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2012~2021十年高考匯編·專題10.萬有引力與航天2-非繞行問題及天體各參數的計算（解析版）.doc
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專題10萬有引力與航天2-非繞行問題及天體各參數的計算
（2012-2021）
目錄

題型一、估算類問題 1
題型二、天體運動各參數的計算 6
題型三、非繞行問題—萬有引力提供物體重力的綜合分析 16

題型一、估算類問題
1.（2021全國甲）2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（　　）
A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自轉則
①
可知

設與為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為 ，由萬引力提供向心力可知
②
設近火點到火星中心為
③
設遠火點到火星中心為
④
由開普勒第三定律可知
⑤
由以上分析可得

故選C。
2.（2021全國乙）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為 （太陽到地球的距離為 ）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為（　　）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可以近似把S2看成勻速圓周運動，由圖可知，S2繞黑洞的周期T=16年，地球的公轉周期T0=1年，S2繞黑洞做圓周運動的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關系是

地球繞太陽的向心力由太陽對地球的引力提供，由向心力公式可知

解得太陽的質量為

同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對它的萬有引力提供，由向心力公式可知

解得黑洞的質量為

綜上可得

故選B。
3.（2021河北） “祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日，假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日，已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛星的軌道半徑的比值約為（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】繞中心天體做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，可得

則
，
由于一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則飛船的軌道半徑

則

故選D。
4.（2018·全國卷2）2018年2月，我國500 m口徑射電望遠鏡（天眼）發現毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期T=5.19 ms，假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為 。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】試題分析;在天體中萬有引力提供向心力，即 ，天體的密度公式 ，結合這兩個公式求解。設脈沖星值量為M，密度為
根據天體運動規律知 ： 代入可得： ，故C正確；
5.（2018全國1） 2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（ ）
A. 質量之積　　　B. 質量之和　　　C. 速率之和　　　D. 各自的自轉角速度
【答案】BC
【解析】本題考查天體運動、萬有引力定律、牛頓運動定律及其相關的知識點。
雙中子星做勻速圓周運動的頻率f=12Hz（周期T=1/12s），由萬有引力等于向心力，可得， =m1r1（2πf）2， =m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，聯立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，選項B正確A錯誤；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，聯立解得：v1+ v2=2πf r，選項C正確；不能得出各自自轉的角速度，選項D錯誤。
6.（2016全國1）利用三顆位置適當的地球同步衛星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊。目前，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的 倍。假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛星來實現上述目的，則地球自轉周期的最小值約為（ ）
A. 1h B. 4h C. 8h D. 16h
【答案】B
【解析】地球自轉周期變小，衛星要與地球保持同步，則衛星的公轉周期也應隨之變小，由 可得 ，則衛星離地球的高度應變小，要實現三顆衛星覆蓋全球的目的，則衛星周期最小時，由數學幾何關系可作出圖。由幾何關系得，衛星的軌道半徑為 ①
由開普勒第三定律 ，代入題中數據，得 ②
由①②解得

7.（2014全國卷1）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動．當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”．據報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日．已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是(　　)
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都會出現沖日現象
B．在2015年內一定會出現木星沖日
C．天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半
D．地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短
【答案】：BD
【解析】： 本題考查萬有引力知識，開普勒行星第三定律，天體追及問題．因為沖日現象實質上是角速度大的天體轉過的弧度恰好比角速度小的天體多出2π，所以不可能每年都出現(A選項)．由開普勒行星第三定律有T2木T2地＝r3木r3地＝140.608，周期的近似比值為12，故木星的周期為12年，由曲線運動追及公式2πT1t－2πT2t＝2nπ，將n＝1代入可得t＝1211年，為木星兩次沖日的時間間隔，所以2015年能看到木星沖日現象，B正確．同理可算出天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為1.01年．土星兩次沖日的時間間隔為1.03年．海王星兩次沖日的時間間隔為1.006年，由此可知C錯誤，D正確．
8.（2014·浙江） 長期以來“卡戎星(Charon)”被認為是冥王星唯一的衛星，它的公轉軌道半徑r1＝19 600 km，公轉周期T1＝6.39天.2006年3月，天文學家新發現兩顆冥王星的小衛星，其中一顆的公轉軌道半徑r2＝48 000 km，則它的公轉周期T2最接近于(　　)
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
【答案】B　
【解析】本題考查開普勒第三定律、萬有引力定律等知識．根據開普勒第三定律r31T21＝r32T22，代入數據計算可得T2約等于25天．選項B正確．
題型二、天體運動各參數的計算
9.（2020海南） 2020年5月5日，長征五號B運載火箭在中國文昌航天發射場成功首飛，將新一代載人飛船試驗船送入太空，若試驗船繞地球做勻速圓周運動，周期為T，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，則（ ）
A. 試驗船的運行速度為
B. 地球的第一宇宙速度為
C. 地球的質量為
D. 地球表面的重力加速度為
【答案】B
【解析】A．試驗船的運行速度為 ，故A錯誤；
B．近地軌道衛星的速度等于第一宇宙速度，根據萬有引力提供向心力有

