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第36屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題及解答
2019 年 9 月 21 日
一(40 分)、如圖 a，旅行車上有一個半徑為 R 的三腳圓凳(可視為剛性結構)，三個相同凳腳的端點連線(均
水平)構成邊長為a的等邊三角形，凳子質心位于其軸上的G點.半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，
杯底中心位于凳面中心 O 點處，茶杯質量為 m(遠小于凳子質量)，其中杯底質量為
5
m
(杯壁和杯底各自的質
量分布都是均勻的)，杯高為 H(與杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度為
? .重力加速度
大小為 g.
(1)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩定，杯中茶水的最佳高度是多少?
(2)現該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內切于 D 點時靜止(凳面邊有小凸緣，可防止物體
滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分布都是均勻的)，且 OD⊥AC(見圖 b)，求此時旅行車內底板對各凳
腳的支持力相對于滑移前(該茶水杯位于凳面中心處)的改變.
參考解答:
(1)以凳面中心 0 為坐標原點，以過 O 點向上的豎直線為 y 軸.茶杯(包括茶水在內)的質心位置
CM y
為
2
2
4
( )
5 2 2
( ) CM
m H h r h
y
m r h
? ?
? ?
? ?
?
?
(1)5 分
式中 h 是杯中茶水的高度.令
2
h r ? ?? ，(1)式即
2
4
5 2 2
CM
m H h
y
m h
?
?
? ?
?
?
事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質心先是逐漸降低，
然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩定，茶水杯整體的質心應盡可能接近凳
面，處于最低點的位置
max min ( ) ( ) CM CM y h h y ? ?
，故有
max
0
CM
h h
dy
dh ?
? (2)5 分
由(1)(2)式得
max
4
1 1
5
m H h
m
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
(3)
舍棄負值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為
max
4
1 1
5
m H h
m
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
2
2
4
1 1
5
m r H
r m
? ?
??
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
(4)3 分
【另一種解法：
事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質心先是逐漸降低，
然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩定，茶水杯整體的質心應盡可能接近凳
面，處于最低點的位置
max min ( ) ( ) CM CM y h h y ? ?
.(1)式即
2
2
5 2
2
CM
mH m
m h m
y
m h
? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
它滿足代數不等式
2 2
min
2 2
5 2 5 2 2 2 =( )
2 2 CM CM
mH m mH m
m h m m
y y
m h
? ? ?
? ? ? ? ?
? ?
?
? ? ? ? ?
?
式中當 h 滿足
2
2
5 2
2
mH m
m h
m h
? ?
? ?
?
?
?
?
即
max
4
1 1
5
m H h h
m
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
2
2
4
1 1
5
m r H
r m
? ?
??
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
(4)3 分
時取等號，
max h
即杯中茶水的最佳高度.】
(2)記凳子質量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內切于D點靜止后，坐標系及三腳圓凳的
受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中
NA 、 NB
和
NC
分別是車內底板對凳腳A、B和C的支持力.

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