例15 已知兩個均質(zhì)輪O、C的重量分別為P、Q，半徑為r。 主要動力偶M作用在O輪上，C輪在斜面上純滾動，斜面的傾角為α。 求輪心加速度C.分析？ 這個問題可以通過利用粒子系統(tǒng)求解定軸動量矩定理來解決； 問題的關(guān)鍵是如何求C輪相對于O軸做平面運(yùn)動的動量矩。 C α α OQPM 施加在系統(tǒng)上的繞 O 軸的外力矩是根據(jù)粒子系統(tǒng)繞固定軸的動量矩。 定理§11-6 剛體平面運(yùn)動微分方程的分析：在動力學(xué)研究中，剛體的運(yùn)動必須與其所受到的力有關(guān)。 強(qiáng)制連接。 此時，剛體質(zhì)心的運(yùn)動僅通過質(zhì)心運(yùn)動定理與外力系統(tǒng)主矢量聯(lián)系起來； 相對于質(zhì)心的動量矩定理將剛體的旋轉(zhuǎn)與外力系統(tǒng)的主力矩聯(lián)系起來。 因此：在動力學(xué)中，必須選擇質(zhì)心為基點(diǎn)，才能得到剛體平面運(yùn)動的微分方程。 復(fù)習(xí)：剛體平面運(yùn)動章節(jié)中，剛體平面運(yùn)動分解為沿基點(diǎn)的平移和相對基點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。 剛體的運(yùn)動可以完全用基點(diǎn)的運(yùn)動方程和繞基點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方程來描述。 在運(yùn)動學(xué)中，基點(diǎn)是任意選擇的。
O xy y' x' F1 F2 Fi Fn φ DC ω 選擇質(zhì)心 C 為基點(diǎn)，建立平移坐標(biāo)系 Cx'y'。 CD 與 x 軸之間的角度為 φ。 剛體的運(yùn)動分解為平動和與質(zhì)心C的相對運(yùn)動。質(zhì)心C的旋轉(zhuǎn)。剛體相對于質(zhì)心C的動量矩為LC=JCω。 假設(shè)剛體上的力如圖所示。 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理，有剛體平面運(yùn)動的微分方程、矢量方程、代數(shù)方程和剛體平面運(yùn)動微分方程的投影。 注：求解時，常常需要建立質(zhì)心速度或加速度與繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度或角加速度之間的關(guān)系。 例16 均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為r，從靜止開始沿傾斜角為φ的固定斜面。 要滾動而不滑動，斜面與圓柱體之間的靜摩擦系數(shù)為fs。 求圓柱體質(zhì)心C的加速度以及保證圓柱體滾動而不滑動的條件。 xy OCA FN F mg α φ aC 平移 純滾動 連續(xù)滾動和滑動 2. 粒子系統(tǒng)動量守恒定律 粒子系統(tǒng)動量矩相對于不動點(diǎn)守恒： If = 常數(shù)向量 If =常數(shù) 粒子系統(tǒng)相對于定軸的動量矩守恒：即：當(dāng)外力作用于某一固定點(diǎn)的主矩為零時，粒子系統(tǒng)在該點(diǎn)的動量矩保持不變不變。 即：當(dāng)某一固定軸上的外力力矩代數(shù)和等于0時，粒子系統(tǒng)在該軸上的動量矩保持不變。 O 粒子系統(tǒng)繞軸 O 的動量矩守恒且等于 0。
mAg mBg FO vA vB 即：兩只猴子的絕對速度永遠(yuǎn)相等，游戲中沒有贏家！ 動量矩定理的應(yīng)用是建立運(yùn)動微分方程或求已知外力矩的運(yùn)動； 求已知運(yùn)動的力或力矩； 粒子系統(tǒng)的動量矩守恒。 解決方案：以系統(tǒng)為研究對象。 例1：均質(zhì)圓輪的半徑為R，質(zhì)量為m，圓輪繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。 圓輪在重物P的帶動下繞固定軸O旋轉(zhuǎn)。已知重物的重量為W。求：重物下落的加速度。 OPW v ? mg FOx FOy 動量矩定理的應(yīng)用 例2 兩個滾筒固定在一起動量矩定理的應(yīng)用，其總質(zhì)量為m，繞水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO； 鼓的半徑為r1和r2。 