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2012~2021十年高考匯編·專題32 電學(xué)綜合4 壓軸大題2（解析版）.doc
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專題32 電學(xué)綜合4壓軸大題2
（2012-2021）
電磁綜合壓軸大題2—帶電粒子在磁場、復(fù)合場及組合場中的運動

1.（2021全國甲）如圖，長度均為l的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為l，兩擋板上邊緣P和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E；兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強度大小可調(diào)節(jié)的勻強磁場。一質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子自電場中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與擋板碰撞。已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，不計重力。
（1）求粒子發(fā)射位置到P點的距離；
（2）求磁感應(yīng)強度大小的取值范圍；
（3）若粒子正好從QN 中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離。


【答案】（1） ；（2） ；（3）粒子運動軌跡見解析，
【解析】（1）帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，由類平拋運動規(guī)律可知
①
②
粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，有
③
粒子發(fā)射位置到P點的距離
④
由①②③④式得
⑤
（2）帶電粒子在磁場運動在速度
⑥
帶電粒子在磁場中運動兩個臨界軌跡（分別從Q、N點射出）如圖所示

由幾何關(guān)系可知，最小半徑
⑦
最大半徑
⑧
帶電粒子在磁場中做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感應(yīng)強度大小的取值范圍

（3）若粒子正好從QN的中點射出磁場時，帶電粒子運動軌跡如圖所示。
由幾何關(guān)系可知
⑩
帶電粒子的運動半徑為
?
粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離
?
由⑩??式解得
?

2.（2021湖南） 帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、帶電粒子流（每個粒子的質(zhì)量為 、電荷量為 ）以初速度 垂直進(jìn)入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在 平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。
（1）如圖（a），寬度為 的帶電粒子流沿 軸正方向射入圓心為 、半徑為 的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標(biāo)原點 ，求該磁場磁感應(yīng)強度 的大小；
（2）如圖（a），虛線框為邊長等于 的正方形，其幾何中心位于 。在虛線框內(nèi)設(shè)計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使匯聚到 點的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?，并沿 軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)強度 的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）；
（3）如圖（b），虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于 的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于 的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使寬度為 的帶電粒子流沿 軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點 ，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?，并沿 軸正方向射出，從而實現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應(yīng)強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。


【答案】（1） ；（2） ，垂直與紙面向里， ；（3） ， ， ，
【解析】（1）粒子垂直 進(jìn)入圓形磁場，在坐標(biāo)原點 匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場中運動的半徑等于圓形磁場的半徑 ，粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力

解得

（2）粒子從 點進(jìn)入下方虛線區(qū)域，若要從聚焦的 點飛入然后平行 軸飛出，為磁發(fā)散的過程，即粒子在下方圓形磁場運動的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強磁場區(qū)域

磁場半徑為 ，根據(jù) 可知磁感應(yīng)強度為

根據(jù)左手定則可知磁場的方向為垂直紙面向里，圓形磁場的面積為

（3）粒子在磁場中運動，3和4為粒子運動的軌跡圓，1和2為粒子運動的磁場的圓周

根據(jù) 可知I和III中的磁感應(yīng)強度為
，
圖中箭頭部分的實線為粒子運動的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區(qū)域如圖

圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周 與三角形 之差，所以陰影部分的面積為

類似地可知IV區(qū)域的陰影部分面積為

根據(jù)對稱性可知II中的勻強磁場面積為


3.（2021河北）如圖，一對長平行柵極板水平放置，極板外存在方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，極板與可調(diào)電源相連，正極板上O點處的粒子源垂直極板向上發(fā)射速度為 、帶正電的粒子束，單個粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，一足夠長的擋板 與正極板成 傾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是負(fù)極板上的兩點，C點位于O點的正上方，P點處放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收從上方打入的粒子， 長度為 ，忽略柵極的電場邊緣效應(yīng)、粒子間的相互作用及粒子所受重力。 。
（1）若粒子經(jīng)電場一次加速后正好打在P點處的粒子靶上，求可調(diào)電源電壓 的大小；
（2）調(diào)整電壓的大小，使粒子不能打在擋板 上，求電壓的最小值 ；
（3）若粒子靶在負(fù)極板上的位置P點左右可調(diào)，則負(fù)極板上存在H、S兩點（ ，H、S兩點末在圖中標(biāo)出）、對于粒子靶在 區(qū)域內(nèi)的每一點，當(dāng)電壓從零開始連續(xù)緩慢增加時，粒子靶均只能接收到n（ ）種能量的粒子，求 和 的長度（假定在每個粒子的整個運動過程中電壓恒定）。

