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第3講　力的合成與分解
目標要求 　1.會應用平行四邊形定則及三角形定則求合力.2.能利用效果分解法和正交分解法計算分力.3.知道“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”的區別.
考點一　共點力的合成
基礎回扣
1.合力與分力
(1)定義：如果一個力單獨作用的效果跟某幾個力共同作用的效果相同，這個力叫作那幾個力的合力，那幾個力叫作這個力的分力.
(2)關系：合力與分力是等效替代關系.
2.力的合成
(1)定義：求幾個力的合力的過程.
(2)運算法則
①平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，可以用表示這兩個力的有向線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就表示合力的大小和方向.如圖1甲所示，F1、F2為分力，F為合力.

圖1
②三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的起點到第二個矢量的終點的有向線段為合矢量.如圖乙，F1、F2為分力，F為合力.
技巧點撥
1.共點力合成的方法
(1)作圖法.
(2)計算法：根據平行四邊形定則作出力的示意圖，然后利用勾股定理、三角函數、正弦定理等求出合力.
2.合力范圍的確定
(1)兩個共點力的合力范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①兩個力的大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小.
②合力的大小不變時，兩分力隨夾角的增大而增大.
③當兩個力反向時，合力最小，為|F1－F2|；當兩個力同向時，合力最大，為F1＋F2.
(2)三個共點力的合力范圍
①最大值：三個力同向時，其合力最大，為Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：以這三個力的大小為邊，如果能組成封閉的三角形，則其合力的最小值為零，即Fmin＝0；如果不能，則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1為三個力中最大的力).
例1 　如圖2甲所示，射箭時，釋放箭的瞬間若弓弦的拉力為100 N，對箭產生的作用力為120 N，其弓弦的拉力如圖乙中F1和F2所示，對箭產生的作用力如圖中F所示，則弓弦的夾角α應為(cos 53°＝0.6)(　　)

圖2
A.53° B.127° C.143° D.106°
答案　D
解析　弓弦拉力的合成如圖所示，

由于F1＝F2，
由幾何知識得2F1cos α2＝F，
有cos α2＝F2F1＝0.6，所以α2＝53°
即α＝106°，故D正確.

1.(作圖法求合力)一物體受到三個共面共點力F1、F2、F3的作用，三力的矢量關系如圖3所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是(　　)

圖3
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不確定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向與F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向與F3同向
D.由題給條件無法求合力大小
答案　B
解析　先以力F1和F2為鄰邊作平行四邊形，其合力與F3共線，大小F12＝2F3，如圖所示，F12再與第三個力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故選B.

2.(合力的范圍)有三個力，分別為12 N、6 N、7 N，則關于這三個力的合力，下列說法正確的是(　　)
A.合力的最小值為1 N
B.合力的最小值為零
C.合力不可能為20 N
D.合力可能為30 N
答案　B
3.(力的合成的應用)(2020·全國卷Ⅲ·17)如圖4，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處；繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連.甲、乙兩物體質量相等.系統平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β.若α＝70°，則β等于(　　)

圖4
A.45° B.55° C.60° D.70°
答案　B
解析　取O點為研究對象，在三力的作用下O點處于平衡狀態，對其受力分析如圖所示，FT1＝FT2，兩力的合力與F等大反向，根據幾何關系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故選B.

考點二　力的分解的兩種常用方法
基礎回扣
1.力的分解是力的合成的逆運算，遵循的法則：平行四邊形定則或三角形定則.
2.分解方法：
(1)按力產生的效果分解；(2)正交分解.
如圖5，將結點O受力進行分解.

圖5
3.矢量和標量
(1)矢量：既有大小又有方向的物理量，疊加時遵循平行四邊形定則，如速度、力等.
(2)標量：只有大小沒有方向的物理量，求和時按代數法則相加，如路程、速率等.
技巧點撥
1.力的效果分解法
(1)根據力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向.
(2)再根據兩個分力方向畫出平行四邊形.
(3)最后由幾何知識求出兩個分力的大小和方向.
2.力的正交分解法
(1)建立坐標軸的原則：在靜力學中，以少分解力和容易分解力為原則(使盡量多的力分布在坐標軸上)；在動力學中，往往以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標系.
(2)多個力求合力的方法：把各力向相互垂直的x軸、y軸分解.
x軸上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y軸上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝Fx2＋Fy2
若合力方向與x軸夾角為θ，則tan θ＝FyFx.

