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專題強化五　動力學中的連接體問題和臨界極值問題
目標要求 　1.知道連接體的類型以及運動特點，會用整體法、隔離法解決連接體問題.2.理解幾種常見的臨界極值條件.3.會用極限法、假設法、數學方法解決臨界極值問題.
題型一　動力學中的連接體問題
1.連接體
多個相互關聯的物體連接(疊放、并排或由繩子、細桿聯系)在一起構成的物體系統稱為連接體.連接體一般具有相同的運動情況(速度、加速度).
2.常見連接體的類型
(1)同速連接體(如圖1)



圖1
特點：兩物體通過彈力、摩擦力作用，具有相同速度和相同加速度.
處理方法：用整體法求出a與F合的關系，用隔離法求出F內力與a的關系.
(2)關聯速度連接體(如圖2)

圖2
特點：兩連接物體的速度、加速度大小相等，方向不同，但有所關聯.
處理方法：分別對兩物體隔離分析，應用牛頓第二定律進行求解.


同速連接體

例1 　(2020·江蘇卷·5)中歐班列在歐亞大陸開辟了“生命之路”，為國際抗疫貢獻了中國力量.某運送防疫物資的班列由40節質量相等的車廂組成，在車頭牽引下，列車沿平直軌道勻加速行駛時，第2節對第3節車廂的牽引力為F.若每節車廂所受摩擦力、空氣阻力均相等，則倒數第3節對倒數第2節車廂的牽引力為(　　)
A.F B.19F20 C.F19 D.F20
答案　C
解析　設列車的加速度為a，每節車廂的質量為m，每節車廂受到的阻力為Ff，對后38節車廂，由牛頓第二定律有F－38Ff＝38ma；設倒數第3節車廂對倒數第2節車廂的牽引力為F1，對后2節車廂，由牛頓第二定律得F1－2Ff＝2ma，聯立解得F1＝F19，故選項C正確.
關聯速度連接體

例2 　(多選)物塊B放在光滑的水平桌面上，其上放置物塊A，物塊A、C通過細繩相連，細繩跨過定滑輪，如圖3所示，物塊A、B、C質量均為m，現釋放物塊C，A和B一起以相同加速度加速運動，不計細繩與滑輪之間的摩擦力，重力加速度大小為g，則細線中的拉力大小及A、B間的摩擦力大小分別為(　　)

圖3
A.FT＝mg B.FT＝23mg
C.Ff＝23mg D.Ff＝13mg
答案　BD
解析　以C為研究對象，由牛頓第二定律得mg－FT＝ma；以A、B為研究對象，由牛頓第二定律得FT＝2ma，聯立解得FT＝23mg，a＝13g，以B為研究對象，由牛頓第二定律得Ff＝ma，得Ff＝13mg，故選B、D.



1.(同速連接體)(多選)(2020·湖北黃岡中學模擬)如圖4所示，材料相同的物體m1、m2由輕繩連接，在恒定拉力F的作用下沿斜面向上加速運動.輕繩拉力的大小(　　)

圖4
A.與斜面的傾角θ有關
B.與物體和斜面之間的動摩擦因數μ有關
C.與兩物體的質量m1和m2有關
D.若改用F沿斜面向下拉連接體，輕繩拉力的大小與θ，μ無關
答案　CD
解析　對整體受力分析有F－(m1＋m2)gsin θ－μ(m1＋m2)gcos θ＝(m1＋m2)a，對m2有FT－m2gsin θ－μm2gcos θ＝m2a，解得FT＝m2m1＋m2F，與μ和θ無關，與兩物體的質量m1和m2有關，故A、B錯誤，C正確；若改用F沿斜面向下拉連接體，同理可得FT＝m1m1＋m2F，故D正確.
2.(同速連接體)(多選)如圖5所示，傾角為θ的斜面體放在粗糙的水平地面上，現有一帶固定支架的滑塊m正沿斜面加速下滑.支架上用細線懸掛的小球達到穩定(與滑塊相對靜止)后，懸線的方向與豎直方向的夾角也為θ，斜面體始終保持靜止，則下列說法正確的是(　　)

