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課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十九)　帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1．(多選)用洛倫茲力演示儀可以觀察電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)徑跡。圖甲是洛倫茲力演示儀的實(shí)物圖，圖乙是結(jié)構(gòu)示意圖。勵(lì)磁線圈通電后可以產(chǎn)生垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勵(lì)磁線圈中的電流越大，產(chǎn)生的磁場(chǎng)越強(qiáng)。圖乙中電子經(jīng)電子槍中的加速電場(chǎng)加速后水平向左垂直磁感線方向射入磁場(chǎng)。下列關(guān)于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和分析正確的是(　　)

A．要使電子形成如圖乙中的運(yùn)動(dòng)徑跡，勵(lì)磁線圈應(yīng)通以順時(shí)針?lè)较虻碾娏?br /> B．僅升高電子槍加速電場(chǎng)的電壓，運(yùn)動(dòng)徑跡的半徑變大
C．僅增大勵(lì)磁線圈中的電流，運(yùn)動(dòng)徑跡的半徑變大
D．僅升高電子槍加速電場(chǎng)的電壓，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期將變大
解析：選AB　勵(lì)磁線圈通以順時(shí)針?lè)较虻碾娏鳎鶕?jù)右手螺旋定則可得，產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，根據(jù)左手定則可知，電子受到的洛倫茲力正好指向運(yùn)動(dòng)徑跡圓心，故A正確；根據(jù)公式r＝mvBq 可知，當(dāng)升高電子槍加速電場(chǎng)的電壓時(shí)，電子的速度增大，所以運(yùn)動(dòng)半徑增大，B正確；若僅增大勵(lì)磁線圈中的電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，根據(jù)公式r＝mvBq 可知運(yùn)動(dòng)半徑減小，C錯(cuò)誤；根據(jù)公式T＝2πmBq 可知，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和速度大小無(wú)關(guān)，D錯(cuò)誤。
2.(多選)(2020·福建泉州市模擬)如圖所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。t＝0時(shí)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速度豎直向下滑動(dòng)，則物塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖象可能是(　　)

解析：選ACD　設(shè)初速度為v0，則FN＝Bqv0，若滿足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物塊向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A正確；若mg>μBqv0，則物塊開(kāi)始有向下的加速度，由a＝mg－μBqvm 可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項(xiàng)D正確；若mg<μBqv0，則物塊開(kāi)始有向上的加速度，做減速直線運(yùn)動(dòng)，由a＝μBqv－mgm 可知，隨速度減小，加速度減小，即物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項(xiàng)C正確。
3．(多選)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中x＞0空間內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(其他區(qū)域無(wú)磁場(chǎng))，在y軸上有到原點(diǎn)O的距離均為L(zhǎng)的C、D兩點(diǎn)。帶電粒子P(不計(jì)重力)從C點(diǎn)以速率v沿x軸正向射入磁場(chǎng)，并恰好從O點(diǎn)射出磁場(chǎng)；與粒子P相同的粒子Q從C點(diǎn)以速率4v沿紙面射入磁場(chǎng)，并恰好從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則(　　)
A．粒子P帶正電
B．粒子P在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為πL2v
C．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為3πL4v
D．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程可能為2πL3
解析：選ABD　粒子P從C點(diǎn)沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，受洛倫茲力而向上偏轉(zhuǎn)過(guò)O點(diǎn)，由左手定則知帶正電，故A正確；據(jù)題意可知P粒子在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，則半徑為R1＝L2 ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝πR1v ＝πL2v ，故B正確；Q粒子與P粒子的比荷相同，而速度為4v，由R＝mvqB

可知R2＝4R1＝2L，而CD距離為2L，故Q粒子不可能沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)。設(shè)與y軸的夾角為θ，分別有兩種情況從C點(diǎn)進(jìn)過(guò)D出，軌跡如圖所示：
由幾何關(guān)系可知θ＝30°，兩種軌跡的圓心角為60°和300°，則粒子Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝π3·2L4v ＝πL6v 或t2＝5π3·2L4v ＝5πL6v ，而圓周的弧長(zhǎng)為s＝π3 ·2L＝2πL3 或s＝5π3 ·2L＝10πL3 ，故C錯(cuò)誤，D正確。
4.如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力不計(jì))，已知粒子的比荷為k，速度大小為2kBr。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為(　　)
A.πkB 　　　　　　　　　　 B．π2kB
C．π3kB D．π4kB
解析：選C　粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝mvqB ＝2kBrBk ＝2r；當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最大，其最大值為圓磁場(chǎng)的直徑2r，故t＝T6 ＝πm3qB ＝π3kB ，故選項(xiàng)C正確。
5.如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速度的粒子，粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為＋q，粒子重力不計(jì)。則粒子以下列哪一速度值發(fā)射時(shí)不能通過(guò)C點(diǎn)(　　)
A．qBLm B．qBL2m
C．2qBL3m D．qBL8m
解析：選C　粒子帶正電，臨界狀態(tài)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示：