【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
【解析】（1）從O點射出的粒子在板間被加速，則

粒子在磁場中做圓周運動，則半徑

由

解得

（2）當(dāng)電壓有最小值時，當(dāng)粒子穿過下面的正極板后，圓軌道與擋板OM相切，此時粒子恰好不能打到擋板上，則

從O點射出的粒子在板間被加速，則

粒子在負(fù)極板上方的磁場中做圓周運動

粒子從負(fù)極板傳到正極板時速度仍減小到v0，則

由幾何關(guān)系可知

聯(lián)立解得


（3）設(shè)被粒子靶 接收到n種能量的粒子中能量最小的粒子，在負(fù)極板上方磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)的軌跡半徑為r0，則
，其中
由(2)問分析可得
，為定值
才不能被OM板吸收
越小，k越小，粒子靶 離C點越近。 最小為 ，由于要求 ，則k最小取1，此時 最小，即CH點的距離

當(dāng)粒子靶 向右移動時， 增大，粒子靶 一定能接收到多種能量的粒子，故



4.（2021廣東）圖是一種花瓣形電子加速器簡化示意圖，空間有三個同心圓a、b、c圍成的區(qū)域，圓a內(nèi)為無場區(qū)，圓a與圓b之間存在輻射狀電場，圓b與圓c之間有三個圓心角均略小于90°的扇環(huán)形勻強磁場區(qū)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各區(qū)感應(yīng)強度恒定，大小不同，方向均垂直紙面向外。電子以初動能 從圓b上P點沿徑向進(jìn)入電場，電場可以反向，保證電子每次進(jìn)入電場即被全程加速，已知圓a與圓b之間電勢差為U，圓b半徑為R，圓c半徑為 ，電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略相對論效應(yīng)，取 。
（1）當(dāng) 時，電子加速后均沿各磁場區(qū)邊緣進(jìn)入磁場，且在電場內(nèi)相鄰運動軌跡的夾角 均為45°，最終從Q點出射，運動軌跡如圖中帶箭頭實線所示，求Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強度大小、電子在Ⅰ區(qū)磁場中的運動時間及在Q點出射時的動能；
（2）已知電子只要不與Ⅰ區(qū)磁場外邊界相碰，就能從出射區(qū)域出射。當(dāng) 時，要保證電子從出射區(qū)域出射，求k的最大值。

【答案】（1） ， ， ；（2）
【解析】（1）電子在電場中加速有

在磁場Ⅰ中，由幾何關(guān)系可得


聯(lián)立解得

在磁場Ⅰ中的運動周期為

由幾何關(guān)系可得，電子在磁場Ⅰ中運動的圓心角為

在磁場Ⅰ中的運動時間為

聯(lián)立解得

從Q點出來的動能為

（2）在磁場Ⅰ中的做勻速圓周運動的最大半徑為 ，此時圓周的軌跡與Ⅰ邊界相切，由幾何關(guān)系可得

解得

由于


聯(lián)立解得

5.（2021浙江） 如圖甲所示，空間站上某種離子推進(jìn)器由離子源、間距為d的中間有小孔的兩平行金屬板M、N和邊長為L的立方體構(gòu)成，其后端面P為噴口。以金屬板N的中心O為坐標(biāo)原點，垂直立方體側(cè)面和金屬板建立x、y和z坐標(biāo)軸。M、N板之間存在場強為E、方向沿z軸正方向的勻強電場；立方體內(nèi)存在磁場，其磁感應(yīng)強度沿z方向的分量始終為零，沿x和y方向的分量 和 隨時間周期性變化規(guī)律如圖乙所示，圖中 可調(diào)。氙離子（ ）束從離子源小孔S射出，沿z方向勻速運動到M板，經(jīng)電場加速進(jìn)入磁場區(qū)域，最后從端面P射出，測得離子經(jīng)電場加速后在金屬板N中心點O處相對推進(jìn)器的速度為v0。已知單個離子的質(zhì)量為m、電荷量為 ，忽略離子間的相互作用，且射出的離子總質(zhì)量遠(yuǎn)小于推進(jìn)器的質(zhì)量。
（1）求離子從小孔S射出時相對推進(jìn)器的速度大小vS；
（2）不考慮在磁場突變時運動的離子，調(diào)節(jié) 的值，使得從小孔S射出的離子均能從噴口后端面P射出，求 的取值范圍；
（3）設(shè)離子在磁場中的運動時間遠(yuǎn)小于磁場變化周期T，單位時間從端面P射出的離子數(shù)為n，且 。求圖乙中 時刻離子束對推進(jìn)器作用力沿z軸方向的分力。