根據試驗船受到的萬有引力提供向心力有

聯立兩式解得第一宇宙速度

故B正確；
C．根據試驗船受到的萬有引力提供向心力有

解得

故C錯誤；
D．地球重力加速度等于近地軌道衛星向心加速度，根據萬有引力提供向心力有

根據試驗船受到的萬有引力提供向心力有

聯立兩式解得重力加速度

故D錯誤。
故選B。
10.（2021湖南） 2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發射升空，準確進入預定軌道。根據任務安排，后續將發射問天實驗艙和夢天實驗艙，計劃2022年完成空間站在軌建造。核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的 。下列說法正確的是（　　）
A. 核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的 倍
B. 核心艙在軌道上飛行的速度大于
C. 核心艙在軌道上飛行的周期小于
D. 后續加掛實驗艙后，空間站由于質量增大，軌道半徑將變小
【答案】AC
【解析】A．根據萬有引力定律有

核心艙進入軌道后的萬有引力與地面上萬有引力之比為

所以A正確；
B．核心艙在軌道上飛行的速度小于7.9km/s，因為第一宇宙速度是最大的環繞速度，所以B錯誤；
C．根據

可知軌道半徑越大周期越大，則其周期比同步衛星的周期小，小于24h，所以C正確；
D．衛星做圓周運動時萬有引力提供向心力有

解得

則衛星的環繞速度與衛星的質量無關，所以變軌時需要點火減速或者點火加速，增加質量不會改變軌道半徑，所以D錯誤；
故選AC。
11.（2021廣東）2021年4月，我國自主研發的空間站“天和”核心艙成功發射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是（　　）
A. 核心艙的質量和繞地半徑
B. 核心艙的質量和繞地周期
C. 核心艙的繞地角速度和繞地周期
D. 核心艙的繞地線速度和繞地半徑
【答案】D
【解析】根據核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得

可得

可知已知核心艙的質量和繞地半徑、已知核心艙的質量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質量。
故選D。
12.（2020江蘇）.甲、乙兩顆人造衛星質量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應用公式進行的推論正確的有（　　）
A. 由 可知，甲的速度是乙的 倍
B. 由 可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C. 由 可知，甲的向心力是乙的
D. 由 可知，甲的周期是乙的 倍
【答案】CD
【解析】衛星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，則
A．因為在不同軌道上g是不一樣的，故不能根據 得出甲乙速度的關系，衛星的運行線速
代入數據可得 故A錯誤；
B．因為在不同軌道上兩衛星的角速度不一樣，故不能根據 得出兩衛星加速度的關系，衛星的運行加速度
代入數據可得 故B錯誤；
C．根據 ，兩顆人造衛星質量相等，可得 ，故C正確；
D．兩衛星均繞地球做圓周運動，根據開普勒第三定律 ，可得
故D正確。故選CD。
13.（2020全國3）.“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質量是月球質量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】假設在地球表面和月球表面上分別放置質量為 和 的兩個物體，則在地球和月球表面處，分別有 ，
解得
設嫦娥四號衛星的質量為 ，根據萬有引力提供向心力得
解得： 故選D。
14.（2020全國2）.若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛星的周期是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】衛星在星體表面附近繞其做圓周運動，則： ， ，
知衛星該星體表面附近沿圓軌道繞其運動的衛星的周期：
15.（2019全國3）金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金 A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金 C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【答案】A
【解析】：天體繞行類問題遵循“高軌低速長周期”原則；即軌道半徑越大衛星的角速度、線速度、向心加速度越小，周期越長。
16.（2018·天津卷）2018年2月2日，我國成功將電磁監測試驗衛星“張衡一號”發射升空，標志我國成為世界上少數擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛星的國家之一。通過觀測可以得到衛星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度。若將衛星繞地球的運動看作是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉的影響，根據以上數據可以計算出衛星的（ ）

