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第3講　圓周運(yùn)動(dòng)的描述　圓錐擺模型
目標(biāo)要求 　1.熟練掌握描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間的關(guān)系.2.掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)由周期性引起的多解問題的分析方法.3.會(huì)分析圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，掌握圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題的分析方法，掌握圓錐擺模型.
考點(diǎn)一　描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
基礎(chǔ)回扣
1.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
定義、意義 公式、單位
線速度(v) ①描述圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量
②是矢量，方向和半徑垂直，和圓周相切 ①v＝ΔsΔt(定義式)＝2πrT(與周期的關(guān)系)
②單位：m/s
角速度(ω) ①描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量
②是矢量，但不研究其方向 ①ω＝ΔθΔt(定義式)＝2πT(與周期的關(guān)系)
②單位：rad/s
③ω與v的關(guān)系：v＝ωr
周期(T)
轉(zhuǎn)速(n)
頻率(f) ①周期是物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間，周期的倒數(shù)為頻率
②轉(zhuǎn)速是單位時(shí)間內(nèi)物體轉(zhuǎn)過的圈數(shù) ①T＝2πrv＝1f(與頻率的關(guān)系)
②T的單位：s
n的單位：r/s、r/min
f的單位：Hz
向心加速度(an) ①描述線速度方向變化快慢的物理量
②方向指向圓心 ①an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝ωv
②單位：m/s2

2.勻速圓周運(yùn)動(dòng)
(1)定義：如果物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，并且線速度的大小處處相等，所做的運(yùn)動(dòng)就是勻速圓周運(yùn)動(dòng).
(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動(dòng).
(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心.
技巧點(diǎn)撥
1.對an＝v2r＝ω2r的理解
在v一定時(shí)，an與r成反比；在ω一定時(shí)，an與r成正比.
2.常見的傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
(1)皮帶傳動(dòng)：如圖1甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.

圖1
(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖2甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.

圖2
(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖3甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比.

圖3
描述圓周運(yùn)動(dòng)物理量的關(guān)系

例1 　A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相同時(shí)間內(nèi)，它們通過的路程之比是4∶3，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比是3∶2，則它們(　　)
A.線速度大小之比為4∶3
B.角速度大小之比為3∶4
C.圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1
D.向心加速度大小之比為1∶2
答案　A
解析　時(shí)間相同，路程之比即線速度大小之比，A項(xiàng)正確；運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比即對應(yīng)掃過的圓心角之比，由于時(shí)間相同，角速度大小之比為3∶2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；路程比除以角度比得半徑之比，為8∶9，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由向心加速度an＝v2r知線速度平方比除以半徑比即向心加速度大小之比，為2∶1，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題

例2 　(2020·湖南長沙市雅禮中學(xué)高三月考)如圖4所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過圓心O水平向右為x軸的正方向.在圓心O正上方距盤面高為h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器，從t＝0時(shí)刻開始該容器從O點(diǎn)正上方隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v.已知容器在t＝0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面上時(shí)再滴一滴水，求：(重力加速度為g)

圖4
(1)每一滴水經(jīng)多長時(shí)間落到盤面上；
(2)要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)為多大；
(3)第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的最大距離x.
答案　(1)2hg　(2)nπg(shù)2h(n＝1,2,3，…)　(3)5v2hg
解析　(1)水滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝12gt2，解得t＝2hg.
(2)分析題意可知，在相鄰兩滴水的下落時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)為nπ(n＝1,2,3，…)，
由ωt＝nπ得
ω＝nπt＝nπg(shù)2h(n＝1,2,3，…).
(3)第二滴水落在圓盤上時(shí)到O點(diǎn)的距離為：
x2＝v·2t＝2v2hg，
第三滴水落在圓盤上時(shí)到O點(diǎn)的距離為：
x3＝v·3t＝3v2hg，
當(dāng)?shù)诙嗡c第三滴水在盤面上的落點(diǎn)位于同一直徑上圓心兩側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)間的距離最大，則：
x＝x2＋x3＝5v2hg.

