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專題強(qiáng)化四　動態(tài)平衡問題　平衡中的臨界、極值問題
目標(biāo)要求 　1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題.2.會分析平衡中的臨界與極值問題.
題型一　動態(tài)平衡問題
1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).
2.常用方法
(1)解析法
對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變量的函數(shù)表達(dá)式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.
(2)圖解法
此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.一般按照以下流程分析：
受力分析―――――――→化“動”為“靜”畫不同狀態(tài)下的平衡圖――――――→“靜”中求“動”確定力的變化
(3)相似三角形法
在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解(構(gòu)建三角形時可能需要畫輔助線).

圖解法

例1 　(多選)如圖1所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中(　　)

圖1
A.斜面對球的支持力逐漸增大
B.斜面對球的支持力逐漸減小
C.擋板對小球的彈力先減小后增大
D.擋板對小球的彈力先增大后減小
答案　BC
解析　對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.


解析法

例2 　(2020·廣東中山市月考)如圖2，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設(shè)墻面對球的壓力大小為FN1，木板對球的壓力大小為FN2.以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置.不計一切摩擦，在此過程中(　　)

圖2
A.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小
B.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大
C.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小
D.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大
答案　C
解析　以小球為研究對象，分析受力情況，受重力G、墻面的支持力FN1和木板的支持力FN2.

根據(jù)平衡條件得FN1＝Gtan θ，F(xiàn)N2＝Gsin θ，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置的過程中，θ增大，tan θ增大，sin θ增大，則FN1和FN2都始終減小，選項C正確.


相似三角形法

例3 　(2020·山西大同市開學(xué)考試)如圖3所示，AC是上端帶光滑輕質(zhì)定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重力為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪，用力F拉繩，開始時∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°.此過程中，輕桿BC所受的力(　　)

圖3
A.逐漸減小 B.逐漸增大
C.大小不變 D.先減小后增大
答案　C
解析　以結(jié)點B為研究對象，分析受力情況，如圖所示，根據(jù)平衡條件可知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反.根據(jù)相似三角形得F合FN＝ACBC，且F合＝G，則有FN＝BCACG，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，即FN不變，則輕桿BC所受的力大小不變，C正確，A、B、D錯誤.


1.(單個物體的動態(tài)平衡問題)(多選)(2020·廣東惠州一中質(zhì)檢)如圖4所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是(　　)

圖4
A.F1減小 B.F1增大
C.F2增大 D.F2減小
答案　AD
解析　法一：解析法
以球B為研究對象，受力分析如圖甲所示，可得出F1＝Gtan θ，F(xiàn)2＝Gcos θ，當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，故A、D正確.

法二：圖解法
先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖乙所示的矢量三角形，在θ角減小的過程中，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都減小，故A、D正確.
2.(多個物體的動態(tài)平衡問題)(多選)(2019·全國卷Ⅰ·19)如圖5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪.一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中(　　)

圖5
A.水平拉力的大小可能保持不變
B.M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
答案　BD
解析　對N進(jìn)行受力分析如圖所示，因為N的重力與水平拉力F的合力和細(xì)繩的拉力FT是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細(xì)繩的拉力也一直增大，選項A錯誤，B正確；M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNg
題型二　平衡中的臨界、極值問題
1.臨界問題
當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：
(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力.
(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.
(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.
2.極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.
3.解題方法
(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.
(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖象)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值).
(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.
例4 　(2020·廣東茂名市測試)如圖6所示，質(zhì)量分別為3m和m的兩個可視為質(zhì)點的小球a、b，中間用一細(xì)線連接，并通過另一細(xì)線將小球a與天花板上的O點相連，為使小球a和小球b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa細(xì)線向右偏離豎直方向的夾角恒為37°，需要對小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度為g，則當(dāng)F的大小達(dá)到最小時，Oa細(xì)線對小球a的拉力大小為(　　)

圖6
A.2.4mg B.3mg
C.3.2mg D.4mg
答案　C
解析　以兩個小球組成的整體為研究對象，作出F在三個方向時整體的受力圖.根據(jù)平衡條件得知F與FT的合力與總重力總是大小相等、方向相反的，由力的合成圖可以知道當(dāng)F與繩子Oa垂直時F有最小值，即圖中2位置，此時Oa細(xì)線對小球a的拉力大小為FT＝4mgcos 37°＝3.2mg，故C正確，A、B、D錯誤.

