我們先看一個經典的例子。
示例問題如圖 1 所示。人相對于汽車是靜止的，汽車以速度 v1 向右行駛。 人以相對于汽車的速度 u 向左跳離汽車。 求汽車的速度v2。 假設人和車的質量分別為m和M，忽略摩擦阻力。
圖1
解決方案：這是一個經典的動量守恒問題（有時將汽車替換為在水面上航行的船）。
由于不考慮摩擦阻力，人與車組成的系統在人跳下車前后，水平方向動量守恒，因此有
（A）
這里：
它們是人跳下汽車后，人和汽車相對于地面（絕對坐標系）的絕對速度（速度符號下標字母a的意思）； 和
是人與車在跳躍前的絕對速度。由于動量定理和動量守恒定律都是從基于慣性系的牛頓第二定律推導出來的，所以在應用動量定理或動量守恒定律時動量，必須使用絕對速度來計算動量（例如，從汽車上跳下來后，人的動量為
）。
參照圖1，選擇正確的方向為正方向，可得公式(a)
代入式(a)可得
(二)
討論
(1)式(b)也適用于車速方向向右跳動(如移動的炮車向前發射炮彈，忽略空氣阻力和摩擦力)，對應的u取負值。 顯然此時v2會小于v1。 此外，如果|u| 很大，導致 v2
(2)跳出汽車時，人對汽車施加力，反之，汽車也對人施加反作用力。 對于人車系統來說，這是一對大小相等、方向相反的內力，因此它們不會改變人車系統的動量。 但是，如果我們只以人為研究對象，那么汽車對人的反作用力就是一個外力。 在它的作用下，人的動量從 變為 。 以汽車為研究對象動量定理和動量守恒定律，人對汽車施加的力也是外力，其作用也會改變汽車的動量。
偉大的原則
(1)動量定理、質心運動定理、角動量定理、動能定理都有微分形式，需要求解微分方程。 微分方程當然很難求解動量定理和動量守恒定律，因此在建立理論時，給出了相應版本的積分形式。 在特殊條件下，這些積分形式也會有更方便使用的守恒定律。
無論是積分形式還是守恒定律，它們都涉及到系統運動過程中兩個力矩之間的關系，因此可以用來分析兩個時刻運動量之間的關系。 原則上，如果人與車之間的力已知，則可以通過積分來分析任意時刻人與車的運動模式。 然而，這不僅需要積分的數學運算，還需要人與車交互的數學模型。 顯然，如果你只對兩個時刻的運動量之間的關系感興趣，最好使用該定理的積分形式（守恒形式）。
（2）有時，事物發生過程的物理規律過于復雜或沒有可靠的資料，但我們希望得到有說服力和參考性的答案。 我們經常使用這種方法來跳過（或平均，或積分，或近似）處理方法。
（3）更廣泛地說，在人類社會活動中，我們往往只關心結果而不關心過程。 當然，這個時候理論上可能無法追蹤過程細節，或者對于領導來說成本太高，他眼里只有結果。 是的，這和動量定理是一樣的想法。
現在發現，至少對于教學管理來說，這種只注重結果而不注重過程的做法是行不通的，所以現在提倡過程化教學。
對于社會問題，我們應該像牛二那樣注重過程，還是像動量定理的積分公式那樣注重結果？ 這需要在結果的重要性、過程的不確定性和可接受的成本之間取得平衡。