繩子兩端懸掛的重物A和B的質(zhì)量分別為m1和m2（圖a），并且m1>m2。 求滾筒的角加速度。 OAB r1 r2 (a) 以滾筒、重物A、B和繩索為研究對象。 解決方案： v1 ? α v2 m1g B m2g 系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，相當(dāng)于考慮 v1 = r1 ? , v2 = r2 ? ，則外力主力矩僅由重力m1g和m2g產(chǎn)生。 如果是，我們可以得到 滾筒的角加速度方向?yàn)槟鏁r針方向。 將動量矩定理應(yīng)用到系統(tǒng)中，我們有 A (b) y r1 r2 O m0g F0 ω 示例 3：水平圓盤的重量為 P，半徑為 R。它可以繞 z 軸旋轉(zhuǎn)。 烏龜?shù)闹亓繛镼。根據(jù)S=at2/2的定律沿著板的邊緣行走。
若初始時圓盤的角速度為ωo，求任意時刻t時圓盤的角速度和角加速度。 解：研究圓盤和海龜系統(tǒng)，受力分析如圖所示。 ∵ ΣMz(F(e)) = 0 ∴ 系統(tǒng)相對于 z 軸的動量矩守恒。 ∵ 在初始時刻，烏龜相對于圓盤的速度為零，它只是隨圓盤繞 z 軸旋轉(zhuǎn)。 ∴系統(tǒng)相對于z軸的動量矩即Lz=常數(shù)！ zyx AB FBx FBy ω0 PQS FAy FAx FAz zyx AB α S ω ve vr 假設(shè)瞬時 t，圓盤的角速度為 ω，角加速度為 α，烏龜相對于圓盤的速度為絕對速度為 ∴ ，則系統(tǒng)相對于z軸的動量矩為 由Lzo=Lz，可推導(dǎo)上式，推導(dǎo)出例4。水流通過固定導(dǎo)葉進(jìn)入葉輪。 入口和出口處的流速分別為v1和v2。 它們與葉輪外周切線和內(nèi)周切線的夾角分別為θ1和θ2，水的體積流量為qV，密度為θ，葉輪進(jìn)、出口處的半徑為r1和r2分別為，葉輪水平放置。 求：水流作用在葉輪上的驅(qū)動力矩。 重力——由于渦輪機(jī)水平放置，O軸上的重心等于0； 鄰近水流的壓力-被忽略； 葉輪的反作用力矩——等于水流作用在葉輪上的驅(qū)動力矩，但方向相反。 abcd 解：在 dt 時間間隔內(nèi)，當(dāng)水流 ABCD 截面的水流運(yùn)動到 abcd 時，其所受到的力及其繞 O 軸的力矩： abcd 應(yīng)用動量矩定理 Mz 例 5 的質(zhì)量兩個小球?yàn)閙，初始角速度。
求：剪斷繩子后，角度是多少？ 起、時、解：時、例6 高爐內(nèi)運(yùn)輸?shù)V石所用的絞車如圖所示。 已知滾筒的半徑為R，質(zhì)量為m1，滾筒繞O軸旋轉(zhuǎn)。 臺車和礦石的總質(zhì)量為m2。 作用在滾筒上的力偶力矩為M，滾筒相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道的傾斜角度為θ。 假設(shè)忽略繩子的質(zhì)量和各處的摩擦力，求小車的加速度a。 θ OM ω W1 v W2 FN 將小車和滾筒組成一個粒子系統(tǒng)，將小車視為一個粒子。 以順時針為正，該粒子系統(tǒng)相對于 O 軸的動量矩為 θ OM ω W1 FOx FOy v W2 W2N W2t FN 解：且 W2t = P2 sin θ =m2g sin θ ，則系統(tǒng)相對于O軸的外力為W1，F(xiàn)Ox、FOy在O軸上的力矩為零。 將W2沿軌道及其垂直方向分解為W2t和W2N，W2N抵消FN。 根據(jù)粒子系統(tǒng)相對于O軸的動量矩定理，有一個原因， ，所以如果求得解，那么小車的加速度將沿著斜坡向上。 §11-3 剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的微分方程 vi ri mi F1 F2 Fn Fi yxz ？ FN1 FN2 Lz=Jzω 根據(jù)軸承約束力，繞 z 軸的力矩為零，因此得出剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于 角加速度的乘積等于作用在剛體上的主動力繞軸的力矩的代數(shù)和。