例5 　如圖7所示，質(zhì)量為m的物體放在一固定斜面上，當(dāng)斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑.對物體施加一大小為F、方向水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當(dāng)斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，求：

圖7
(1)物體與斜面間的動摩擦因數(shù)；
(2)這一臨界角θ0的大小.
答案　(1)33　(2)60°
解析　(1)如圖甲所示，未施加力F時，對物體受力分析，由平衡條件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝33
　　
(2)設(shè)斜面傾角為α，受力情況如圖乙所示，由平衡條件得：
Fcos α＝mgsin α＋Ff′
FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝mgsin α＋μmgcos αcos α－μsin α
當(dāng)cos α－μsin α＝0，即tan α＝3時，F(xiàn)→∞，即“不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行”，此時，臨界角θ0＝α＝60°.
課時精練

1.(2020·河南駐馬店市第一學(xué)期期終)質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上，用水平力F拉著繩的中點O，使OA段繩偏離豎直方向一定角度，如圖1所示.設(shè)繩OA段拉力的大小為FT，若保持O點位置不變，則當(dāng)力F的方向順時針緩慢旋轉(zhuǎn)至豎直方向的過程中(　　)

圖1
A.F先變大后變小，F(xiàn)T逐漸變小
B.F先變大后變小，F(xiàn)T逐漸變大
C.F先變小后變大，F(xiàn)T逐漸變小
D.F先變小后變大，F(xiàn)T逐漸變大
答案　C
解析　對結(jié)點O受力分析如圖所示，當(dāng)保持O點位置不變，則當(dāng)力F的方向順時針緩慢旋轉(zhuǎn)至豎直方向的過程中，由圖可知F先減小后增大，F(xiàn)T一直減小，故選C.

2.(多選)如圖2所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連，B球用長為L的細(xì)繩懸掛于O點，A球固定在O點正下方，當(dāng)小球B平衡時，細(xì)繩所受的拉力為FT1，彈簧的彈力為F1；現(xiàn)把A、B間的彈簧換成原長相同但勁度系數(shù)為k2(k2＞k1)的另一輕彈簧，在其他條件不變的情況下仍使系統(tǒng)平衡，此時細(xì)繩所受的拉力為FT2，彈簧的彈力為F2.則下列關(guān)于FT1與FT2、F1與F2大小的比較，正確的是(　　)

圖2
A.FT1＞FT2 B.FT1＝FT2
C.F1＜F2 D.F1＝F2
答案　BC
解析　以B為研究對象，分析受力情況，如圖所示.由平衡條件可知，彈簧的彈力F和細(xì)繩的拉力FT的合力F合與其重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由三角形相似得mgOA＝FAB＝FTOB.當(dāng)彈簧勁度系數(shù)變大時，彈簧的壓縮量減小，故AB的長度增加，而OB、OA的長度不變，故FT1＝FT2，F(xiàn)2>F1，故A、D錯誤，B、C正確.

3.(多選)(2016·全國卷Ⅰ·19)如圖3，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則(　　)

圖3
A.繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化
B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化
C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化
D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化
答案　BD
解析　由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對a受力分析得，繩的拉力FT′＝mag，所以物塊a受到的繩的拉力保持不變.滑輪兩側(cè)繩的拉力大小相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項錯誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項錯誤；對b進(jìn)行受力分析，如圖所示.由平衡條件得：FTcos β＋Ff＝
Fcos α，F(xiàn)sin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項正確.

4.(2020·安徽黃山市高三期末)如圖4所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環(huán).現(xiàn)將木棒繞其左端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度，則關(guān)于輕繩對M、N兩點的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是(　　)

圖4
A.F1和F2都變大
B.F1變大，F(xiàn)2變小
C.F1和F2都變小
D.F1變小，F(xiàn)2變大
答案　C
解析　由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力相等.木棒繞其左端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環(huán)的合力等于重力，保持不變，所以繩子上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤.
5.(2020·廣東高三模擬)如圖5所示，豎直墻上連有細(xì)繩AB，輕彈簧的一端與B相連，另一端固定在墻上的C點.細(xì)繩BD與彈簧拴接在B點，現(xiàn)給BD一水平向左的拉力F，使彈簧處于伸長狀態(tài)，且AB、CB與墻的夾角均為45°.若保持B點不動，將BD繩繞B點沿順時針方向緩慢轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中BD繩的拉力F的變化情況是(　　)

圖5
A.變小 B.變大
C.先變小后變大 D.先變大后變小
答案　A
解析　要保持B點的位置不變，BD繩順時針轉(zhuǎn)動的角度最大為45°，由于B點的位置不變，因此彈簧的彈力不變，由圖解可知，AB繩的拉力減小，BD繩的拉力也減小，故A正確，B、C、D錯誤.