所有圓弧所對(duì)圓心角均為60°，所以粒子運(yùn)動(dòng)半徑：r＝Ln (n＝1，2，3，…)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB＝mv2r ，解得v＝Bqrm ＝BqLmn (n＝1，2，3，…)，故選C。
6.如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb。當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc，不計(jì)粒子重力。則(　　)
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
解析：選A　如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為l，當(dāng)帶電粒子的速度大小為vb時(shí)，其圓心在a點(diǎn)，軌道半徑r1＝l，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ1＝23 π；當(dāng)帶電粒子的速度大小為vc時(shí)，其圓心在O點(diǎn)(即fa、cb延長(zhǎng)線的交點(diǎn))，故軌道半徑r2＝2l，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ2＝π3 ；根據(jù)qvB＝mv2r 得v＝qBrm ，故vbvc ＝r1r2 ＝12 。由T＝2πrv 得T＝2πmqB ，所以兩粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，又t＝θ2π T，所以tbtc ＝θ1θ2 ＝21 。故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。
7．(2020·大慶模擬)如圖所示，MN為兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分界面，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小關(guān)系為B1＝2B2，一帶電荷量為＋q、質(zhì)量為m的粒子從O點(diǎn)垂直MN進(jìn)入B1磁場(chǎng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它將向下再一次通過(guò)O點(diǎn)(　　)
A．2πmqB1 　　　　　　　　　 B．2πmqB2
C．2πmq（B1＋B2） D．πmq（B1＋B2）
解析：選B　粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由周期公式T＝2πmqB 知，粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到再一次通過(guò)O點(diǎn)的時(shí)間t＝2πmqB1 ＋πmqB2 ＝2πmqB2 ，所以選項(xiàng)B正確。
8.如圖所示，abcd為邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，在四分之一圓abd區(qū)域內(nèi)有垂直正方形平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從b點(diǎn)沿ba方向射入磁場(chǎng)，結(jié)果粒子恰好能通過(guò)c點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力，則粒子的速度大小為(　　)
A．qBLm B．2qBLm
C．（2－1）qBLm D．（2＋1）qBLm
解析：選C　粒子沿半徑方向射入磁場(chǎng)，則出射速度的反向延長(zhǎng)線一定過(guò)圓心，由于粒子能經(jīng)過(guò)c點(diǎn)，因此粒子出磁場(chǎng)時(shí)一定沿ac方向，軌跡如圖所示，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何關(guān)系可知，2 r＋r＝L，則r＝(2 －1)L，根據(jù)牛頓第二定律得qv0B＝mv02r ，解得v0＝（2－1）qBLm ，C項(xiàng)正確。

9.(多選)如圖所示，直角三角形ABC內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于△ABC平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)為AB邊的中點(diǎn)，θ＝30°。一對(duì)正、負(fù)電子(不計(jì)重力)自O(shè)點(diǎn)沿ABC平面垂直AB邊射入磁場(chǎng)，結(jié)果均從AB邊射出磁場(chǎng)且均恰好不從兩直角邊射出磁場(chǎng)。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．正電子從AB邊的O、B兩點(diǎn)間射出磁場(chǎng)
B．正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等
C．正電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑較大
D．正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率之比為(3＋23 )∶9
解析：選ABD　根據(jù)左手定則可知，正電子從AB邊的O、B兩點(diǎn)間射出磁場(chǎng)，故A正確；由題意可知，正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為180°，根據(jù)t＝180°360° ×2πmqB 可知正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，故B正確；正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)正電子，根據(jù)幾何關(guān)系可得3r1＝12 lAB，解得正電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r1＝16 lAB；對(duì)負(fù)電子，根據(jù)幾何關(guān)系可得r2＋r2cos 30° ＝12 lAB，解得負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r2＝23－32 lAB，故C錯(cuò)誤；根據(jù)qvB＝mv2r 可知v＝qBrm ，正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率之比為v1v2 ＝r1r2 ＝16 ×223－3 ＝3＋239 ，故D正確。
10．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab 為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(　　)