1.(傳動(dòng)裝置中各物理量的關(guān)系)如圖5所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑之比為4∶1∶16，在用力蹬腳踏板前進(jìn)的過程中，下列說法正確的是(　　)

圖5
A.小齒輪和后輪的角速度大小之比為16∶1
B.大齒輪和小齒輪的角速度大小之比為1∶4
C.大齒輪邊緣和后輪邊緣的線速度大小之比為1∶4
D.大齒輪和小齒輪輪緣的向心加速度大小之比為4∶1
答案　B
解析　小齒輪和后輪是同軸轉(zhuǎn)動(dòng)裝置，角速度大小相等，即ω2＝ω3，大齒輪與小齒輪是皮帶傳動(dòng)裝置，線速度大小相等，即v1＝v2，根據(jù)v＝ωr，得出ω1ω2＝r2r1＝14，v1v3＝v2v3＝r2r3＝116，向心加速度a＝v2r，則a1a2＝r2r1＝14，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.
2.(圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題)(2020·廣東肇慶中學(xué)月考)如圖6所示為一個(gè)半徑為5 m的圓盤，正繞其圓心做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)圓盤邊緣上的一點(diǎn)A處在如圖所示位置的時(shí)候，在其圓心正上方20 m的高度有一個(gè)小球正在向邊緣的A點(diǎn)以一定的速度水平拋出，取g＝10 m/s2，要使得小球正好落在A點(diǎn)，則(　　)

圖6
A.小球平拋的初速度一定是2.5 m/s
B.小球平拋的初速度可能是2.5 m/s
C.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度一定是π rad/s
D.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可能是π rad/s
答案　A
解析　根據(jù)h＝12gt2可得t＝2hg＝2 s，則小球平拋的初速度v0＝Rt＝2.5 m/s，A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω＝2nπt＝nπ(n＝1、2、3、…)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度為a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2(n＝1、2、3、…)，C、D錯(cuò)誤.
考點(diǎn)二　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題
基礎(chǔ)回扣
1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
(1)作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小.
(2)大小
Fn＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝mωv.
(3)方向
始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力.
(4)來源
向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供.
2.離心運(yùn)動(dòng)和近心運(yùn)動(dòng)
(1)離心運(yùn)動(dòng)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng).
(2)受力特點(diǎn)(如圖7)

圖7
①當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出，做勻速直線運(yùn)動(dòng).
②當(dāng)0 ③當(dāng)F>mrω2時(shí)，物體逐漸向圓心靠近，做近心運(yùn)動(dòng).
(3)本質(zhì)：離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是提供的力小于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力.

技巧點(diǎn)撥
1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析
運(yùn)動(dòng)模型 向心力的來源圖示
圓錐擺模型 飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎

火車轉(zhuǎn)彎

圓錐擺

飛車走壁

汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎

水平轉(zhuǎn)臺(光滑)


2.圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題的分析思路


例3 　(多選)公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶.如圖8，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為v0時(shí)，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動(dòng)的趨勢.則在該彎道處(　　)

圖8
A.路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低
B.車速只要低于v0，車輛便會(huì)向內(nèi)側(cè)滑動(dòng)
C.車速雖然高于v0，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會(huì)向外側(cè)滑動(dòng)
D.當(dāng)路面結(jié)冰時(shí)，與未結(jié)冰時(shí)相比，v0的值變小
答案　AC
解析　路面應(yīng)建成外高內(nèi)低，此時(shí)重力和支持力的合力指向內(nèi)側(cè)，可以提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，A正確；車速低于v0，所需的向心力減小，此時(shí)可以產(chǎn)生指向外側(cè)的摩擦力，減小提供的力，車輛不會(huì)向內(nèi)側(cè)滑動(dòng)，B錯(cuò)誤；當(dāng)車速為v0時(shí)，靜摩擦力為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于v0時(shí)，摩擦力指向內(nèi)側(cè)，只要速度不超過最高限度，車輛不會(huì)向外側(cè)滑動(dòng)，C正確；當(dāng)路面結(jié)冰時(shí)，與未結(jié)冰時(shí)相比，由于支持力和重力不變，故v0不變，D錯(cuò)誤.
例4 　(多選)如圖9所示，兩個(gè)圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°，有A、B兩個(gè)質(zhì)量相同的小球在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)