6.(2020·河南信陽市高三上學(xué)期期末)如圖6所示，足夠長的光滑平板AP與BP用鉸鏈連接，平板AP與水平面成53°角固定不動，平板BP可繞水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的均勻圓柱體O放在兩板間，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度為g.在使BP板由水平位置緩慢轉(zhuǎn)動到豎直位置的過程中，下列說法正確的是(　　)

圖6
A.平板AP受到的壓力先減小后增大
B.平板AP受到的壓力先增大后減小
C.平板BP受到的最小壓力為0.6mg
D.平板BP受到的最大壓力為43mg
答案　D
解析　圓柱體受重力、斜面AP的彈力F1和擋板BP的彈力F2，將F1與F2合成為F＝mg，如圖

圓柱體一直處于平衡狀態(tài)，故F1和F2的合力F一定與重力等值、反向、共線.從圖中可以看出，當(dāng)擋板PB由水平位置緩慢地轉(zhuǎn)向豎直位置的過程中，F(xiàn)1越來越大，F(xiàn)2先變小后變大，選項A、B錯誤；由幾何關(guān)系可知，當(dāng)F2的方向與AP的方向平行(即與F1的方向垂直)時，F(xiàn)2有最小值：F2min＝mgsin 53°＝0.8mg，選項C錯誤；當(dāng)擋板BP豎直時，F(xiàn)2最大，為：F2max＝mg·tan 53°＝43mg，選項D正確.
7.(2020·黑龍江哈爾濱市三中高三模擬)如圖7所示，斜面固定，平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧一端連接物塊A，另一端固定，最初A靜止.在A上施加與斜面成30°角的恒力F，A仍靜止，下列說法正確的是(　　)

圖7
A.A對斜面的壓力一定變小
B.A對斜面的壓力可能不變
C.A對斜面的摩擦力一定變大
D.A對斜面的摩擦力可能變?yōu)榱?br /> 答案　D
解析　設(shè)斜面傾角為θ，對物塊進(jìn)行受力分析，垂直于斜面方向，最初支持力等于mgcos θ，施加恒力F后，支持力等于mgcos θ＋Fsin 30°，支持力一定增大.根據(jù)牛頓第三定律，A對斜面的壓力一定變大，故A、B錯誤；平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧，最初摩擦力方向可能向上，可能向下，也可能為0，施加恒力F后，F(xiàn)沿斜面向上的分力為Fcos 30°，由于F大小未知，摩擦力可能仍向上，可能等于0，也可能沿斜面向下，摩擦力的大小可能增大，也可能減小，故C錯誤，D正確.

8.(多選)如圖8所示，傾角為α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物體a放在斜劈的斜面上，輕質(zhì)細(xì)線一端固定在物體a上，另一端繞過光滑的定滑輪1固定在c點，滑輪2下懸掛物體b，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若將固定點c向右移動少許，而物體a與斜劈始終靜止，則(　　)

圖8
A.細(xì)線對物體a的拉力增大
B.斜劈對地面的壓力減小
C.斜劈對物體a的摩擦力減小
D.地面對斜劈的摩擦力增大
答案　AD
解析　對滑輪2和物體b受力分析，受重力和兩個拉力作用，如圖甲所示.根據(jù)平衡條件有mbg＝2FTcos θ，解得FT＝mbg2cos θ，若將固定點c向右移動少許，則θ增大，拉力FT增大，A項正確；對斜劈、物體a、物體b整體受力分析，受重力、細(xì)線的拉力、地面的靜摩擦力和支持力作用，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件有FN＝G總－FTcos θ＝G總－mbg2，恒定不變，根據(jù)牛頓第三定律可知，斜劈對地面的壓力不變，B項錯誤；地面對斜劈的靜摩擦力Ff＝FTsin θ＝mbg2tan θ，隨著θ的增大，摩擦力增大，D項正確；對物體a受力分析，受重力、支持力、拉力和靜摩擦力作用，由于不知道拉力與重力沿斜面向下的分力的大小關(guān)系，故無法判斷斜劈對物體a的靜摩擦力的方向，即不能判斷靜摩擦力的變化情況，C項錯誤.