圖5
A.斜面光滑
B.斜面粗糙
C.達到穩定狀態后，地面對斜面體的摩擦力水平向左
D.達到穩定狀態后，地面對斜面體的摩擦力水平向右
答案　AC
解析　隔離小球，可知穩定后小球的加速度方向沿斜面向下，大小為gsin θ，小球穩定后，支架系統的加速度與小球的加速度相同，對支架系統進行分析，只有斜面光滑，支架系統的加速度才是gsin θ，A正確，B錯誤.隔離斜面體，斜面體受到的力有自身重力、地面的支持力、支架系統對它垂直斜面向下的壓力，因斜面體始終保持靜止，則斜面體還應受到地面對它水平向左的摩擦力，C正確，D錯誤.
題型二　動力學中的臨界和極值問題
1.常見的臨界條件
(1)兩物體脫離的臨界條件：FN＝0.
(2)相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值.
(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件：繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力；繩子松弛的臨界條件是FT＝0.
(4)最終速度(收尾速度)的臨界條件：物體所受合外力(加速度)為零.
2.解題基本思路
(1)認真審題，詳細分析問題中變化的過程(包括分析整個過程中有幾個階段)；
(2)尋找過程中變化的物理量；
(3)探索物理量的變化規律；
(4)確定臨界狀態，分析臨界條件，找出臨界關系.
3.解題方法
極限法 把物理問題(或過程)推向極端，從而使臨界現象(或狀態)暴露出來，以達到正確解決問題的目的
假設法 臨界問題存在多種可能，特別是非此即彼兩種可能時，或變化過程中可能出現臨界條件，也可能不出現臨界條件時，往往用假設法解決問題
數學法 將物理過程轉化為數學表達式，根據數學表達式解出臨界條件

脫離的臨界問題

例3 　(2019·江西宜春市期末)如圖6所示，一彈簧一端固定在傾角為θ＝37°的足夠長的光滑固定斜面的底端，另一端拴住質量為m1＝6 kg的物體P，Q為一質量為m2＝10 kg的物體，彈簧的質量不計，勁度系數k＝600 N/m，系統處于靜止狀態.現給物體Q施加一個方向沿斜面向上的力F，使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運動，已知在前0.2 s時間內，F為變力，0.2 s以后F為恒力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：

圖6
(1)系統處于靜止狀態時，彈簧的壓縮量x0；
(2)物體Q從靜止開始沿斜面向上做勻加速運動的加速度大小a；
(3)力F的最大值與最小值.
答案　(1)0.16 m　(2)103 m/s2　(3)2803 N　1603 N
解析　(1)設開始時彈簧的壓縮量為x0，
對整體受力分析，平行斜面方向有(m1＋m2)gsin θ＝kx0
解得x0＝0.16 m.
(2)前0.2 s時間內F為變力，之后為恒力，則0.2 s時刻兩物體分離，此時P、Q之間的彈力為零且加速度大小相等，設此時彈簧的壓縮量為x1，
對物體P，由牛頓第二定律得：
kx1－m1gsin θ＝m1a
前0.2 s時間內兩物體的位移：
x0－x1＝12at2
聯立解得a＝103 m/s2.
(3)對兩物體受力分析知，開始運動時F最小，分離時F最大，則
Fmin＝(m1＋m2)a＝1603 N
對Q應用牛頓第二定律得
Fmax－m2gsin θ＝m2a
解得Fmax＝2803 N.

相對滑動的臨界問題

例4 　(多選)如圖7所示，A、B兩物塊的質量分別為2m和m，靜止疊放在水平地面上.A、B間的動摩擦因數為μ，B與地面間的動摩擦因數為12μ.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g.現對A施加一水平拉力F，則(　　)

圖7
A.當F<2μmg時，A、B都相對地面靜止
B.當F＝52μmg時，A的加速度為13μg
C.當F>3μmg時，A相對B滑動
D.無論F為何值，B的加速度不會超過12μg
答案　BCD
解析　當03μmg時，A相對B向右做加速運動，B相對地面也向右加速，選項A錯誤，選項C正確.當F＝52μmg時，A與B共同的加速度a＝F－32μmg3m＝
13μg，選項B正確.F較大時，取物塊B為研究對象，物塊B的加速度最大為a2＝2μmg－32μmgm＝12μg，選項D正確.