A．7πm6qB B．5πm4qB
C．4πm3qB D．3πm2qB
解析：選C　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝mv2r ，解得r＝mvqB ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝θrv ＝θmqB ，θ為帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間由軌跡所對(duì)圓心角決定。采用放縮法，粒子垂直ac射入磁場(chǎng)，則軌跡圓圓心必在直線ac上，將粒子的軌跡半徑從零開(kāi)始逐漸放大。當(dāng)r≤0.5R(R為ab 的半徑)和r≥1.5R時(shí)，粒子從ac、bd區(qū)域射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期。當(dāng)0.5R
11.(2020·東北三省三校第二次聯(lián)合模擬)如圖所示，在矩形區(qū)域abcO內(nèi)存在一個(gè)垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，Oa邊長(zhǎng)為3 L，ab邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。現(xiàn)從O點(diǎn)沿著Ob方向垂直磁場(chǎng)射入各種速率的帶正電粒子，已知粒子的質(zhì)量為m、帶電荷量為q(粒子所受重力及粒子間相互作用忽略不計(jì))，求：
(1)垂直ab邊射出磁場(chǎng)的粒子的速率v；
(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm。
解析：(1)粒子垂直ab邊射出磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線1。
設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角為θ，由幾何關(guān)系可知：tan θ＝L3L ＝33 ，
則θ＝π6 ，sin θ＝SOaSOO1 ＝3LR ，
故R＝23 L。
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝mv2R
解得v＝23qBLm 。
(2)由粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知T＝2πRv ＝2πmBq
因此粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變，和速度無(wú)關(guān)，由幾何關(guān)系可知最大圓心角α＝2θ＝π3
可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間
tm＝α2π T＝πm3Bq 。
答案：(1)23qBLm 　(2)πm3qB
12.(2020·河南鄭州市模擬)如圖所示，三塊擋板圍成橫截面邊長(zhǎng)L＝1.2 m的等邊三角形區(qū)域，C、P、Q分別是MN、AM和AN中點(diǎn)處的小孔，三個(gè)小孔處于同一豎直面內(nèi)，MN水平，MN上方是豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E＝4×10－4 N/C。三角形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1；AMN以外區(qū)域有垂直紙面向外、 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2＝3B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。現(xiàn)將一比荷qm ＝108 C/kg的帶正電的粒子，從O點(diǎn)由靜止釋放，粒子從MN小孔C進(jìn)入內(nèi)部勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)內(nèi)部磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后直接垂直AN經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入外部磁場(chǎng)。已知粒子最終回到了O點(diǎn)，OC相距2 m。設(shè)粒子與擋板碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量不變，不計(jì)粒子重力，不計(jì)擋板厚度，取π＝3。求：
(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小；
(2)粒子從O點(diǎn)出發(fā)，到再次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間。
解析：(1) 粒子在電場(chǎng)中加速，則由動(dòng)能定理得Eqx＝12 mv2，解得v＝400 m/s。
設(shè)粒子進(jìn)入三角形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R1，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

由幾何關(guān)系可知R1＝L2 ＝0.6 m
由qvB1＝mv2R1
代入數(shù)據(jù)得B1＝23 ×10－5 T。
(2)設(shè)帶電粒子進(jìn)入外部磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R2，
由題可知B2＝3B1＝2×10－5 T
又qvB2＝mv2R2
則R2＝R13 ＝0.2 m
粒子在由O→C過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由x＝12 vt1
得到t1＝0.01 s
粒子在磁場(chǎng)B1中的周期為T(mén)1＝2πmqB1 ＝9×10－3 s
則在磁場(chǎng)B1中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2＝13 T1＝3×10－3 s
在磁場(chǎng)B2中的周期為T(mén)2＝2πmqB2 ＝3×10－3 s
在磁場(chǎng)B2中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3＝180°＋300°＋180°360° T2＝5.5×10－3 s。
則粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t＝2t1＋t2＋t3＝2.85×10－2 s。
答案：(1)23 ×10－5 T　(2)2.85×10－2 s

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