　　　　 效果分解法

例2 　(多選)(2018·天津卷·7)明朝謝肇淛的《五雜組》中記載：“明姑蘇虎丘寺塔傾側，議欲正之，非萬緡不可.一游僧見之曰：無煩也，我能正之.”游僧每天將木楔從塔身傾斜一側的磚縫間敲進去，經月余扶正了塔身.假設所用的木楔為等腰三角形，木楔的頂角為θ，現在木楔背上加一力F，方向如圖6所示，木楔兩側產生推力FN，則(　　)

圖6
A.若F一定，θ大時FN大
B.若F一定，θ小時FN大
C.若θ一定，F大時FN大
D.若θ一定，F小時FN大
答案　BC
解析　根據力F的作用效果將F分解為垂直于木楔兩側的力FN，如圖所示

則F2FN＝sin θ2
故FN＝F2sin θ2，
所以當F一定時，θ越小，FN越大；當θ一定時，F越大，FN越大，故選項B、C正確，A、D錯誤.

正交分解法

例3 　建筑裝修中，工人用質量為m的磨石對傾角為θ的斜壁進行打磨(如圖7所示)，當對磨石施加豎直向上大小為F的推力時，磨石恰好沿斜壁向上勻速運動，已知磨石與斜壁之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則磨石受到的摩擦力大小是(　　)

圖7
A.(F－mg)cos θ
B.(F－mg)sin θ
C.μ(F－mg)cos θ
D.μ(F－mg)tan θ
答案　A
解析　磨石受重力、推力、斜壁的彈力及摩擦力作用而處于平衡狀態，由圖可知，F一定大于重力mg；先將重力及向上的推力合成后，將二者的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁方向分解，則在沿斜壁方向上有Ff＝(F－mg)cos θ，在垂直斜壁方向上有FN＝(F－mg)sin θ，則Ff＝μ(F－mg)sin θ，故A正確.


4.(效果分解法)刀、斧、鑿等切削工具的刃部叫作劈，如圖8是斧頭劈木柴的情景.劈的縱截面是一個等腰三角形，使用劈的時候，垂直劈背加一個力F，這個力產生兩個作用效果，使劈的兩個側面推壓木柴，把木柴劈開.設劈背的寬度為d，劈的側面長為l，不計斧頭自身的重力，則劈的側面推壓木柴的力為(　　)

圖8
A.dlF B.ldF C.l2dF D.d2lF
答案　B
解析　斧頭劈木柴時，設兩側面推壓木柴的力分別為F1、F2且F1＝F2，利用幾何三角形與力的三角形相似有 dF＝lF1＝lF2，得推壓木柴的力F1＝F2＝ldF，所以B正確，A、C、D錯誤.

5.(正交分解的應用)(2021·河北張家口市第一次質檢)如圖9，斜面傾角為30°，一質量m＝1 kg的物塊在與斜面成30°角的拉力F作用下恰好不上滑.已知物塊與斜面間動摩擦因數μ＝33，求F的大小.(g＝10 m/s2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

圖9
答案　53 N
解析　對物塊受力分析如圖，沿斜面方向和垂直斜面方向建立平面直角坐標系，正交分解拉力F、重力mg，如圖所示

x軸：Fcos 30°－mgsin 30°－Ff＝0
y軸：Fsin 30°＋FN－mgcos 30°＝0
又Ff＝μFN
代入數值，解得F＝53 N.
考點三　“活結”與“死結”、“動桿”與“定桿”
1.活結：當繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，繩上的力是相等的，即滑輪只改變力的方向，不改變力的大小，如圖10甲，滑輪B兩側繩的拉力相等.
2.死結：若結點不是滑輪，而是固定點時，稱為“死結”結點，則兩側繩上的彈力不一定相等，如圖乙，結點B兩側繩的拉力不相等.
3.動桿：若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿平衡時，桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則桿會轉動.如圖乙所示，若C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向.