9.(多選)(2019·河北唐山一中綜合測試)如圖9所示，帶有光滑豎直桿的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球與套在豎直桿上的小滑塊用輕繩連接，開始時輕繩與斜劈平行.現(xiàn)給小滑塊施加一豎直向上的拉力，使小滑塊沿桿緩慢上升，整個過程中小球始終未脫離斜劈，則有(　　)

圖9
A.輕繩對小球的拉力逐漸增大
B.小球?qū)π迸膲毫ο葴p小后增大
C.豎直桿對小滑塊的彈力先增大后減小
D.對小滑塊施加的豎直向上的拉力逐漸增大
答案　AD
解析　對小球受力分析，受重力、支持力和輕繩的拉力，如圖甲所示：

根據(jù)平衡條件，輕繩的拉力FT增大，支持力FN減小，根據(jù)牛頓第三定律，球?qū)π迸膲毫σ矞p小，A正確，B錯誤；對球和滑塊整體分析，受重力、斜劈的支持力FN、桿的支持力FN′和拉力F，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件，有：水平方向FN′＝FNsin θ，豎直方向：F＋FNcos θ＝G，由于FN減小，故FN′減小，F(xiàn)增大，C錯誤，D正確.
10.(多選)如圖10所示裝置，兩根細(xì)繩拴住一小球，保持兩細(xì)繩間的夾角θ＝120°不變，若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動過程中，CA繩的拉力F1、CB繩的拉力F2的大小變化情況是(　　)

圖10
A.F1先變小后變大 B.F1先變大后變小
C.F2一直變小 D.F2最終變?yōu)榱?br /> 答案　BCD
解析　如圖所示，畫出小球的受力分析圖，構(gòu)建力的矢量三角形，由于這個三角形中重力不變，另兩個力間的夾角(180°－θ)保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系，作初始三角形的外接圓(任意兩邊的中垂線交點即外接圓圓心)，然后讓另兩個力的交點在圓周上按F1、F2的方向變化規(guī)律滑動，力的矢量三角形的外接圓正好是以初態(tài)時的F2為直徑的圓周，知F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小，最終CA沿豎直方向，此時F1＝mg，F(xiàn)2變?yōu)榱悖蔬xB、C、D.

11.傾角為θ＝37°的斜面與水平面保持靜止，斜面上有一重為G的物體A，物體A與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.現(xiàn)給A施加一水平力F，如圖11所示.設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物體A能在斜面上靜止，水平推力F與G的比值不可能是(　　)

圖11
A.3 B.2
C.1 D.0.5
答案　A
解析　設(shè)物體剛好不下滑時F＝F1，則F1cos θ＋μFN＝Gsin θ，F(xiàn)N＝F1sin θ＋Gcos θ，得F1G＝sin θ－μcos θcos θ＋μsin θ＝211；設(shè)物體剛好不上滑時F＝F2，則F2cos θ＝μFN＋Gsin θ，F(xiàn)N＝F2sin θ＋Gcos θ，得F2G＝sin θ＋μcos θcos θ－μsin θ＝2，即211≤FG≤2，故F與G的比值不可能為3，故選A.
12.(2020·山西“六校”高三聯(lián)考)跨過定滑輪的輕繩兩端分別系著物體A和物體B，物體A放在傾角為θ的斜面上，與A相連的輕繩和斜面平行，如圖12所示.已知物體A的質(zhì)量為m，物體A與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ(μ
圖12
答案　m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ)
解析　先選物體B為研究對象，它受到重力mBg和拉力FT′的作用，根據(jù)平衡條件有FT′＝mBg，再選物體A為研究對象，它受到重力mg、斜面的支持力FN、輕繩的拉力FT(FT＝FT′)和斜面的摩擦力作用，假設(shè)物體A處于將要上滑的臨界狀態(tài)，則物體A受到的靜摩擦力最大，且方向沿斜面向下，這時A的受力情況如圖所示.根據(jù)平衡條件有FN－mgcos θ＝0，F(xiàn)T＝Ffm＋mgsin θ＝mBg，又知Ffm＝μFN，解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)，再假設(shè)物體A處于將要下滑的臨界狀態(tài)，則物體A受到的靜摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根據(jù)平衡條件有FN－mgcos θ＝0，F(xiàn)T＋Ffm－mgsin θ＝0，又知Ffm＝μFN，解得mB＝m(sin θ－μcos θ)，綜上所述，物體B的質(zhì)量的取值范圍是m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ).

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