圖9
A.A、B球受到的支持力之比為3∶3
B.A、B球的向心力之比為3∶1
C.A、B球運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3∶1
D.A、B球運(yùn)動(dòng)的線速度之比為1∶1
答案　CD
解析　設(shè)小球受到的支持力為FN，向心力為F，則有FNsin θ＝mg，F(xiàn)NA∶FNB＝3∶1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；F＝mgtan θ，F(xiàn)A∶FB＝3∶1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)軌道高度相同，則半徑R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，選項(xiàng)C正確；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，選項(xiàng)D正確.

3.(圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題)(2020·海南海口一中高三月考)如圖10所示，內(nèi)壁光滑的豎直圓桶，繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一物塊用細(xì)繩系著，繩的另一端系于圓桶上表面圓心，且物塊貼著圓桶內(nèi)表面隨圓桶一起轉(zhuǎn)動(dòng)，則(　　)

圖10
A.繩的張力可能為零
B.桶對物塊的彈力不可能為零
C.隨著轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增大，繩的張力保持不變
D.隨著轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增大，繩的張力一定增大
答案　C
解析　當(dāng)物塊隨圓桶做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩的拉力的豎直分力與物塊的重力保持平衡，因此繩的張力為一定值，且不可能為零，故A、D錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)繩的水平分力提供向心力的時(shí)候，桶對物塊的彈力恰好為零，故B錯(cuò)誤.
4.(圓錐擺模型)如圖11所示，長度不同的兩根輕繩L1與L2，一端分別連接質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)小球，另一端懸于天花板上的同一點(diǎn)O，兩小球質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶2，兩小球在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩L1、L2與豎直方向的夾角分別為30°與60°，下列說法中正確的是(　　)

圖11
A.繩L1、L2的拉力大小之比為1∶3
B.小球m1、m2運(yùn)動(dòng)的向心力大小之比為1∶6
C.小球m1、m2運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比為1∶6
D.小球m1、m2運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為1∶2
答案　B
解析　小球運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面內(nèi)，運(yùn)動(dòng)形式為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在指向軌跡圓圓心方向列向心力表達(dá)式方程，在豎直方向列平衡方程，可得拉力大小FT1＝m1gcos 30°，F(xiàn)T2＝m2gcos 60°，則FT1FT2＝36，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；向心力大小F1＝m1gtan 30°，F(xiàn)2＝m2gtan 60°，則F1F2＝16，B選項(xiàng)正確；a1＝F1m1，a2＝F2m2，則a1a2＝13，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由a＝v2r，因連接兩小球的懸點(diǎn)距兩小球運(yùn)動(dòng)平面的距離相等可知，v1v2＝a1·tan 30°a2·tan 60°＝13，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
5.(火車轉(zhuǎn)彎)(多選)在修筑鐵路時(shí)，彎道處的外軌會(huì)略高于內(nèi)軌.如圖12所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌均不會(huì)受到輪緣的擠壓，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則(　　)

圖12
A.該彎道的半徑r＝v2gtan θ
B.當(dāng)火車質(zhì)量改變時(shí)，規(guī)定的行駛速度大小不變
C.當(dāng)火車速率大于v時(shí)，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D.當(dāng)火車速率大于v時(shí)，外軌將受到輪緣的擠壓
答案　ABD
解析　火車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：mgtan θ＝mv2r，解得：r＝v2gtan θ，故A正確；根據(jù)牛頓第二定律有：mgtan θ＝mv2r，解得：v＝grtan θ，可知火車規(guī)定的行駛速度與火車質(zhì)量無關(guān)，故B正確；當(dāng)火車速率大于v時(shí)，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此時(shí)外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯(cuò)誤，D正確.