3.(脫離的臨界問題)如圖8所示，質量m＝2 kg的小球用細繩拴在傾角θ＝37°的光滑斜面上，此時，細繩平行于斜面.取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).下列說法正確的是(　　)

圖8
A.當斜面以5 m/s2的加速度向右加速運動時，繩子拉力大小為20 N
B.當斜面以5 m/s2的加速度向右加速運動時，繩子拉力大小為30 N
C.當斜面以20 m/s2的加速度向右加速運動時，繩子拉力大小為40 N
D.當斜面以20 m/s2的加速度向右加速運動時，繩子拉力大小為60 N
答案　A
解析　小球剛好離開斜面時的臨界條件是斜面對小球的彈力恰好為零，斜面對小球的彈力恰好為零時，設繩子的拉力為F，斜面的加速度為a0，以小球為研究對象，根據牛頓第二定律有Fcos θ＝ma0，Fsin θ－mg＝0，代入數據解得a0≈13.3 m/s2.
①由于a1＝5 m/s2 ②由于a2＝20 m/s2>a0，可見小球離開了斜面，此時小球的受力情況如圖乙所示，設繩子與水平方向的夾角為α，以小球為研究對象，根據牛頓第二定律有F2cos α＝ma2，F2sin α－mg＝0，代入數據解得F2＝205 N，選項C、D錯誤.

4.(極值問題)如圖9甲所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ＝30°時，可視為質點的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑.如圖乙，若讓該小物塊從木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上運動，隨著θ的改變，小物塊沿木板向上滑行的距離x將發生變化，重力加速度g取10 m/s2.

圖9
(1)求小物塊與木板間的動摩擦因數；
(2)當θ角滿足什么條件時，小物塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值.
答案　(1)33　(2)θ＝60°　532 m
解析　(1)當θ＝30°時，小物塊恰好能沿著木板勻速下滑，則mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcos θ
聯立解得：μ＝33.
(2)當θ變化時，設沿斜面向上為正方向，物塊的加速度為a，則－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，
由0－v02＝2ax得x＝v022g(sin θ＋μcos θ)，
令cos α＝11＋μ2，sin α＝μ1＋μ2，
即tan α＝μ＝33，
故α＝30°，
又因x＝v022g1＋μ2sin (θ＋α)
當α＋θ＝90°時x最小，即θ＝60°，
所以x最小值為xmin＝v022g(sin 60°＋μcos 60°)
＝3v024g＝532 m.

課時精練

1.(多選)(2020·貴州貴陽市摸底)如圖1所示，水平地面上有三個靠在一起的物塊A、B和C，質量均為m，設它們與地面間的動摩擦因數均為μ，用水平向右的恒力F推物塊A，使三個物塊一起向右做勻加速直線運動，用F1、F2分別表示A與B、B與C之間相互作用力的大小，則下列判斷正確的是(　　)

圖1
A.若μ≠0，則F1∶F2＝2∶1
B.若μ≠0，則F1∶F2＝3∶1
C.若μ＝0，則F1∶F2＝2∶1
D.若μ＝0，則F1∶F2＝3∶1
答案　AC
解析　三物塊一起向右做勻加速直線運動，設加速度為a，若μ＝0，分別對物塊B、C組成的系統和物塊C應用牛頓第二定律有F1＝2ma，F2＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，C項正確，D項錯誤；若μ≠0，分別對物塊B、C組成的系統和物塊C應用牛頓第二定律有F1－2μmg＝2ma，F2－μmg＝ma，易得F1∶F2＝2∶1，A項正確，B項錯誤.
2.(多選)如圖2所示，在粗糙的水平面上，質量分別為m和M的物塊A、B用輕彈簧相連，兩物塊與水平面間的動摩擦因數均為μ，當用水平力F作用于B上且兩物塊共同向右以加速度a1勻加速運動時，彈簧的伸長量為x1；當用同樣大小的恒力F沿著傾角為θ的光滑斜面方向作用于B上且兩物塊共同以加速度a2勻加速沿斜面向上運動時，彈簧的伸長量為x2，則下列說法正確的是(　　)