假設(shè)剛體上作用有主動力F1、F2、...Fn，并承受約束力FN1、FN2。 這些力都是外力，它們使剛體繞z軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)。 設(shè)剛體相對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jz，則剛體相對于z軸的動量矩為： 這三個方程都稱為剛體的旋轉(zhuǎn)微分方程繞固定軸。 (1)主力作用于剛體在旋轉(zhuǎn)軸上的力矩改變了剛體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)； 討論： (2) 若作用在剛體上的主力在旋轉(zhuǎn)軸上的力矩代數(shù)和為零，則剛體勻速旋轉(zhuǎn)； 如果主力作用在剛體上，則旋轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和為零。 如果繞旋轉(zhuǎn)軸的力矩恒定，則剛體勻速旋轉(zhuǎn)； (3) 剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小表明了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難度。 慣性矩是剛體旋轉(zhuǎn)時慣性的量度。 這三個方程都稱為剛體繞定軸的旋轉(zhuǎn)微分方程。 解決兩類問題： ? 給定作用在剛體上的外力矩，求剛體的旋轉(zhuǎn)規(guī)律。 ？ 給定剛體的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，求作用在剛體上的外力（力矩）。 然而，軸承處的約束力無法獲得，必須使用質(zhì)心運(yùn)動定理來求解。 C 毫克 O ? 解：以單擺為研究對象例7 已知：m，a，JO。 求：微小振蕩的周期。 鐘擺作小幅擺動，如下所示： 該方程的通解是周期。 例8 如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，驅(qū)動滑輪的皮帶的拉力為F1和F2。 求滑輪的角加速度α。 R α O F1 F2 根據(jù)剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的微分方程，由上式可知，只有當(dāng)定滑輪勻速旋轉(zhuǎn)（包括靜止）或不勻速旋轉(zhuǎn)時，速度均勻，但皮帶輪的轉(zhuǎn)動慣量可以忽略不計，定皮帶輪的皮帶張力相等。
解：例9 飛輪副O(jiān)的轉(zhuǎn)動慣量為JO，繞水平軸O以角速度ωO旋轉(zhuǎn)，如圖所示。 制動時，制動塊向車輪施加正壓力FN。 已知制動塊與車輪之間的滑動摩擦系數(shù)為f，車輪半徑為R，忽略軸承的摩擦。 求制動所需的時間t。 O ωO F FN FOx FOy W 以車輪為研究對象。 作用在車輪上的力除FN外，還包括摩擦力F、重力、軸承結(jié)合力等。 以逆時針方向?yàn)檎瑒傮w轉(zhuǎn)動微分方程對上式進(jìn)行積分，根據(jù)已知條件確定積分的上下限，得到解： 例10 傳動軸為如圖所示。 假設(shè)軸 I 和 II 的轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1 和 J2，傳動比 R1 和 R2 分別為車輪 I 和 II 的半徑。 現(xiàn)在，主動力矩 M1 作用在軸 I 上，阻力力矩 M2 作用在軸 II 上。 轉(zhuǎn)向如圖所示。 假設(shè)忽略各處摩擦，求I軸的角加速度。 Ⅱ Ⅰ M1 M2 分別以Ⅰ、Ⅱ軸為研究對象，其受力情況如圖所示。 因此，可得 Ⅱ Ⅰ M1 M2 M1 α1 R1 F' F'N M2 α2 R2 FN F 解：兩軸繞軸線旋轉(zhuǎn)的微分方程如例11所示。 減速齒輪系簡化圖絞車的結(jié)構(gòu)如圖所示。 假設(shè)I軸齒輪C受主力偶力矩M作用，滾筒起升重量為W=mg。 I軸和II軸連同安裝在軸上的旋轉(zhuǎn)部件（包括齒輪和滾筒等）的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2。 齒輪A和B的節(jié)圓半徑為r1和r2，卷筒半徑為R，不包括軸承摩擦和鋼絲繩質(zhì)量。
