例15 已知兩個均質輪O、C的重量分別為P、Q，半徑為r。 主要動力偶M作用在O輪上，C輪在斜面上純滾動，斜面的傾角為α。 求輪心加速度C.分析？ 這個問題可以通過利用粒子系統求解定軸動量矩定理來解決； 問題的關鍵是如何求C輪相對于O軸做平面運動的動量矩。 C α α OQPM 施加在系統上的繞 O 軸的外力矩是根據粒子系統繞固定軸的動量矩。 定理§11-6 剛體平面運動微分方程的分析：在動力學研究中，剛體的運動必須與其所受到的力有關。 強制連接。 此時，剛體質心的運動僅通過質心運動定理與外力系統主矢量聯系起來； 相對于質心的動量矩定理將剛體的旋轉與外力系統的主力矩聯系起來。 因此：在動力學中，必須選擇質心為基點，才能得到剛體平面運動的微分方程。 復習：剛體平面運動章節中，剛體平面運動分解為沿基點的平移和相對基點的旋轉。 剛體的運動可以完全用基點的運動方程和繞基點的旋轉方程來描述。 在運動學中，基點是任意選擇的。
O xy y' x' F1 F2 Fi Fn φ DC ω 選擇質心 C 為基點，建立平移坐標系 Cx'y'。 CD 與 x 軸之間的角度為 φ。 剛體的運動分解為平動和與質心C的相對運動。質心C的旋轉。剛體相對于質心C的動量矩為LC=JCω。 假設剛體上的力如圖所示。 根據質心運動定理和相對于質心的動量矩定理，有剛體平面運動的微分方程、矢量方程、代數方程和剛體平面運動微分方程的投影。 注：求解時，常常需要建立質心速度或加速度與繞質心旋轉的角速度或角加速度之間的關系。 例16 均質圓柱體的質量為m，半徑為r，從靜止開始沿傾斜角為φ的固定斜面。 要滾動而不滑動，斜面與圓柱體之間的靜摩擦系數為fs。 求圓柱體質心C的加速度以及保證圓柱體滾動而不滑動的條件。 xy OCA FN F mg α φ aC 平移 純滾動 連續滾動和滑動 2. 粒子系統動量守恒定律 粒子系統動量矩相對于不動點守恒： If = 常數向量 If =常數 粒子系統相對于定軸的動量矩守恒：即：當外力作用于某一固定點的主矩為零時，粒子系統在該點的動量矩保持不變不變。 即：當某一固定軸上的外力力矩代數和等于0時，粒子系統在該軸上的動量矩保持不變。 O 粒子系統繞軸 O 的動量矩守恒且等于 0。
mAg mBg FO vA vB 即：兩只猴子的絕對速度永遠相等，游戲中沒有贏家！ 動量矩定理的應用是建立運動微分方程或求已知外力矩的運動； 求已知運動的力或力矩； 粒子系統的動量矩守恒。 解決方案：以系統為研究對象。 例1：均質圓輪的半徑為R，質量為m，圓輪繞旋轉軸的轉動慣量為JO。 圓輪在重物P的帶動下繞固定軸O旋轉。已知重物的重量為W。求：重物下落的加速度。 OPW v ? mg FOx FOy 動量矩定理的應用 例2 兩個滾筒固定在一起動量矩定理的應用，其總質量為m，繞水平軸O的轉動慣量為JO； 鼓的半徑為r1和r2。 繩子兩端懸掛的重物A和B的質量分別為m1和m2（圖a），并且m1>m2。 求滾筒的角加速度。 OAB r1 r2 (a) 以滾筒、重物A、B和繩索為研究對象。 解決方案： v1 ? α v2 m1g B m2g 系統的動量矩由三部分組成，相當于考慮 v1 = r1 ? , v2 = r2 ? ，則外力主力矩僅由重力m1g和m2g產生。 如果是，我們可以得到 滾筒的角加速度方向為逆時針方向。 將動量矩定理應用到系統中，我們有 A (b) y r1 r2 O m0g F0 ω 示例 3：水平圓盤的重量為 P，半徑為 R。它可以繞 z 軸旋轉。 烏龜的重量為Q。根據S=at2/2的定律沿著板的邊緣行走。