圖2
A.若m>M，有x1＝x2 B.若m C.若μ>sin θ，有x1>x2 D.若μ 答案　AB
解析　在水平面上滑動時，對整體，根據牛頓第二定律，有
F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1①
隔離物塊A，根據牛頓第二定律有
FT－μmg＝ma1②
聯立①②解得FT＝Fmm＋M③
在斜面上滑動時，對整體，根據牛頓第二定律，有
F－(m＋M)gsin θ＝(m＋M)a2④
隔離物塊A，根據牛頓第二定律有
FT′－mgsin θ＝ma2⑤
聯立④⑤解得FT′＝FmM＋m⑥
比較③⑥可知，彈簧彈力相等，即彈簧伸長量相等，與動摩擦因數和斜面的傾角無關，故A、B正確，C、D錯誤.
3.如圖3所示，質量為M、中空為半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽內有一質量為m的小鐵球，現用一水平向右的推力F推動凹槽，小鐵球與光滑凹槽相對靜止時，凹槽圓心和小鐵球的連線與豎直方向成α角.重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)

圖3
A.小鐵球受到的合外力方向水平向左
B.凹槽對小鐵球的支持力為mgsin α
C.系統的加速度為a＝gtan α
D.推力F＝Mgtan α
答案　C
解析　根據小鐵球與光滑凹槽相對靜止可知，系統有向右的加速度a＝gtan α，小鐵球受到的合外力方向水平向右，凹槽對小鐵球的支持力為mgcos α，推力F＝(M＋m)gtan α，選項A、B、D錯誤，C正確.
4.如圖4所示，質量為1 kg的木塊A與質量為2 kg的木塊B疊放在水平地面上，A、B間的最大靜摩擦力為2 N，B與地面間的動摩擦因數為0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.用水平力F作用于B，則A、B保持相對靜止的條件是(g取10 m/s2)(　　)

圖4
A.F≤12 N B.F≤10 N
C.F≤9 N D.F≤6 N
答案　A
解析　當A、B間有最大靜摩擦力(2 N)時，對A由牛頓第二定律知，加速度為2 m/s2，對A、B整體應用牛頓第二定律有：F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，解得F＝12 N，則A、B保持相對靜止的條件是F≤12 N，A正確，B、C、D錯誤.
5.(多選)(2019·河北保定市一模)如圖5所示，一質量為M＝3 kg、傾角為α＝45°的斜面體放在光滑水平地面上，斜面體上有一質量為m＝1 kg的光滑楔形物體.用一水平向左的恒力F作用在斜面體上，系統恰好保持相對靜止地向左運動.重力加速度為g＝10 m/s2，下列判斷正確的是(　　)

圖5
A.系統做勻速直線運動
B.F＝40 N
C.斜面體對楔形物體的作用力大小為52 N
D.增大力F，楔形物體將相對斜面體沿斜面向上運動
答案　BD
解析　對整體受力分析如圖甲所示，由牛頓第二定律有F＝(M＋m)a，對楔形物體受力分析如圖乙所示，

由牛頓第二定律有mgtan 45°＝ma，可得F＝40 N，a＝10 m/s2，A錯誤，B正確；斜面體對楔形物體的作用力FN2＝mgsin 45°＝2mg＝102 N，C錯誤；外力F增大，則斜面體加速度增加，楔形物體不能獲得那么大的加速度，將會相對斜面體沿斜面上滑，D正確.

6.(2020·安徽合肥市模擬)如圖6所示，鋼鐵構件A、B疊放在卡車的水平底板上，卡車底板與B間的動摩擦因數均為μ1，A、B間動摩擦因數為μ2，μ1>μ2，卡車剎車的最大加速度為a(a>μ2g)，可以認為最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，卡車沿平直公路行駛途中遇到緊急剎車情況時，要求其剎車后在s0距離內能安全停下，則卡車行駛的速度不能超過(　　)

圖6
A.2as0 B.2μ1gs0
C.2μ2gs0 D.(μ1＋μ2)gs0
答案　C
解析　若卡車以最大加速度剎車，則由于a>μ2g，A、B之間發生相對滑動，故不能以最大加速度剎車，由于剎車過程中要求A、B和車相對靜止，當A、B整體相對車發生滑動時，a1＝μ1(mA＋mB)gmA＋mB＝μ1g，當A、B間發生相對滑動時，a2＝μ2mAgmA＝μ2g，由于μ1>μ2，所以a1>a2，即當以a1剎車時，A、B間發生相對滑動，所以要求整體都處于相對靜止時，汽車剎車的最大加速度為a2，v02＝2μ2gs0，解得v0＝2μ2gs0，C項正確.
7.(多選)(2019·廣東湛江市第二次模擬)如圖7所示，a、b、c為三個質量均為m的物塊，物塊a、b通過水平輕繩相連后放在水平面上，物塊c放在b上.現用水平拉力作用于a，使三個物塊一起水平向右勻速運動.各接觸面間的動摩擦因數均為μ，重力加速度大小為g.下列說法正確的是(　　)