求重物的加速度。 r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW 選擇軸Ⅰ和齒輪A、C為研究對象，應(yīng)用剛體定軸旋轉(zhuǎn)微分方程選擇軸Ⅱ、齒輪、滾筒和重物W為研究對象，應(yīng)用粒子系統(tǒng)至軸Ⅱ動量矩定理 (a) (b) 當(dāng)齒輪A、B嚙合時，速比 ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv 解：卷筒角度速度ω2與重量上升速度v之間，相對于時間t的導(dǎo)數(shù)為(d)。 求解上式，可得到對時間 t 的導(dǎo)數(shù) (c) ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv OC 例 12 已知：m，R。求： O 是結(jié)合力。 解：以圓輪為研究對象？ mg FOy FOx 解：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理 例13 半徑為R、質(zhì)量為m0的圓柱形自轉(zhuǎn)衛(wèi)星繞對稱軸旋轉(zhuǎn)，無外力矩。 兩顆質(zhì)量各為 m 的衛(wèi)星，每個粒子沿徑向?qū)ΨQ向外延伸，距旋轉(zhuǎn)軸的距離 x 不斷增大，如圖所示。
忽略連接衛(wèi)星和粒子的變長桿的質(zhì)量，假設(shè)粒子離開衛(wèi)星表面時衛(wèi)星的初始角速度為ω0。 試計算衛(wèi)星自轉(zhuǎn)角速度ω的變化規(guī)律。 設(shè) m0 R ω xx 為轉(zhuǎn)動慣量的初始值。 根據(jù)動量矩守恒定律，衛(wèi)星相對于自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz的解可寫為： 自轉(zhuǎn)衛(wèi)星的角速度ω隨著質(zhì)點(diǎn)的伸長而不斷減小。 m0 R ω xx §11-5 粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動量矩定理。 對于與質(zhì)心平行的運(yùn)動，質(zhì)心運(yùn)動定理已在動量定理一章中討論過。 為了討論粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)，我們首先要研究粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動量矩。 一般情況下，在研究粒子系統(tǒng)動力學(xué)時，通常會建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系Cx'y'z'，將粒子系統(tǒng)的運(yùn)動分解為平移系統(tǒng)Cx 'y'z 與質(zhì)心。 相對運(yùn)動系統(tǒng)Cx'y'z'的平移和旋轉(zhuǎn)，或者簡稱為以質(zhì)心平移和繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)。 x' z' y' xozy rC CCC ri ri' vi C mi 粒子系統(tǒng)相對于不動點(diǎn) O 的動量矩是相對于粒子點(diǎn) mi 而言，ri = rC + ri' 結(jié)論：動量矩粒子系統(tǒng)相對于任意固定點(diǎn)的動量矩等于粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動量矩 粒子系統(tǒng)（位于質(zhì)心處）的相對動量矩與動量矩的矢量和）在固定點(diǎn)。 1、質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心C的動量矩x'z'y'mi vi相對于質(zhì)心C的動量矩為： 圖中動量矩定理的應(yīng)用，桿的長度為l ，質(zhì)量為m，均質(zhì)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，圓心為A點(diǎn)。
已知桿 OA 繞 O 軸以角速度 ? 旋轉(zhuǎn)，試求以下情況下圓盤相對于固定點(diǎn) O 的動量矩： (1) 圓盤固定在 OA 桿上。 (2) 圓盤相對于桿繞軸 A 以角速度 –? 旋轉(zhuǎn)。 (3) 圓盤繞軸A相對于桿以角速度δ旋轉(zhuǎn)。 (4) 圓盤繞A軸以絕對角速度旋轉(zhuǎn)？ (5) 圓盤繞A軸以絕對角速度-?旋轉(zhuǎn)。 奧？ 粒子-粒子系統(tǒng)的動量定理：動量的變化—