物體所受合力不指向圓心，合力產(chǎn)生兩個(gè)效果：
(1)沿半徑方向的分力提供向心力，產(chǎn)生向心加速度an，改變速度的方向；
(2)沿切線方向的分力，產(chǎn)生切向加速度at，改變速度的大小，當(dāng)at與v同向時(shí)，速度增大，做加速圓周運(yùn)動(dòng)，反之，則做減速圓周運(yùn)動(dòng).
例5 　水平轉(zhuǎn)盤上距轉(zhuǎn)軸1.2 m處放置一個(gè)10 kg的物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，物體與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.13.當(dāng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)后，可使物體以0.5 m/s2的切向加速度做加速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少時(shí)間物體和轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對滑動(dòng)？(滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力)
答案　2.4 s
解析　物體做加速圓周運(yùn)動(dòng)，所以靜摩擦力不指向圓心，(如圖)把靜摩擦力分解，

可知Ff1＝ma
Ff2＝mvr2
當(dāng)物體恰好滑動(dòng)時(shí)：(μmg)2＝Ff12＋Ff22
聯(lián)立以上三式，解得v＝1.2 m/s
物體沿圓周做加速運(yùn)動(dòng)，所以t＝va＝2.4 s.
課時(shí)精練

1.(多選)關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說法，正確的是(　　)
A.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體沒有加速度
B.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻都在改變，所以必有加速度
C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向時(shí)刻都在改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速曲線運(yùn)動(dòng)
答案　BD
解析　速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻在改變，速度時(shí)刻發(fā)生變化，必然具有加速度.加速度大小雖然不變，但方向時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng)，故B、D正確，A、C錯(cuò)誤.
2.(2019·山西六校聯(lián)考)如圖1所示，小物塊A與圓盤保持相對靜止，隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)于小物塊A受力情況的說法中正確的是(　　)

圖1
A.受重力、支持力和向心力
B.受重力、支持力和指向圓心的摩擦力
C.受重力、支持力和與運(yùn)動(dòng)方向相反的摩擦力
D.受重力、支持力、指向圓心的摩擦力和指向圓心的向心力
答案　B

3.(多選)如圖2為甲、乙兩球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線.由圖象可以知道(　　)

圖2
A.甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變
B.甲球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變
C.乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度的大小保持不變
D.乙球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度的大小保持不變
答案　AD
解析　由a＝ω2r知，當(dāng)角速度的大小不變時(shí)，a與r成正比，故D正確，C錯(cuò)誤；由a＝v2r知，當(dāng)線速度的大小不變時(shí)，a與r成反比，故A正確，B錯(cuò)誤.
4.(多選)(2020·遼寧丹東市質(zhì)檢)在如圖3所示的齒輪傳動(dòng)中，三個(gè)齒輪的半徑之比為2∶3∶6，當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，關(guān)于小齒輪邊緣的A點(diǎn)和大齒輪邊緣的B點(diǎn)，(　　)

圖3
A.A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶1
B.A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為1∶1
C.A點(diǎn)和B點(diǎn)的角速度之比為3∶1
D.以上三個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)是正確的
答案　AC
解析　題圖中三個(gè)齒輪邊緣線速度大小相等，則A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度大小之比為1∶1，由v＝ωr可知，線速度一定時(shí)，角速度與半徑成反比，則A點(diǎn)和B點(diǎn)角速度之比為3∶1，故A、C正確，B、D錯(cuò)誤.
5.(2018·浙江11月選考·9)如圖4所示，一質(zhì)量為2.0×103 kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104 N，當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80 m的彎道時(shí)，下列判斷正確的是(　　)