A. 密度 B. 向心力的大小 C. 離地高度 D. 線速度的大小
【答案】CD
【解析】根據題意，已知衛星運動的周期T，地球的半徑R，地球表面的重力加速度g，衛星受到的外有引力充當向心力，故有 ，衛星的質量被抵消，則不能計算衛星的密度，更不能計算衛星的向心力大小，AB錯誤；由 解得 ，而 ，故可計算衛星距離地球表面的高度，C正確；根據公式 ，軌道半徑可以求出，周期已知，故可以計算出衛星繞地球運動的線速度，D正確；
17.（2018·全國卷3）為了探測引力波，“天琴計劃”預計發射地球衛星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為（ ）
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
【答案】C
【解析】試題分析 本題考查衛星的運動、開普勒定律及其相關的知識點。
解析 設地球半徑為R，根據題述，地球衛星P的軌道半徑為RP=16R，地球衛星Q的軌道半徑為RQ=4R，根據開普勒定律， = =64，所以P與Q的周期之比為TP∶TQ=8∶1，選項C正確。
18.（2015四川）．登上火星是人類的夢想，“嫦娥之父”歐陽自遠透露：中國計劃于2020年登陸火星。地球和火星公轉視為勻速圓周運動，忽略行 星自轉影響。根據下表，火星和 地球相比（ ）
行星 半徑/m 質量/kg 軌道半徑/m[來源:學,科,網Z,X,X,K]
地球 6.4 ×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A．火星的公轉周期較小 B．火星做圓周運動的加速度較小
C．火星表面的重力加速度較大 D．火星的第一宇宙速度較大
【答案】B
【解析】：根據

結論：同一個中心天體，外有不同繞行天體，繞行天體的線速度、角速度、向心加速度的大小隨軌道半徑的增大而減小，周期則隨軌道半徑的增大而增大，簡稱：“高軌低速長周期”。火星公轉的軌道半徑大于地球公轉的軌道半徑，所以火星的公轉周期大，向心加速度小；根據： ；得 ，分別將火星的質量、半徑地球的質量半徑代入上式即可比較二者表面的重力加速度之比；假設第一宇宙速度的大小為V1， ，分別代入參數即可比較；
19.（2014·福建卷） 若有一顆“宜居”行星，其質量為地球的p倍，半徑為地球的q倍，則該行星衛星的環繞速度是地球衛星環繞速度的(　　)
A.pq倍 B.qp倍 C.pq倍 D.pq3倍
【答案】C　
【解析】 由GMmR2＝mv2R可知，衛星的環繞速度v＝GMR，由于“宜居”行星的質量為地球的p倍，半徑為地球的q倍，則有v宜v地＝M宜M地·R地R宜＝p1·1q＝pq，故C項正確．
20.（2014上海）動能相等的兩人造地球衛星A、B的軌道半徑之比 ，它們的角速度之比 ，質量之比 。
【答案】2 ：1 ； 1：2
【解析】 根據GMmR2＝mω2R得出ω＝ ,則ωA : ωB＝ ： ＝2 ：1 ；又因動能EK＝12mv2相等 以及v=ωR ,得出mA : mB ＝ ＝1 ：2
21.（2015江蘇）過去幾千年來，人類對行星的認 識與研究僅限于太陽系內，行星“51 peg b”的發現拉開了研究太陽系外行星的序幕。“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑為 ，該中心恒星與太陽的質量比約為（ ）
A． B．1 C．5 D．10
【答案】B
【解析】：根據萬有引力提供向心力： ，可得恒星的質量與太陽的質量比為81：80

22.（2015福建）如圖，若兩顆人造衛星a和b均繞地球做勻速圓周運動，a、b到地心O的距離分別為r1、r2, 線速度大小分別為v1 、 v2。則 （ ）



【答案】：A
【解析】：兩顆人造衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據 ，得： ，所以 ，故A正確；B、C、D錯誤。
23.（2014·江蘇） 已知地球的質量約為火星質量的10倍，地球的半徑約為火星半徑的2倍，則航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動的速率約為(　　)
A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s
【答案】：A
【解析】： 航天器在火星表面附近做圓周運動所需的向心力是由萬有引力提供的，由GMmR2＝mv2R知v＝GMR，當航天器在地球表面附近繞地球做圓周運動時有v地＝7.9 km/s，v火v地＝GM火R火GM地R地＝M火M地·R地R火＝55，故v火＝55v地＝55×7.9 km/s≈3.5 km/s，則A正確．

