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課時(shí)跟蹤檢測(三十四)　電磁感應(yīng)中的電路和圖象問題

1．(多選)某技術(shù)有限公司生產(chǎn)的一款手機(jī)無線充電器內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意如圖甲所示。假設(shè)手機(jī)接收線圈獲得的電壓隨時(shí)間變化關(guān)系如圖乙所示，則發(fā)射線圈輸入的電流隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象可能是(　　)


解析：選CD　當(dāng)手機(jī)接收線圈獲得的電壓為零時(shí)，則此時(shí)發(fā)射線圈的磁通量變化率為零，即i-t線的切線的斜率為零；同理當(dāng)手機(jī)接收線圈獲得的電壓為最大時(shí)，則此時(shí)發(fā)射線圈的磁通量變化率為最大，即i-t線的切線的斜率最大；對比四個(gè)圖可知，選項(xiàng)C、D正確，A、B錯(cuò)誤。
2.如圖所示，邊長為2l的正方形虛線框內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場。一個(gè)邊長為l的正方形導(dǎo)線框所在平面與磁場方向垂直，導(dǎo)線框和虛線框的對角線共線。從t＝0開始，使導(dǎo)線框從圖示位置開始以恒定速度沿對角線方向進(jìn)入磁場，直到整個(gè)導(dǎo)線框離開磁場區(qū)域。用I表示導(dǎo)線框中的感應(yīng)電流，取逆時(shí)針方向?yàn)檎瑒t下列表示I-t關(guān)系的圖象中，大致正確的是(　　)

解析：選D　從t＝0開始，線框的位移從0到2 l，導(dǎo)線框切割磁感線的有效長度線性增加，感應(yīng)電流也線性增加；線框的位移從2 l到22 l，線框完全進(jìn)入磁場，無感應(yīng)電流；線框的位移從22 l到32 l，導(dǎo)線框切割磁感線的有效長度線性減少，感應(yīng)電流也線性減小。D正確。
3.(2018·全國卷Ⅱ)如圖，在同一水平面內(nèi)有兩根平行長導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間存在依次相鄰的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，區(qū)域?qū)挾染鶠閘，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向交替向上向下。一邊長為32 l的正方形金屬線框在導(dǎo)軌上向左勻速運(yùn)動(dòng)。線框中感應(yīng)電流i隨時(shí)間t變化的正確圖線可能是(　　)

解析：選D　設(shè)線路中只有一邊切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電流為i，相應(yīng)位移所對應(yīng)電流如下表所示。
線框位移 等效電路的連接 電流
0～l2

I＝2i(順時(shí)針)
l2 ～l

I＝0
l～3l2

I＝2i(逆時(shí)針)
3l2 ～2l

I＝0
綜合分析知，選項(xiàng)D正確。
4．(多選)如圖甲所示，矩形導(dǎo)線框abcd固定在勻強(qiáng)磁場中，磁場的方向與導(dǎo)線框所在的平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定垂直紙面向里為磁場正方向，順時(shí)針方向?yàn)楦袘?yīng)電流i正方向，水平向右為ad邊所受安培力F的正方向。下列圖象正確的是(　　)


解析：選BD　0～1 s內(nèi)，B增大，Φ增大，由楞次定律可知，感應(yīng)電流方向是逆時(shí)針，為負(fù)值；1～3 s內(nèi)，B減小，Φ減小，由楞次定律可知，感應(yīng)電流方向是順時(shí)針，為正值；3～4 s內(nèi)，B減小，Φ減小，同理，感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針，為負(fù)值，故B正確，A錯(cuò)誤；0～1 s內(nèi)，ad邊受安培力方向水平向右，為正值，1～3 s內(nèi)，ad邊受安培力方向水平向左，為負(fù)值，2～3 s內(nèi)，ad也受安培力方向水平向右，為正值，3～4 s內(nèi)，ad邊受安培力方向水平向左，為負(fù)值，且每一時(shí)間段中，F(xiàn)＝BIl，I，l不變，B線性變化，則F也是線性變化，故D正確，C錯(cuò)誤。
5.半徑為L的圓形邊界內(nèi)分布有垂直圓所在平面的磁場，垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，垂直紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，如圖所示。AEO為八分之一圓導(dǎo)線框，其總電阻為R，以角速度ω繞O軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。從圖中所示位置開始計(jì)時(shí)，用i表示導(dǎo)線框中的感應(yīng)電流(順時(shí)針方向?yàn)檎?，線框中感應(yīng)電流i隨時(shí)間t變化圖象可能是(　　)