圖4
A.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)所需的向心力為1.4×104 N
C.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑
D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0 m/s2
答案　D
解析　汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A錯(cuò)誤；汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)，根據(jù)Fn＝mv2R，得所需的向心力為1.0×104 N，沒有超過最大靜摩擦力，所以汽車不會(huì)發(fā)生側(cè)滑，B、C錯(cuò)誤；汽車安全轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大向心加速度為am＝Ffm＝7.0 m/s2，D正確.
6.未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態(tài)，為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，有人設(shè)想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉(zhuǎn)艙”，如圖5所示.當(dāng)旋轉(zhuǎn)艙繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，宇航員站在旋轉(zhuǎn)艙內(nèi)圓柱形側(cè)壁上，可以受到與他站在地球表面時(shí)相同大小的支持力.為達(dá)到上述目的，下列說法正確的是(　　)

圖5
A.旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度就應(yīng)越大
B.旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度就應(yīng)越小
C.宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越大
D.宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越小
答案　B
解析　根據(jù)向心力的公式man＝mω2r，要想使宇航員在旋轉(zhuǎn)艙內(nèi)受到側(cè)壁的彈力等于站在地球表面受到地面的支持力，旋轉(zhuǎn)艙的向心加速度an應(yīng)等于重力加速度，旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)該越小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；旋轉(zhuǎn)艙的角速度與宇航員的質(zhì)量無關(guān)，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.
7.如圖6所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上.不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說法正確的是(　　)

圖6
A.A的速率比B大
B.A與B的向心加速度大小相等
C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
答案　D
解析　A、B繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即ωA＝ωB，但rA
8.(多選)(2019·天津市南開區(qū)下學(xué)期二模)飛機(jī)飛行時(shí)除受到發(fā)動(dòng)機(jī)的推力和空氣阻力外，還受到重力和機(jī)翼的升力，機(jī)翼的升力垂直于機(jī)翼所在平面向上，當(dāng)飛機(jī)在空中盤旋時(shí)機(jī)翼傾斜(如圖7所示)，以保證重力和機(jī)翼升力的合力提供向心力.設(shè)飛機(jī)以速率v在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)翼與水平面成θ角，飛行周期為T.則下列說法正確的是(　　)

圖7
A.若飛行速率v不變，θ增大，則半徑R增大
B.若飛行速率v不變，θ增大，則周期T增大
C.若θ不變，飛行速率v增大，則半徑R增大
D.若飛行速率v增大，θ增大，則周期T可能不變
答案　CD
解析　對飛機(jī)進(jìn)行受力分析，如圖所示，根據(jù)重力和機(jī)翼升力的合力提供向心力，得mgtan θ＝mv2R＝m4π2T2R，解得：v＝gRtan θ，T＝2πRgtan θ.若飛行速率v不變，θ增大，由v＝gRtan θ知，R減小，則再由T＝2πRgtan θ知，T減小，故A、B錯(cuò)誤；若θ不變，飛行速率v增大，由v＝gRtan θ知，R增大，故C正確；若飛行速率v增大，θ增大，R的變化不能確定，則周期T可能不變，故D正確.


9.如圖8所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球Q，細(xì)線穿過小孔(小孔光滑)另一端連接在金屬塊P上，P始終靜止在水平桌面上，若不計(jì)空氣阻力，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺).實(shí)際上，小球在運(yùn)動(dòng)過程中不可避免地受到空氣阻力作用.設(shè)因阻力作用，小球Q的運(yùn)動(dòng)軌道發(fā)生緩慢的變化(可視為一系列半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)).下列判斷正確的是(　　)

圖8
A.小球Q的位置越來越高
B.細(xì)線的拉力變小
C.小球Q運(yùn)動(dòng)的角速度變大
D.P受到桌面的靜摩擦力變大
答案　B
解析　由于小球受到空氣阻力作用，線速度減小，則所需要的向心力減小，小球做近心運(yùn)動(dòng)，小球的位置越來越低，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為FT，細(xì)線的長度為L，當(dāng)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，如圖所示，則有FT＝mgcos θ，mgtan θ＝mv2Lsin θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝gLcos θ，由于小球受到空氣阻力作用，線速度減小，θ減小，cos θ增大，因此，細(xì)線的拉力FT減小，角速度ω減小，故B項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對金屬塊P，由平衡條件知，P受到桌面的靜摩擦力大小等于細(xì)線的拉力大小，則靜摩擦力變小，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