【答案】（1） ；（2） ；（3） ，方向沿z軸負(fù)方向
【解析】】（1）離子從小孔S射出運動到金屬板N中心點O處，根據(jù)動能定理有

解得離子從小孔S射出時相對推進(jìn)器的速度大小

（2）當(dāng)磁場僅有沿x方向的分量取最大值時，離子從噴口P的下邊緣中點射出，根據(jù)幾何關(guān)系有

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有

聯(lián)立解得

當(dāng)磁場在x和y方向的分量同取最大值時，離子從噴口P邊緣交點射出，根據(jù)幾何關(guān)系有

此時 ；根據(jù)洛倫茲力提供向心力有

聯(lián)立解得

故 的取值范圍為 ；
（3）粒子在立方體中運動軌跡剖面圖如圖所示

由題意根據(jù)洛倫茲力提供向心力有

且滿足

所以可得

所以可得

離子從端面P射出時，在沿z軸方向根據(jù)動量定理有

根據(jù)牛頓第三定律可得離子束對推進(jìn)器作用力大小為

方向沿z軸負(fù)方向。

6.（2020全國1）在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直。已知剛進(jìn)入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°。運動中粒子僅受電場力作用。
（1）求電場強度的大小；
（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進(jìn)入電場時的速度應(yīng)為多大？
（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進(jìn)入電場時的速度應(yīng)為多大？

【答案】(1) ；(2) ；(3)0或
【解析】（1）由題意知在A點速度為零的粒子會沿著電場線方向運動，由于q>0，故電場線由A指向C，根據(jù)幾何關(guān)系可知：

所以根據(jù)動能定理有：

解得：
；
（2）根據(jù)題意可知要使粒子動能增量最大則沿電場線方向移動距離最多，做AC垂線并且與圓相切，切點為D，即粒子要從D點射出時沿電場線方向移動距離最多，粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)幾何關(guān)系有


而電場力提供加速度有

聯(lián)立各式解得粒子進(jìn)入電場時的速度：
；
（3）因為粒子在電場中做類平拋運動，粒子穿過電場前后動量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0 ，過C點做AC垂線會與圓周交于B點，故由題意可知粒子會從C點或B點射出。當(dāng)從B點射出時由幾何關(guān)系有


電場力提供加速度有

聯(lián)立解得 ；當(dāng)粒子從C點射出時初速度為0。

7.（2020山東）某型號質(zhì)譜儀的工作原理如圖甲所示。M、N為豎直放置的兩金屬板，兩板間電壓為U，Q板為記錄板，分界面P將N、Q間區(qū)域分為寬度均為d的I、Ⅱ兩部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b為M、N上兩正對的小孔。以a、b所在直線為z軸， 向右為正方向，取z軸與Q板的交點O為坐標(biāo)原點，以平行于Q板水平向里為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。區(qū)域I、Ⅱ內(nèi)分別充滿沿x軸正方向的勻強磁場和勻強電場，磁感應(yīng)強度大小、電場強度大小分別為B和E。一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子，從a孔飄入電場（初速度視為零），經(jīng)b孔進(jìn)入磁場，過P面上的c點（圖中未畫出）進(jìn)入電場，最終打到記錄板Q上。不計粒子重力。
(1)求粒子在磁場中做圓周運動的半徑R以及c點到z軸的距離L；
(2)求粒子打到記錄板上位置的x坐標(biāo)；
(3)求粒子打到記錄板上位置的y坐標(biāo)（用R、d表示）；
(4)如圖乙所示，在記錄板上得到三個點s1、s2、s3，若這三個點是質(zhì)子 、氚核 、氦核 的位置，請寫出這三個點分別對應(yīng)哪個粒子（不考慮粒子間的相互作用，不要求寫出推導(dǎo)過程）。