解析：選B　當(dāng)線框轉(zhuǎn)過0～45°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流為順時(shí)針方向，電動(dòng)勢E＝12 BωL2＋12 ·2BωL2＝32 BωL2，感應(yīng)電流I＝3BωL22R ；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過45°～90°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為零，感應(yīng)電流為零；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過90°～135°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向，電動(dòng)勢E＝12 BωL2＋12 ·2BωL2＝32 BωL2，感應(yīng)電流I＝3BωL22R ；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過135°～180°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為零，感應(yīng)電流為零；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過180°～225°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流為順時(shí)針方向，電動(dòng)勢E＝12 ·2BωL2＝BωL2，感應(yīng)電流I＝BωL2R ；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過225°～270°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為零，感應(yīng)電流為零；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過270°～315°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向，電動(dòng)勢E＝12 ·2BωL2＝BωL2，感應(yīng)電流I＝BωL2R ；當(dāng)線框轉(zhuǎn)過315°～360°時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為零，感應(yīng)電流為零，故選B。
6.如圖所示，水平面內(nèi)有一平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì)。勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌平面垂直。阻值為R的導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌靜止放置，且與導(dǎo)軌接觸良好。t＝0時(shí)，將開關(guān)S由1擲到2。q、i、v和a分別表示電容器所帶的電荷量、棒中的電流、棒的速度和加速度。下列圖象正確的是(　　)

解析：選D　當(dāng)開關(guān)S由1擲到2時(shí)，電容器開始放電，此時(shí)電流最大，棒受到的安培力最大，加速度最大，此后棒開始運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，棒相當(dāng)于電源，利用右手定則可判斷棒的上端為正極，下端為負(fù)極；當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，電路中的電流逐漸減小，當(dāng)電容器電壓與棒兩端電動(dòng)勢相等時(shí)，電容器不再放電，電路電流等于零，棒做勻速運(yùn)動(dòng)，加速度減為零，所以B、C錯(cuò)誤，D正確。因?yàn)殡娙萜鲀蓸O板間有電壓，電荷量q＝CU不等于零，所以A錯(cuò)誤。
7.兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向分別垂直于紙面向里和向外，磁場寬度均為L，距磁場區(qū)域的左側(cè)L處有一邊長為L的正方形導(dǎo)體線框，總電阻為R，且線框平面與磁場方向垂直。現(xiàn)用外力F使線框以速度v勻速穿過磁場區(qū)域，以初始位置為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，規(guī)定電流沿逆時(shí)針方向時(shí)的電動(dòng)勢E為正，磁感線垂直紙面向里時(shí)磁通量Φ的方向?yàn)檎饬方向向右為正。線框中的磁通量Φ、感應(yīng)電動(dòng)勢E、外力F和電功率P隨時(shí)間變化的圖象正確的是圖中的(　　)

解析：選D　線框向右運(yùn)動(dòng)距離為L時(shí)開始進(jìn)入磁場，磁通量開始增大，當(dāng)線框全部進(jìn)入方向垂直向里的磁場時(shí)，磁通量達(dá)到最大，此后方向垂直向外的磁通量增大，總磁通量減小，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到2.5L時(shí)，磁通量為零，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)線框進(jìn)入第一個(gè)磁場時(shí)，由E＝BLv可知，E保持不變，而開始進(jìn)入第二個(gè)磁場時(shí)，兩邊同時(shí)切割磁感線，電動(dòng)勢應(yīng)為2BLv，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因安培力總是與運(yùn)動(dòng)方向相反，因此外力F方向應(yīng)一直向右，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；外力F的功率P＝Fv，因速度不變，而線框進(jìn)入第一個(gè)磁場時(shí)，電流為定值，F(xiàn)也為定值，兩邊分別在兩個(gè)磁場中時(shí)，電流加倍，回路中總電動(dòng)勢加倍，功率變?yōu)樵瓉淼?倍，此后從第二個(gè)磁場中離開時(shí)，安培力應(yīng)等于線框進(jìn)入第一個(gè)磁場時(shí)的安培力，所以功率應(yīng)等于進(jìn)入第一個(gè)磁場時(shí)的功率，故選項(xiàng)D正確。
8．如圖甲所示，一邊長L＝2.5 m、質(zhì)量m＝0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個(gè)裝置處在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.8 T的勻強(qiáng)磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合。在水平力F作用下由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過5 s線框被拉出磁場。測得金屬線框中的電流隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示，在金屬線框被拉出的過程中，