圖10
4.定桿：若輕桿被固定，不發生轉動，則桿受到的彈力方向不一定沿桿的方向，如圖甲所示.
例4 　如圖11甲所示，輕繩AD跨過固定在水平橫梁BC右端的光滑定滑輪掛住一個質量為m1的物體，∠ACB＝30°；圖乙所示的輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向成30°角，輕桿的G點用細繩GF拉住一個質量為m2的物體，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)

圖11
A.圖甲中BC對滑輪的作用力為m1g2
B.圖乙中HG桿受到繩的作用力為m2g
C.細繩AC段的拉力FAC與細繩EG段的拉力FEG之比為1∶1
D.細繩AC段的拉力FAC與細繩EG段的拉力FEG之比為m1∶2m2
答案　D
解析　題圖甲中，是一根繩跨過光滑定滑輪，繩中的彈力相等，兩段繩的拉力都是m1g，互成120°角，則合力的大小是m1g，方向與豎直方向成60°角斜向左下方，故BC對滑輪的作用力大小也是m1g，方向與豎直方向成60°角斜向右上方，A選項錯誤；題圖乙中HG桿受到繩的作用力為3m2g，B選項錯誤；題圖乙中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，則FACFEG＝m12m2，C選項錯誤，D選項正確.

6.(活結的應用)(2020·遼寧葫蘆島市第一次模擬)如圖12所示，細繩一端固定在A點，跨過與A等高的光滑定滑輪B后在另一端懸掛一個沙桶Q.現有另一個沙桶P通過光滑輕質掛鉤掛在AB之間，穩定后掛鉤下降至C點，∠ACB＝120°，下列說法正確的是(　　)

圖12
A.若只增加Q桶內的沙子，再次平衡后C點位置不變
B.若只增加P桶內的沙子，再次平衡后C點位置不變
C.若在兩桶內增加相同質量的沙子，再次平衡后C點位置不變
D.若在兩桶內增加相同質量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案　C
解析　對沙桶Q受力分析有FT＝GQ，設兩繩的夾角為θ，對C點受力分析可知，C點受三力而平衡，而C點為活結繩上的點，兩側繩的張力相等，有2FTcos θ2＝GP，聯立可得2GQcos θ2＝GP，故增大Q的重力，夾角θ變大，C點上升；只增大P的重力時，夾角θ變小，C點下降，故A、B錯誤；當θ＝120°時，GP＝GQ，故兩沙桶增加相同的質量，P和Q的重力仍相等，C點的位置不變，故C正確，D錯誤.
7.(活結與動桿組合)(多選)如圖13所示，輕桿BC一端用鉸鏈固定于墻上，另一端有一小滑輪C，重物系一繩經C固定在墻上的A點，滑輪與繩的質量及摩擦力均不計，若將繩一端從A點沿墻稍向上移，系統再次平衡后，則(　　)

圖13
A.繩的拉力增大
B.輕桿受到的壓力減小，且桿與AB的夾角變大
C.繩的拉力大小不變
D.輕桿受的壓力不變
答案　BC
解析　對C進行受力分析如圖所示，根據力的平衡條件和對稱性可知FAC＝FCD＝G.A點上移后繩上拉力大小不變，等于重物的重力，故A錯誤，C正確；A點上移后AC與CD的夾角變大，則合力變小，即輕桿受到的壓力減小，方向沿桿方向并且沿∠ACD的角平分線，根據幾何知識知∠BCD變大，即桿與AB的夾角變大，故B正確，D錯誤.

課時精練

1.三個共點力大小分別是F1、F2、F3，關于它們合力F的大小，下列說法中正確的是(　　)
A.F大小的取值范圍一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B.F至少比F1、F2、F3中的某一個大
C.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合力為零
D.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要適當調整它們之間的夾角，一定能使合力為零
答案　C
2.(多選)研究兩共點力的合成實驗中，得出合力F隨夾角θ變化的規律如圖1所示，則(　　)

圖1
A.兩個分力分別為8 N、10 N
B.兩個分力分別為6 N、8 N
C.2 N≤F≤18 N
D.2 N≤F≤14 N
答案　BD
解析　當兩個分力方向垂直時，兩個力合力為F12＋F22＝10 N，當兩個力方向相反時，合力最小，為兩個力大小之差，即F1－F2＝2 N，解得這兩個分力分別為8 N、6 N，選項B正確，A錯誤；當兩個力方向相同時，合力最大，為兩個力大小之和，則有2 N≤F≤14 N，選項D正確，C錯誤.
3.(2017·浙江4月選考·10)重力為G的體操運動員在進行自由體操比賽時，有如圖2所示的比賽動作，當運動員豎直倒立保持靜止狀態時，兩手臂對稱支撐，夾角為θ，則(　　)