題型三、非繞行問題—萬有引力提供物體重力的綜合分析
24.（2020全國1）.火星的質量約為地球質量的 ，半徑約為地球半徑的 ，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為（　　）
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】設物體質量為m，在火星表面所受引力的大小為F1,則在火星表面有:
在地球表面所受引力的大小為F2，則在地球表面有：
由題意知有： ；
故聯立以上公式可得： 。故B選項正確。
25.(2019全國2)2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸，在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖像是（ ）

【答案】D
【解析】：根據萬有引力定律可得： ，式中R 表示地球的半徑、隨著h增大，F在減小，故選項D正確；
26.(2019 天津)2018年12月8日，肩負著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號探測器成功發射，“實現人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足跡”。已知月球的質量為 、半徑為 ，探測器的質量為 ，引力常量為 ，嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為 的勻速圓周運動時，探測器的（ ）

A．周期為 B．動能為
C．角速度為 D．向心加速度為
【答案】A
【解析】：萬有引力提供探測器做圓周運動的向心力；
解的T= 故A 正確；
解得： 故C錯
解得： ， 聯立得： 故B 錯
解得： 故D 錯
27.（2018·北京卷）若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗證（ ）
A. 地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602
B. 月球公轉的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602
C. 自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6
D. 蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】設月球的質量為M2地球的質量為M1蘋果的質量為m；地球的半徑為r
月球受到的萬有引力的大小為：
蘋果受到的萬有引力的大小為：
因月球和蘋果的質量關系未知，所以A 選項無法比較；故A 錯；
設月球的公轉加速大小為a1，蘋果落地的加速度大小為a2
聯立兩式得： 故B 對；
月球表面的重力加速度： ，地球表面的重力加速度： ；r1、r2的大小關系未知；所以無法求得月地表面的重力加速度之比，故C錯；D錯；
28.（2014全國2） 假設地球可視為質量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G.地球的密度為(　　)
A. B. C. D、
【答案】B　
【解析】： 在赤道： 在北極上：
密度
表達式（2）可變形為： （3）（4）、（5）聯立：
(1)、(2)兩式聯立：
將(7)式代入(6)式得： 。
29.（2015重慶）宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一 些完全失重狀態下的物理現象。若飛船質量為 ，距地面高度為 ，地球質量為 ，半徑為 ，引力常量為 ，則飛船所在處的重力加速度大小為（ ）
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】：對飛船受力分析知，所受到的萬有引力提供勻速圓周運動的向心力，等于飛船所在位置的重力，即 ，可得飛船的重力加速度為 ，故選B。
30.（2014·北京）萬有引力定律揭示了天體運行規律與地上物體運動規律具有內在的一致性．
(1)用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果．已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G.將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數是F0.
a. 若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數為F1，求比值F1F0的表達式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數值(計算結果保留兩位有效數字)；
b. 若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數為F2，求比值F2F0的表達式．
(2)設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑r、太陽的半徑Rs和地球的半徑R三者均減小為現在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變．僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的1年將變為多長．
【答案】：(1)a.　F1F0＝R2（R＋h）2　0.98 b．　F2F0＝1－4π2R3GMT2
(2)1年
【解析】 (1)設小物體質量為m.a．在北極地面
GMmR2＝F0
在北極上空高出地面h處
GMm（R＋h）2＝F1
F1F0＝R2（R＋h）2
當h＝1.0%R時
F1F0＝11.012≈0.98.
b．在赤道地面，小物體隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧秤的作用力，有
GMmR2－F2＝m4π2T2R
得
F2F0＝1－4π2R3GMT2.
(2)地球繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力，設太陽質量為MS，地球質量為M，地球公轉周期為TE，有
GMSMr2＝Mr4π2T2E
得
TE＝4π2r3GMS＝3πr3GρR3S.
其中ρ為太陽的密度．
由上式可知，地球公轉周期TE僅與太陽的密度、地球公轉軌道半徑與太陽半徑之比有關．因此“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同．

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