牛頓第二定律：
不可缺少的：
牛頓第二定律是二階微分方程。 積分一次后就變成了速度和位置的方程，求解起來就容易多了。 除了純數學積分之外，牛頓力學還提供了三種物理上有用的方法，分別對應三大守恒定律：
動量守恒：
角動量守恒：
機械能守恒：
理論力學中的運動積分
我們知道動量守恒但角動量不守恒的例子，拉格朗日方程是關于廣義坐標 qi (i=1,2,...,s) 的二階微分方程。在某些情況下，有 qi 和
的一些不隨時間變化的函數被稱為系統的“運動積分”。
運動積分是常見守恒定律概念的延伸，例如動量守恒定律、角動量守恒定律和機械能守恒定律。 可以看出，運動積分相對于拉格朗日方程降低了一階，是一階微分方程。 因此，“運動積分”有時也稱為“第一積分”。
力學中的“對稱性”非常重要，運動積分的存在與系統的對稱性密切相關。 如果一個系統有盡可能多的運動積分，將會給問題的求解帶來很大的便利。
循環坐標和廣義動量
在拉格朗日方程中，第一項首先求拉格朗日函數相對于廣義速度的偏導數。 該結果仍將具有廣義速度，即關于時間的一階導數。 如果我們再對時間求導，我們就會得到關于時間的二階導數，也就是說，拉格朗日方程是一個“二階微分方程”（集合）。
我們也傾向于整合動量守恒但角動量不守恒的例子，就是降低階數。 如果 L 沒有明確包含某個廣義坐標 qα，則拉格朗日方程的第二項（拉格朗日函數相對于該廣義坐標的偏導數）為 0。
qα被稱為“循環坐標”，因此拉格朗日方程的第一項也應該為0。
因此，括號內的內容是一個常數
定義“廣義動量”：
摘要：廣義動量是拉格朗日函數關于廣義速度的偏導數。 如果廣義坐標是循環坐標，則對應的廣義動量是守恒量。
借助理論力學獲得運動積分的能力并不遜色于牛頓力學，甚至更強，因為廣義坐標的選擇是任意的。
牛頓力學中的動量守恒和角動量守恒都包含在分析力學中的廣義動量守恒中。
例如
有一個心理系統
θ 是循環坐標：
我們得到的體育積分
這是角動量守恒。
循環坐標帶來的對稱視角
從某種程度上來說，這里的“對稱”實際上意味著“無關性”。
前面講過循環坐標后，我們知道拉格朗日函數中并沒有明確包含循環坐標。 因此，無論循環坐標如何變化，拉格朗日函數都不會改變，即相應的運動規律不會改變。 這時我們就說這個“系統在循環坐標變化下具有對稱性”。
例如
例如，太陽系是一個動態系統，也是一個循環坐標系，所以如果我們任意改變行星的角度，并不會影響行星的運動模式。 反過來，我們也無法通過運動定律來判斷是否所有行星在我們不注意的某個時刻突然以相等的角度運行。
行星運動
在擺的拉格朗日方程中，明確地包含了它，因此變化也會改變系統的運動。 這符合我們的知識，因為很明顯，擺的重力勢能（可能）會發生變化。
單擺