圖2
A.當θ＝60°時，運動員單手對地面的正壓力大小為G2
B.當θ＝120°時，運動員單手對地面的正壓力大小為G
C.當θ不同時，運動員受到的合力不同
D.當θ不同時，運動員與地面之間的相互作用力不相等
答案　A
解析　對運動員受力分析如圖，

運動員單手對地面的正壓力大小與θ無關
F1＝F2＝G2
而手臂受力與夾角θ有關，所以選項A正確，B錯誤；不管角度如何，運動員受到的合力為零，選項C錯誤；不管角度如何，運動員與地面之間的相互作用力總是等大，選項D錯誤.
4.某物體同時受到同一平面內的三個共點力作用，在如圖3所示的四種情況中(坐標紙中每格邊長表示1 N大小的力)，該物體所受的合外力大小正確的是(　　)


圖3
A.甲圖中物體所受的合外力大小等于4 N
B.乙圖中物體所受的合外力大小等于2 N
C.丙圖中物體所受的合外力大小等于0
D.丁圖中物體所受的合外力大小等于0
答案　D

5.(2019·全國卷Ⅲ·16)用卡車運輸質量為m的勻質圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖4所示.兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°.重力加速度為g.當卡車沿平直公路勻速行駛時，圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則(　　)

圖4
A.F1＝33mg，F2＝32mg B.F1＝32mg，F2＝33mg
C.F1＝12mg，F2＝32mg D.F1＝32mg，F2＝12mg
答案　D
解析　分析可知工件受力平衡，對工件受到的重力按照壓緊斜面Ⅰ和Ⅱ的效果進行分解如圖所示，結合幾何關系可知工件對斜面Ⅰ的壓力大小為F1＝F1′＝mgcos 30°＝32mg，對斜面Ⅱ的壓力大小為F2＝F2′＝mgsin 30°＝12mg，選項D正確，A、B、C錯誤.

6.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大橋正式開通.為保持以往船行習慣，在航道外建造了單面索(所有鋼索均處在同一豎直面內)斜拉橋，其索塔與鋼索如圖5所示.下列說法正確的是(　　)

圖5
A.增加鋼索的數量可減小索塔受到的向下的壓力
B.為了減小鋼索承受的拉力，可以適當降低索塔的高度
C.索塔兩側鋼索對稱且拉力大小相同時，鋼索對索塔的合力豎直向下
D.為了使索塔受到鋼索的合力豎直向下，索塔兩側的鋼索必須對稱分布
答案　C
解析　增加鋼索的數量不能減小索塔受到的向下的壓力，A錯誤；當索塔受到的力F一定時，降低索塔的高度，鋼索與水平方向的夾角α減小，則鋼索受到的拉力將增大，B錯誤；如果索塔兩側的鋼索對稱且拉力大小相同，則兩側拉力在水平方向的合力為零，鋼索的合力一定豎直向下，C正確；索塔受到鋼索的拉力合力豎直向下，當兩側鋼索的拉力大小不等時，由圖可知，兩側的鋼索不一定對稱，D錯誤.

7.(多選)如圖6所示，質量為m的物體在水平恒力F的作用下沿粗糙斜面勻速向上滑動，斜面與水平方向的夾角為θ，物體與斜面之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則物體受到的摩擦力大小是(　　)

圖6
A.Fcos θ＋mgsin θ
B.Fcos θ－mgsin θ
C.μ(mg＋Fsin θ)
D.μ(mgcos θ＋Fsin θ)
答案　BD
8.(2019·福建泉州市期末質量檢查)如圖7所示，總重為G的吊燈用三條長度相同的輕繩懸掛在天花板上，每條輕繩與豎直方向的夾角均為θ，則每條輕繩對吊燈的拉力大小為(　　)

圖7
A.G3cos θ B.G3sin θ
C.13Gcos θ D.13Gsin θ
答案　A
解析　對吊燈，由平衡條件可知：3FTcos θ＝G，解得FT＝G3cos θ，故選A.