若初始時圓盤的角速度為ωo，求任意時刻t時圓盤的角速度和角加速度。 解：研究圓盤和海龜系統，受力分析如圖所示。 ∵ ΣMz(F(e)) = 0 ∴ 系統相對于 z 軸的動量矩守恒。 ∵ 在初始時刻，烏龜相對于圓盤的速度為零，它只是隨圓盤繞 z 軸旋轉。 ∴系統相對于z軸的動量矩即Lz=常數！ zyx AB FBx FBy ω0 PQS FAy FAx FAz zyx AB α S ω ve vr 假設瞬時 t，圓盤的角速度為 ω，角加速度為 α，烏龜相對于圓盤的速度為絕對速度為 ∴ ，則系統相對于z軸的動量矩為 由Lzo=Lz，可推導上式，推導出例4。水流通過固定導葉進入葉輪。 入口和出口處的流速分別為v1和v2。 它們與葉輪外周切線和內周切線的夾角分別為θ1和θ2，水的體積流量為qV，密度為θ，葉輪進、出口處的半徑為r1和r2分別為，葉輪水平放置。 求：水流作用在葉輪上的驅動力矩。 重力——由于渦輪機水平放置，O軸上的重心等于0； 鄰近水流的壓力-被忽略； 葉輪的反作用力矩——等于水流作用在葉輪上的驅動力矩，但方向相反。 abcd 解：在 dt 時間間隔內，當水流 ABCD 截面的水流運動到 abcd 時，其所受到的力及其繞 O 軸的力矩： abcd 應用動量矩定理 Mz 例 5 的質量兩個小球為m，初始角速度。
求：剪斷繩子后，角度是多少？ 起、時、解：時、例6 高爐內運輸礦石所用的絞車如圖所示。 已知滾筒的半徑為R，質量為m1，滾筒繞O軸旋轉。 臺車和礦石的總質量為m2。 作用在滾筒上的力偶力矩為M，滾筒相對于轉軸的轉動慣量為J，軌道的傾斜角度為θ。 假設忽略繩子的質量和各處的摩擦力，求小車的加速度a。 θ OM ω W1 v W2 FN 將小車和滾筒組成一個粒子系統，將小車視為一個粒子。 以順時針為正，該粒子系統相對于 O 軸的動量矩為 θ OM ω W1 FOx FOy v W2 W2N W2t FN 解：且 W2t = P2 sin θ =m2g sin θ ，則系統相對于O軸的外力為W1，FOx、FOy在O軸上的力矩為零。 將W2沿軌道及其垂直方向分解為W2t和W2N，W2N抵消FN。 根據粒子系統相對于O軸的動量矩定理，有一個原因， ，所以如果求得解，那么小車的加速度將沿著斜坡向上。 §11-3 剛體繞定軸旋轉的微分方程 vi ri mi F1 F2 Fn Fi yxz ？ FN1 FN2 Lz=Jzω 根據軸承約束力，繞 z 軸的力矩為零，因此得出剛體繞固定軸的轉動慣量等于 角加速度的乘積等于作用在剛體上的主動力繞軸的力矩的代數和。
假設剛體上作用有主動力F1、F2、...Fn，并承受約束力FN1、FN2。 這些力都是外力，它們使剛體繞z軸以角速度ω旋轉。 設剛體相對于z軸的轉動慣量為Jz，則剛體相對于z軸的動量矩為： 這三個方程都稱為剛體的旋轉微分方程繞固定軸。 (1)主力作用于剛體在旋轉軸上的力矩改變了剛體的旋轉狀態； 討論： (2) 若作用在剛體上的主力在旋轉軸上的力矩代數和為零，則剛體勻速旋轉； 如果主力作用在剛體上，則旋轉軸力矩的代數和為零。 如果繞旋轉軸的力矩恒定，則剛體勻速旋轉； (3) 剛體轉動慣量的大小表明了改變剛體轉動狀態的難度。 慣性矩是剛體旋轉時慣性的量度。 這三個方程都稱為剛體繞定軸的旋轉微分方程。 解決兩類問題： ? 給定作用在剛體上的外力矩，求剛體的旋轉規律。 ？ 給定剛體的旋轉規律，求作用在剛體上的外力（力矩）。 然而，軸承處的約束力無法獲得，必須使用質心運動定理來求解。 C 毫克 O ? 解：以單擺為研究對象例7 已知：m，a，JO。 求：微小振蕩的周期。 鐘擺作小幅擺動，如下所示： 該方程的通解是周期。 例8 如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉動慣量為J，驅動滑輪的皮帶的拉力為F1和F2。 求滑輪的角加速度α。 R α O F1 F2 根據剛體繞定軸旋轉的微分方程，由上式可知，只有當定滑輪勻速旋轉（包括靜止）或不勻速旋轉時，速度均勻，但皮帶輪的轉動慣量可以忽略不計，定皮帶輪的皮帶張力相等。