圖7
A.該水平拉力大于輕繩的彈力
B.物塊c受到的摩擦力大小為μmg
C.當該水平拉力增大為原來的1.5倍時，物塊c受到的摩擦力大小為0.5μmg
D.剪斷輕繩后，在物塊b向右運動的過程中，物塊c受到的摩擦力大小為μmg
答案　ACD
解析　三物塊一起做勻速直線運動，由平衡條件，對a、b、c系統：F＝3μmg，對b、c系統：FT＝2μmg，則：F＞FT，即水平拉力大于輕繩的彈力，故A正確；c做勻速直線運動，處于平衡狀態，則c不受摩擦力，故B錯誤；當水平拉力增大為原來的1.5倍時，F′＝1.5F＝4.5μmg，由牛頓第二定律，對a、b、c系統：F′－3μmg＝3ma，對c：Ff＝ma，解得：Ff＝0.5μmg，故C正確；剪斷輕繩后，b、c一起做勻減速直線運動，由牛頓第二定律，對b、c系統：2μmg＝2ma′，對c：Ff′＝ma′，解得：Ff′＝μmg，故D正確.
8.(多選)(2020·湖北荊州市高三上學期質量檢測)如圖8所示，傾角為30°的光滑斜面上放一質量為m的盒子A，A盒用輕質細繩跨過光滑輕質定滑輪與B盒相連，A盒與定滑輪間的細繩與斜面平行，B盒內放一質量為m2的物體.如果把這個物體改放在A盒內，則B盒加速度恰好與原來等值反向，重力加速度大小為g，則B盒的質量mB和系統的加速度a的大小分別為(　　)

圖8
A.mB＝m4 B.mB＝3m8
C.a＝0.2g D.a＝0.4g
答案　BC
解析　當物體放在B盒中時，以A、B和B盒內的物體整體為研究對象，根據牛頓第二定律有
(mBg＋12mg)－mgsin 30°＝(m＋mB＋12m)a
當物體放在A盒中時，以A、B和A盒內的物體整體為研究對象，根據牛頓第二定律有
(m＋12m)gsin 30°－mBg＝(m＋mB＋12m)a
聯立解得mB＝3m8
加速度大小為a＝0.2g
故A、D錯誤、B、C正確.
9.(2019·廣東汕頭市模擬)如圖9所示，載貨車廂通過懸臂固定在纜繩上，纜繩與水平方向夾角為θ，當纜繩帶動車廂以加速度a勻加速向上運動時，貨物在車廂中與車廂相對靜止，則貨物與車廂的動摩擦因數至少為(懸臂豎直，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g)(　　)

圖9
A.asin θg＋acos θ B.acos θg＋asin θ
C.asin θg－acos θ D.acos θg－asin θ
答案　B
解析　把加速度沿水平方向和豎直方向進行分解，對貨物進行受力分析有FN－mg＝masin θ，Ff＝macos θ≤μFN，聯立得出μ≥acos θg＋asin θ，B正確.


10.(2019·廣東深圳市模擬)如圖10所示，兩個質量均為m的相同的物塊疊放在一個輕彈簧上面，處于靜止狀態.彈簧的下端固定于地面上，彈簧的勁度系數為k.t＝0時刻，給A物塊一個豎直向上的作用力F，使得兩物塊以0.5g的加速度勻加速上升，下列說法正確的是(　　)

圖10
A.A、B分離前合外力大小與時間的平方t2成線性關系
B.分離時彈簧處于原長狀態
C.在t＝2mk時刻A、B分離
D.分離時B的速度大小為m4kg
答案　C
解析　A、B分離前兩物塊做勻加速運動，合外力不變，選項A錯誤；開始時彈簧的壓縮量為x1，則2mg＝kx1；當兩物塊分離時，加速度相同且兩物塊之間的彈力為零，對物體B，有kx2－mg＝ma，且x1－x2＝12at2，解得x1＝2mgk，x2＝3mg2k，t＝2mk，此時彈簧仍處于壓縮狀態，選項B錯誤，C正確；分離時B的速度大小為v＝at＝12g·2mk＝m2kg，選項D錯誤.

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