9.(多選)如圖8所示是剪式千斤頂，當搖動把手時，螺紋軸就能迫使千斤頂的兩臂靠攏，從而將汽車頂起.當車輪剛被頂起時汽車對千斤頂的壓力為1.0×105 N，此時千斤頂兩臂間的夾角為120°，則下列判斷正確的是(　　)

圖8
A.此時兩臂受到的壓力大小均為5.0×104 N
B.此時千斤頂對汽車的支持力為1.0×105 N
C.若繼續搖動把手，將汽車頂起，兩臂受到的壓力將增大
D.若繼續搖動把手，將汽車頂起，兩臂受到的壓力將減小
答案　BD
解析　設兩臂受到的壓力大小均為F1，汽車對千斤頂的壓力為F，兩臂間夾角為θ，則有F＝2F1cos θ2，由此可知，當F＝1.0×105 N，θ＝120°時，F1＝1.0×105 N，A錯誤；由牛頓第三定律知，B正確；若繼續搖動把手，F不變，θ減小，則F1將減小，C錯誤，D正確.
10.(多選)(2017·天津卷·8)如圖9所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態.如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是(　　)

圖9
A.繩的右端上移到b′，繩子拉力不變
B.將桿N向右移一些，繩子拉力變大
C.繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小
D.若換掛質量更大的衣服，則衣架懸掛點右移
答案　AB
解析　設兩桿間距離為d，繩長為l，Oa、Ob段長度分別為la和lb，則l＝la＋lb，兩部分繩子與豎直方向夾角分別為α和β，受力分析如圖所示.繩子中各部分張力相等，FTa＝FTb＝FT，則α＝β.對O點受力分析可得2FTcos α＝mg，d＝lasin α＋lbsin β＝lsin α，即sin α＝dl，FT＝mg2cos α，當繩右端上移或兩端高度差減小時，d和l均不變，則sin α為定值，α為定值，cos α為定值，繩子的拉力保持不變，故A正確，C錯誤；將桿N向右移一些，d增大，則sin α增大，cos α減小，繩子的拉力增大，故B正確；若換掛質量更大的衣服，d和l均不變，繩中拉力增大，但衣架懸掛點的位置不變，故D錯誤.

11.(2016·全國卷Ⅲ·17)如圖10，兩個輕環a和b套在位于豎直面內的一段固定圓弧上；一細線穿過兩輕環，其兩端各系一質量為m的小球.在a和b之間的細線上懸掛一小物塊.平衡時，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計所有摩擦.小物塊的質量為(　　)

圖10
A.m2 B.32m C.m D.2m
答案　C
解析　如圖所示，圓弧的圓心為O，懸掛小物塊的點為c，

由于ab＝R，則△aOb為等邊三角形，同一條細線上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，則Oc為角平分線，由幾何關系知，∠acb＝120°，故線的拉力的合力與物塊的重力大小相等，即每條細線上的拉力FT＝G＝mg，所以小物塊質量為m，故C對.
12.如圖11所示，質量為m的物體置于傾角為θ的固定斜面上，物體與斜面之間的動摩擦因數為μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物體上使其能沿斜面勻速上滑，若改用水平推力F2作用于物體上，也能使物體沿斜面勻速上滑，則兩次的推力之比F1F2為多少？

圖11
答案　cos θ－μsin θ
解析　物體在力F1作用下和力F2作用下運動時的受力如圖所示

將重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，
由平衡條件可得：F1＝mgsin θ＋Ff1，
FN1＝mgcos θ，
Ff1＝μFN1，
F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2，
FN2＝mgcos θ＋F2sin θ，
Ff2＝μFN2，
解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，
F2＝mgsin θ＋μmgcos θcos θ－μsin θ，
故F1F2＝cos θ－μsin θ.

13.一重為G的圓柱體工件放在V形槽中，槽頂角α＝60°，槽的兩側面與水平方向的夾角相同，槽與工件接觸處的動摩擦因數處處相同，大小為μ＝0.25，則：

圖12
(1)要沿圓柱體的軸線方向(如圖12甲所示)水平地把工件從槽中拉出來，人至少要施加多大的拉力？
(2)現把整個裝置傾斜，使圓柱體的軸線與水平方向成37°角，如圖乙所示，且保證圓柱體對V形槽兩側面的壓力大小相等，發現圓柱體能自動沿槽下滑，求此時工件所受槽的摩擦力大小.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)0.5G　(2)0.4G
解析　(1)分析圓柱體的受力可知，沿軸線方向受到拉力F、兩個側面對圓柱體的滑動摩擦力
由題給條件知F＝2Ff，由圓柱體重力產生的效果將重力進行分解，如圖所示：

由平衡條件可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1得F＝0.5G.
(2)把整個裝置傾斜，則重力沿壓緊兩側的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G，
此時工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.

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