解：例9 飛輪副O的轉動慣量為JO，繞水平軸O以角速度ωO旋轉，如圖所示。 制動時，制動塊向車輪施加正壓力FN。 已知制動塊與車輪之間的滑動摩擦系數為f，車輪半徑為R，忽略軸承的摩擦。 求制動所需的時間t。 O ωO F FN FOx FOy W 以車輪為研究對象。 作用在車輪上的力除FN外，還包括摩擦力F、重力、軸承結合力等。 以逆時針方向為正，剛體轉動微分方程對上式進行積分，根據已知條件確定積分的上下限，得到解： 例10 傳動軸為如圖所示。 假設軸 I 和 II 的轉動慣量分別為 J1 和 J2，傳動比 R1 和 R2 分別為車輪 I 和 II 的半徑。 現在，主動力矩 M1 作用在軸 I 上，阻力力矩 M2 作用在軸 II 上。 轉向如圖所示。 假設忽略各處摩擦，求I軸的角加速度。 Ⅱ Ⅰ M1 M2 分別以Ⅰ、Ⅱ軸為研究對象，其受力情況如圖所示。 因此，可得 Ⅱ Ⅰ M1 M2 M1 α1 R1 F' F'N M2 α2 R2 FN F 解：兩軸繞軸線旋轉的微分方程如例11所示。 減速齒輪系簡化圖絞車的結構如圖所示。 假設I軸齒輪C受主力偶力矩M作用，滾筒起升重量為W=mg。 I軸和II軸連同安裝在軸上的旋轉部件（包括齒輪和滾筒等）的轉動慣量分別為J1和J2。 齒輪A和B的節圓半徑為r1和r2，卷筒半徑為R，不包括軸承摩擦和鋼絲繩質量。
求重物的加速度。 r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW 選擇軸Ⅰ和齒輪A、C為研究對象，應用剛體定軸旋轉微分方程選擇軸Ⅱ、齒輪、滾筒和重物W為研究對象，應用粒子系統至軸Ⅱ動量矩定理 (a) (b) 當齒輪A、B嚙合時，速比 ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv 解：卷筒角度速度ω2與重量上升速度v之間，相對于時間t的導數為(d)。 求解上式，可得到對時間 t 的導數 (c) ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv OC 例 12 已知：m，R。求： O 是結合力。 解：以圓輪為研究對象？ mg FOy FOx 解：根據質心運動定理 例13 半徑為R、質量為m0的圓柱形自轉衛星繞對稱軸旋轉，無外力矩。 兩顆質量各為 m 的衛星，每個粒子沿徑向對稱向外延伸，距旋轉軸的距離 x 不斷增大，如圖所示。
忽略連接衛星和粒子的變長桿的質量，假設粒子離開衛星表面時衛星的初始角速度為ω0。 試計算衛星自轉角速度ω的變化規律。 設 m0 R ω xx 為轉動慣量的初始值。 根據動量矩守恒定律，衛星相對于自轉軸的轉動慣量Jz的解可寫為： 自轉衛星的角速度ω隨著質點的伸長而不斷減小。 m0 R ω xx §11-5 粒子系統相對于質心的動量矩定理。 對于與質心平行的運動，質心運動定理已在動量定理一章中討論過。 為了討論粒子系統相對于質心的旋轉，我們首先要研究粒子系統相對于質心的動量矩。 一般情況下，在研究粒子系統動力學時，通常會建立以質心C為原點的平移坐標系Cx'y'z'，將粒子系統的運動分解為平移系統Cx 'y'z 與質心。 相對運動系統Cx'y'z'的平移和旋轉，或者簡稱為以質心平移和繞質心旋轉。 x' z' y' xozy rC CCC ri ri' vi C mi 粒子系統相對于不動點 O 的動量矩是相對于粒子點 mi 而言，ri = rC + ri' 結論：動量矩粒子系統相對于任意固定點的動量矩等于粒子系統相對于質心的動量矩 粒子系統（位于質心處）的相對動量矩與動量矩的矢量和）在固定點。 1、質點系相對于質心C的動量矩x'z'y'mi vi相對于質心C的動量矩為： 圖中動量矩定理的應用，桿的長度為l ，質量為m，均質圓盤的半徑為R，質量為m，圓心為A點。
已知桿 OA 繞 O 軸以角速度 ? 旋轉，試求以下情況下圓盤相對于固定點 O 的動量矩： (1) 圓盤固定在 OA 桿上。 (2) 圓盤相對于桿繞軸 A 以角速度 –? 旋轉。 (3) 圓盤繞軸A相對于桿以角速度δ旋轉。 (4) 圓盤繞A軸以絕對角速度旋轉？ (5) 圓盤繞A軸以絕對角速度-?旋轉。 奧？ 粒子-粒子系統的動量定理：動量的變化—