【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)s1、s2、s3分別對應(yīng)氚核 、氦核 、質(zhì)子 的位置
【解析】(1)設(shè)粒子經(jīng)加速電場到b孔 速度大小為v，粒子在區(qū)域I中，做勻速圓周運動對應(yīng)圓心角為α，在M、N兩金屬板間，由動能定理得
qU= mv2 ①
在區(qū)域I中，粒子做勻速圓周運動，磁場力提供向心力，由牛頓第二定律得
②
聯(lián)立①②式得
③
由幾何關(guān)系得
④
⑤
⑥
聯(lián)立①②④式得
⑦
(2)設(shè)區(qū)域Ⅱ中粒子沿z軸方向 分速度為vz，沿x軸正方向加速度大小為a，位移大小為x，運動時間為t，由牛頓第二定律得
qE=ma ⑧
粒子在z軸方向做勻速直線運動，由運動合成與分解的規(guī)律得
⑨
⑩
粒子在x方向做初速度為零的勻加速直線運動，由運動學(xué)公式得
?
聯(lián)立①②⑤⑧⑨⑩?式得
?
(3)設(shè)粒子沿y方向偏離z軸的距離為y，其中在區(qū)域Ⅱ中沿y方向偏離的距離為y'，由運動學(xué)公式得
y'=vtsinα ?
由題意得
y=L+y' ?
聯(lián)立①④⑥⑨⑩??式
?
(4) s1、s2、s3分別對應(yīng)氚核 、氦核 、質(zhì)子 的位置。
8.（2020天津）多反射飛行時間質(zhì)譜儀是一種測量離子質(zhì)量的新型實驗儀器，其基本原理如圖所示，從離子源A處飄出的離子初速度不計，經(jīng)電壓為U的勻強電場加速后射入質(zhì)量分析器。質(zhì)量分析器由兩個反射區(qū)和長為l的漂移管（無場區(qū)域）構(gòu)成，開始時反射區(qū)1、2均未加電場，當(dāng)離子第一次進(jìn)入漂移管時，兩反射區(qū)開始加上電場強度大小相等、方向相反的勻強電場，其電場強度足夠大，使得進(jìn)入反射區(qū)的離子能夠反射回漂移管。離子在質(zhì)量分析器中經(jīng)多次往復(fù)即將進(jìn)入反射區(qū)2時，撤去反射區(qū)的電場，離子打在熒光屏B上被探測到，可測得離子從A到B的總飛行時間。設(shè)實驗所用離子的電荷量均為q，不計離子重力。
（1）求質(zhì)量為m的離子第一次通過漂移管所用的時間 ；
（2）反射區(qū)加上電場，電場強度大小為E，求離子能進(jìn)入反射區(qū)的最大距離x；
（3）已知質(zhì)量為 的離子總飛行時間為 ，待測離子的總飛行時間為 ，兩種離子在質(zhì)量分析器中反射相同次數(shù)，求待測離子質(zhì)量 。

【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）設(shè)離子經(jīng)加速電場加速后的速度大小為v，有
①
離子在漂移管中做勻速直線運動，則
②
聯(lián)立①②式，得
③
（2）根據(jù)動能定理，有
④
得 ⑤
（3）離子在加速電場中運動和反射區(qū)電場中每次單向運動均為勻變速直線運動，平均速度大小均相等，設(shè)其為 ，有
⑥
通過⑤式可知，離子在反射區(qū)的電場中運動路程是與離子本身無關(guān)的，所以不同離子在電場區(qū)運動的總路程相等，設(shè)為 ，在無場區(qū)的總路程設(shè)為 ，根據(jù)題目條件可知，離子在無場區(qū)速度大小恒為v，設(shè)離子的總飛行時間為 。有
⑦
聯(lián)立①⑥⑦式，得
⑧
可見，離子從A到B的總飛行時間與 成正比。由題意可得

可得

9.（2020江蘇）空間存在兩個垂直于 平面的勻強磁場，y軸為兩磁場的邊界，磁感應(yīng)強度分別為 、 。甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點O沿x軸正向射入磁場，速度均為v。甲第1次、第2次經(jīng)過y軸的位置分別為P、Q，其軌跡如圖所示。甲經(jīng)過Q時，乙也恰好同時經(jīng)過該點。已知甲的質(zhì)量為m，電荷量為q。不考慮粒子間的相互作用和重力影響。求：
(1)Q到O的距離d；
(2)甲兩次經(jīng)過P點的時間間隔 ；
(3)乙的比荷 可能的最小值。

【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由 得，
，
Q、O的距離為：

(2)由(1)可知，完成一周期運動上升的距離為d，粒子再次經(jīng)過P，經(jīng)過N個周期，

所以，再次經(jīng)過P點的時間為

由勻速圓周運動的規(guī)律得，


繞一周的時間為：

解得：

所以，再次經(jīng)過P點的時間為

兩次經(jīng)過P點的時間間隔為：

解得：

(3)由洛倫茲力提供向心力，由 得，



若乙粒子從第一象限進(jìn)入第二象限的過程中與甲粒子在Q點相遇，則：


結(jié)合以上式子，n無解。
若乙粒子從第二象限進(jìn)入第一象限的過程中與甲離子在Q點相遇，則：


計算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，則n=2時，乙的比荷 最小，為


10.（2019江蘇）如圖所示，勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B．磁場中的水平絕緣薄板與磁場的左、右邊界分別垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上時會被反彈（碰撞時間極短），反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反．質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子速度一定，可以從左邊界的不同位置水平射入磁場，在磁場中做圓周運動的半徑為d，且d （1）求粒子運動速度的大小v；
（2）欲使粒子從磁場右邊界射出，求入射點到M的最大距離dm；
（3）從P點射入的粒子最終從Q點射出磁場，PM=d，QN= ，求粒子從P到Q的運動時間t．
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