(1)求通過線框的電荷量及線框的總電阻；
(2)分析線框運(yùn)動(dòng)性質(zhì)并寫出水平力F隨時(shí)間變化的表達(dá)式；
(3)已知在這5 s內(nèi)力F做功1.92 J，求在此過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱是多少。
解析：(1)根據(jù)q＝I t，由I-t圖象得q＝1.25 C
又根據(jù)I ＝ER ＝ΔΦtR ＝BL2tR
得R＝4 Ω。
(2)由題圖乙可知
感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的規(guī)律：I＝0.1t
由感應(yīng)電流I＝BLvR 可得金屬線框的速度隨時(shí)間也是線性變化的，v＝RIBL ＝0.2t
可知線框做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
加速度a＝0.2 m/s2
線框在外力F和安培力F安作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
F－F安＝ma
又F安＝BIL
得F＝(0.2t＋0.1)N。
(3)5 s時(shí)，線框從磁場中拉出時(shí)的速度v5＝at＝1 m/s
由能量守恒得W＝Q＋12 mv52
線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q＝W－12 mv52＝1.67 J。
答案：(1)1.25 C　4 Ω　(2)初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)　F＝(0.2t＋0.1)N　(3)1.67 J

9．(2020·遼寧大連模擬)有一磁場方向豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖甲所示的勻強(qiáng)磁場。現(xiàn)有如圖乙所示的直角三角形導(dǎo)線框abc水平放置，放在勻強(qiáng)磁場中保持靜止不動(dòng)。t＝0時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直紙面向里，設(shè)產(chǎn)生的感應(yīng)電流i順時(shí)針方向?yàn)檎⒇Q直邊ab所受安培力F的方向水平向左為正。則下面關(guān)于F和i隨時(shí)間t變化的圖象正確的是(　　)


解析：選A　在0～3 s時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間線性變化，由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，感應(yīng)電動(dòng)勢恒定，回路中感應(yīng)電流恒定， 同時(shí)由F＝BIl知道，電流恒定，安培力與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比， 又由楞次定律判斷出回路中感應(yīng)電流的方向應(yīng)為順時(shí)針方向，即正方向， 在3～4 s時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度恒定，感應(yīng)電動(dòng)勢等于零，感應(yīng)電流為零，安培力等于零，故B、C錯(cuò)誤，A正確；0～3 s時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間線性變化，由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，感應(yīng)電動(dòng)勢恒定，回路中感應(yīng)電流恒定，故D錯(cuò)誤。
10．(多選)如圖所示，一個(gè)邊長為L的正方形線圈置于邊界水平的勻強(qiáng)磁場上方L處，磁場寬也為L，方向垂直紙面向里，由靜止釋放線圈且線圈平面始終與磁場方向垂直。如果從線圈的一條邊剛進(jìn)入磁場開始計(jì)時(shí)，下列關(guān)于通過線圈橫截面的電荷量q、感應(yīng)電流i、線圈運(yùn)動(dòng)的加速度a、線圈具有的動(dòng)能Ek隨時(shí)間變化的圖象中，可能正確的是(　　)

解析：選ACD　若線圈進(jìn)入磁場時(shí)受到的安培力等于所受的重力，則線圈勻速進(jìn)入，感應(yīng)電流恒定，由q＝It可知，通過線圈橫截面的電荷量均勻增大；線圈離開時(shí)，由楞次定律可知，感應(yīng)電流方向改變，通過線圈橫截面的電荷量均勻減小，故A項(xiàng)正確。由于線圈通過磁場時(shí)，線圈的寬度與磁場的寬度相等，故始終是一條邊做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，且速度不可能減小到零，所以線圈通過磁場的過程中不可能出現(xiàn)感應(yīng)電流為零的情況，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。由于線圈進(jìn)入磁場時(shí)重力也可能大于安培力，繼續(xù)做加速運(yùn)動(dòng)；但速度增大安培力也增大，則加速度減小，當(dāng)安培力增大到等于重力時(shí)，加速度變?yōu)榱悖蔆項(xiàng)正確。如果線圈剛進(jìn)入磁場時(shí)安培力就大于重力，則線圈做減速運(yùn)動(dòng)，速度減小則安培力減小，最后可能達(dá)到平衡，速度不變，動(dòng)能不變，故D項(xiàng)正確。
11．(2019·廣東廣州模擬)如圖所示，平行長直金屬導(dǎo)軌水平放置，間距L＝0.4 m，導(dǎo)軌左端接有阻值R＝1 Ω的電阻，導(dǎo)體棒垂直放置在導(dǎo)軌上，且接觸良好，導(dǎo)體棒及導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)。導(dǎo)軌間正方形區(qū)域Oabc內(nèi)有方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.5 T，ac連線與導(dǎo)軌垂直，長度也為L。若使導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上始終以速度v＝2 m/s做直線運(yùn)動(dòng)，以O(shè)為原點(diǎn)、Ob為x軸建立一維坐標(biāo)系Ox。求：

