牛頓第二定律：
不可缺少的：
牛頓第二定律是二階微分方程。 積分一次后就變成了速度和位置的方程，求解起來就容易多了。 除了純數(shù)學(xué)積分之外，牛頓力學(xué)還提供了三種物理上有用的方法，分別對(duì)應(yīng)三大守恒定律：
動(dòng)量守恒：
角動(dòng)量守恒：
機(jī)械能守恒：
理論力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)積分
我們知道動(dòng)量守恒但角動(dòng)量不守恒的例子，拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo) qi (i=1,2,...,s) 的二階微分方程。在某些情況下，有 qi 和
的一些不隨時(shí)間變化的函數(shù)被稱為系統(tǒng)的“運(yùn)動(dòng)積分”。
運(yùn)動(dòng)積分是常見守恒定律概念的延伸，例如動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律。 可以看出，運(yùn)動(dòng)積分相對(duì)于拉格朗日方程降低了一階，是一階微分方程。 因此，“運(yùn)動(dòng)積分”有時(shí)也稱為“第一積分”。
力學(xué)中的“對(duì)稱性”非常重要，運(yùn)動(dòng)積分的存在與系統(tǒng)的對(duì)稱性密切相關(guān)。 如果一個(gè)系統(tǒng)有盡可能多的運(yùn)動(dòng)積分，將會(huì)給問題的求解帶來很大的便利。
循環(huán)坐標(biāo)和廣義動(dòng)量
在拉格朗日方程中，第一項(xiàng)首先求拉格朗日函數(shù)相對(duì)于廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)。 該結(jié)果仍將具有廣義速度，即關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 如果我們?cè)賹?duì)時(shí)間求導(dǎo)，我們就會(huì)得到關(guān)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也就是說，拉格朗日方程是一個(gè)“二階微分方程”（集合）。
我們也傾向于整合動(dòng)量守恒但角動(dòng)量不守恒的例子，就是降低階數(shù)。 如果 L 沒有明確包含某個(gè)廣義坐標(biāo) qα，則拉格朗日方程的第二項(xiàng)（拉格朗日函數(shù)相對(duì)于該廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)）為 0。
qα被稱為“循環(huán)坐標(biāo)”，因此拉格朗日方程的第一項(xiàng)也應(yīng)該為0。
因此，括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容是一個(gè)常數(shù)
定義“廣義動(dòng)量”：
摘要：廣義動(dòng)量是拉格朗日函數(shù)關(guān)于廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)。 如果廣義坐標(biāo)是循環(huán)坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量是守恒量。
借助理論力學(xué)獲得運(yùn)動(dòng)積分的能力并不遜色于牛頓力學(xué)，甚至更強(qiáng)，因?yàn)閺V義坐標(biāo)的選擇是任意的。
牛頓力學(xué)中的動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒都包含在分析力學(xué)中的廣義動(dòng)量守恒中。
例如
有一個(gè)心理系統(tǒng)
θ 是循環(huán)坐標(biāo)：
我們得到的體育積分
這是角動(dòng)量守恒。
循環(huán)坐標(biāo)帶來的對(duì)稱視角
從某種程度上來說，這里的“對(duì)稱”實(shí)際上意味著“無關(guān)性”。
前面講過循環(huán)坐標(biāo)后，我們知道拉格朗日函數(shù)中并沒有明確包含循環(huán)坐標(biāo)。 因此，無論循環(huán)坐標(biāo)如何變化，拉格朗日函數(shù)都不會(huì)改變，即相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不會(huì)改變。 這時(shí)我們就說這個(gè)“系統(tǒng)在循環(huán)坐標(biāo)變化下具有對(duì)稱性”。
例如
例如，太陽系是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，也是一個(gè)循環(huán)坐標(biāo)系，所以如果我們?nèi)我飧淖冃行堑慕嵌龋⒉粫?huì)影響行星的運(yùn)動(dòng)模式。 反過來，我們也無法通過運(yùn)動(dòng)定律來判斷是否所有行星在我們不注意的某個(gè)時(shí)刻突然以相等的角度運(yùn)行。
行星運(yùn)動(dòng)
在擺的拉格朗日方程中，明確地包含了它，因此變化也會(huì)改變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。 這符合我們的知識(shí)，因?yàn)楹苊黠@，擺的重力勢(shì)能（可能）會(huì)發(fā)生變化。
單擺
