面平行的轉軸的鐵損。
解：（1）設桿密度ρ=M/L,對過中心的軸：
I＝2·∑Δmiri2
＝2∑Δmiri2＝2ρ∑ri2Δr
＝2ρ[(L/2)3/3-0]＝ML2/12.
對過端點的軸：I＝∑Δmiri2＝ρ·
＝ρ[L3/3-0]＝ML2/3
解：（2）設圓盤密度ρ=M/πR2,對過圓心與面垂直的轉軸：
I＝∑Δmiri2＝ρ2π∑ri3Δr
＝ρ·2π[R4/4-0]＝MR2/2.
按照垂直軸定律得對過圓心平行于大盤的轉軸：
Ix=Iy=Iz/2=MR2/4.
記住幾種常見質心的力矩：
(1)圓環對過中心且與環面垂直的軸：I＝MR2
（2）圓環對過中心的半徑軸：I＝MR2/2
(3)圓球對沿半徑的軸：I＝2MR2/5;
（4）球殼對沿半徑的軸：I＝2MR2/5
例5.如右圖所示，長為L的均質桿，A端為球鉸，B端與鉛垂墻壁的磨擦質數為u=√3/3,已知L=√2OA。試求均質桿平衡時，圖示夾角a的最大值。
解析：對AB進行受力剖析（A點除外），如圖2所示．其中N的方向垂直于面xOz，磨擦力f的方向為垂直于OB且在x0z平面內（由于B點的運動軌跡為以O為圓心,0B為直徑的圓）重力、彈力、摩擦力三力不在一平面內，屬于空間力系．
當α角取最大時，平面x0z平面對B的磨擦力正好達到最大靜擦力，即f=μN.AB仍處于平衡狀態，三力關于A點的合扭力為零．因為三個力為空間力，直接求合扭力較困難，一般求解繞某定軸的合扭力．現選擇過A點平行于Oz的軸為固定軸，則重扭力為零，磨擦扭力為fcosa·OA，彈力N的轉矩為N·，由合轉矩M=0，得
fcosa·OA=N·OBsina…①
又由幾何關系得OB2=L2-OA2…②
其中f=μN…③
三式聯立解得a=(μOA/OB)=√3/3=300。
點評：本題可以選擇不同的轉動軸求解．有興趣的朋友比較一下，哪一轉軸較為簡便。
例6.V形槽中放置一直徑為R，的勻質圓錐，槽邊與水平傾角為α，如右圖1所示，接觸處的磨擦質數μ=tanφm，圓錐里G,設轉動圓錐所需的最小質心矩為Lm，則當φmtana時，物體靜止；若μω=r02ω0/r2…①
又由題意知r=r0-vt…②
聯立①、②解出ω(t)=r02ω0/(r0-vt)2…③
解⑵據牛二律F(t)=mrω2=m(r0-vt)ω2(t)…④
聯立③、④解出F(t)=mr04ω02/(r0-vt)3。
例12.用角動量守恒定理來解釋宇宙中的星系都具有盤狀結構？即為何都呈現扁平狀？
鮮：若把某個層次的天體系統看作是不受外力的孤立系統，在產生盤狀結構之初,原始氣云彌漫在很大的空間范圍，繞著系統剛體旋轉具有初始角動量，因為萬有引力的作用原始氣云開始收縮。從原始氣云直至產生盤狀結構，因為系統角動量始終是守恒的，在垂直于角動量的大盤中，隨著系統收縮，盤內旋轉速率減小，當離心力與引力平衡時，不再收縮。而在垂直大盤方問將不遭到此很制，將在引力作用下繼續收縮，因而漸漸產生盤狀結構。
四.專題小結
1.轉動力矩：I=∑Δmiri2，轉動物體的屬性，是轉動物體慣性的量度。但跟質量略有區別，力矩跟距離轉軸的遠近r有關定點角動量守恒，對連續均勻分布的質點系（質心）I=J=∫r2dm.（有些教材用J表示鐵損）。
2.扭力：M=r×F=rFsin?,是形成角加速度的緣由，或則說是改變物體（質點、質點系、剛體）轉動狀態的內因。扭矩的療效不僅僅跟力的大小、方向有關，還跟力的作用點距離轉動參考點（轉軸）的遠近有關。
3.質心轉動定律：M=Iβ，是指質心所受的對于某定軸的合外扭矩等于質心對此定軸的轉動力矩與質心在此合外扭矩作用下所獲得的角加速度的乘積。即合轉矩是形成質心角加速度的誘因。
4.質心角動量及其守恒：角動量L=r×P=rpsin?=Iω（?為r與p的傾角），方向垂直于位矢r和動量p所組成的平面，指向是由r經大于180度的角轉入p的手指螺旋前進的方向。引入角動量的意義:一是為了更好的描述轉動物體的運動狀態，二是改寫轉動定律M=Iβ=IΔω/Δt=ΔL/Δt后，發覺M=0時，有ΔL=MΔt=0;即外力對定點的扭力之和為零時，質點系(包括轉動的質點、剛體)的角動量保持不變。這是一條能跟質量守恒、能量守恒等定理等價的宇宙基本法則。
5.質心是一種特殊的質點組，它的特征在于：質心的大小與形狀仍然不變，也即是質心內任意兩質點之間的距離保持不變。通常地說，一個自由的質點有三個自由度，N個質點所組成的質點組，假如沒有哪些約束，即便有3N個自由度。而質心因為內部任意兩質點間的距離保持不變，卻只有六個自由度。實際中質心還常遭到一些約束條件的限制，比如轉動軸是固定不變的等等，它的自由度將會多于六個。這也是我們為何還能從質心定軸轉動的描述、剛體定軸轉動的本質-----轉動定理、剛體定軸轉動的角動量三個方面來討論質心運動的理由。
2023.1.16.