(1)導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場區(qū)域時(shí)，回路中感應(yīng)電流的最大值Im；
(2)導(dǎo)體棒通過磁場區(qū)域時(shí)，電流i與位置坐標(biāo)x的關(guān)系式。
解析：(1)導(dǎo)體棒在ac位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢最大Em＝BLv①
感應(yīng)電流最大值Im＝BLvR ②
代入數(shù)值，求得Im＝0.4 A。③
(2)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)至Oac區(qū)域，即x≤0.2 m時(shí)，
有效長度l＝2x④
感應(yīng)電流i＝2x A
導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)至acb區(qū)域，即0.2 m≤x≤0.4 m時(shí)，有效長度l＝2(0.4－x)⑤
感應(yīng)電動(dòng)勢E＝Blv＝2Bv(0.4－x) V⑥
感應(yīng)電流i＝(0.8－2x) A⑦
綜合④至⑦式，
得i＝2x A （0≤x<0.2 m），（0.8－2x）A （0.2 m≤x<0.4 m）。
答案：(1)0.4 A
(2)i＝2x A（0≤x<0.2 m），（0.8－2x）A （0.2 m≤x<0.4 m）
12．(2020·泉州模擬)如圖甲所示，兩根完全相同的光滑平行導(dǎo)軌固定，每根導(dǎo)軌均由兩段與水平面成θ＝30°的長直導(dǎo)軌和一段圓弧導(dǎo)軌平滑連接而成，導(dǎo)軌兩端均連接電阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，導(dǎo)軌間距L＝0.6 m。在右側(cè)導(dǎo)軌所在斜面的矩形區(qū)域M1M2P2P1內(nèi)分布有垂直斜面向上的磁場，磁場上下邊界M1P1、M2P2的距離d＝0.2 m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示。t＝0時(shí)刻，在右側(cè)導(dǎo)軌斜面上與M1P1距離s＝0.1 m處，有一根阻值r＝2 Ω的金屬棒ab垂直于導(dǎo)軌由靜止釋放，恰好獨(dú)立勻速通過整個(gè)磁場區(qū)域，重力加速度g取10 m/s2，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。求：

(1)ab在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度大小v；
(2)在t1＝0.1 s時(shí)刻和t2＝0.25 s時(shí)刻電阻R1的電功率之比。
解析：(1)由mgs·sin θ＝12 mv2
得v＝2gs·sin θ ＝1 m/s。
(2)金屬棒從釋放到運(yùn)動(dòng)至M1P1的時(shí)間
t＝vg sin θ ＝0.2 s
在t1＝0.1 s時(shí)，金屬棒還沒進(jìn)入磁場，
有E1＝ΔΦΔt ＝ΔBΔt Ld＝0.6 V
此時(shí)，R2與金屬棒并聯(lián)后再與R1串聯(lián)
R串＝3 Ω
U1＝E1R串 R1＝0.4 V
由題圖乙可知，t＝0.2 s后磁感應(yīng)強(qiáng)度大小保持不變，ab經(jīng)過磁場的時(shí)間t′＝dv ＝0.2 s
故在t2＝0.25 s時(shí)，ab還在磁場中運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)勢E2＝BLv＝0.6 V
此時(shí)R1與R2并聯(lián)，R總＝3 Ω，得R1兩端電壓U1′＝0.2 V
電功率P＝U2R ，故在t1＝0.1 s和t2＝0.25 s時(shí)刻電阻R1的電功率比值P1P2 ＝U12U1′2 ＝4。
答案：(1)1 m/s　(2)4

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