10.(多選)(2019·四川成都七中5月測試)天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點(diǎn)的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn).一根輕繩穿過P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B(m1≠m2).設(shè)兩球同時(shí)做如圖9所示的圓錐擺運(yùn)動(dòng)，且在任意時(shí)刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則(　　)

圖9
A.兩球運(yùn)動(dòng)的周期相等
B.兩球的向心加速度大小相等
C.球A、B到P的距離之比等于m2∶m1
D.球A、B到P的距離之比等于m1∶m2
答案　AC
解析　對其中一個(gè)小球受力分析，其受到重力和繩的拉力FT，繩的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，設(shè)輕繩與豎直方向的夾角為θ，則有FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，設(shè)該小球到P的距離為l，則有FTsin θ＝mgtan θ＝m4π2T2lsin θ，解得周期為T＝2πl(wèi)cos θg＝2πhg，因?yàn)槿我鈺r(shí)刻兩球均在同一水平面內(nèi)，故兩球運(yùn)動(dòng)的周期相等，選項(xiàng)A正確；連接兩球的繩的張力FT相等，由于向心力為Fn＝FTsin θ＝mω2lsin θ，故m與l成反比，即l1l2＝m2m1，又小球的向心加速度a＝ω2htan θ＝(2πT)2htan θ，故向心加速度大小不相等，選項(xiàng)C正確，B、D錯(cuò)誤.
11.(多選)如圖10所示，直徑為d的豎直圓筒繞中心軸線以恒定的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng).一子彈以水平速度沿圓筒直徑方向從左側(cè)射入圓筒，從右側(cè)射穿圓筒后發(fā)現(xiàn)兩彈孔在同一豎直線上且相距為h，重力加速度為g，則(　　)

圖10
A.子彈在圓筒中的水平速度為v0＝dg2h
B.子彈在圓筒中的水平速度為v0＝2dg2h
C.圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可能為ω＝πg(shù)2h
D.圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可能為ω＝3πg(shù)2h
答案　ACD
解析　子彈在圓筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與自由下落高度h的時(shí)間相同，即t＝2hg，則v0＝dt＝dg2h，故A正確，B錯(cuò)誤；在此段時(shí)間內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為半圈的奇數(shù)倍，即ωt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，所以ω＝(2n＋1)πt＝(2n＋1)πg(shù)2h(n＝0,1,2，…)，故C、D正確.
12.(2019·江蘇宿遷市2月調(diào)研)如圖11所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng).質(zhì)量不同的小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動(dòng)且相對器壁靜止，A、B和球心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角分別為α和β，α>β，則(　　)

圖11
A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量
B.A、B受到的摩擦力可能同時(shí)為零
C.若A不受摩擦力，則B受沿容器壁向上的摩擦力
D.若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
答案　D
解析　當(dāng)B受到的摩擦力恰為零時(shí)，受力分析如圖；根據(jù)牛頓第二定律得：mgtan β＝mωB2Rsin β，解得：ωB＝gRcos β，同理可得：ωA＝gRcos α，物塊轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與物塊的質(zhì)量無關(guān)，所以無法判斷物塊質(zhì)量的大小，故A錯(cuò)誤；由于α>β，所以ωA>ωB，即A、B受到的摩擦力不可能同時(shí)為零，故B錯(cuò)誤；若A不受摩擦力，此時(shí)轉(zhuǎn)臺的角速度為ω＝ωA>ωB，則B物塊有向上的運(yùn)動(dòng)趨勢，所以此時(shí)B受沿容器壁向下的摩擦力，故C錯(cuò)誤；如果轉(zhuǎn)臺的角速度ω>ωA，A和B受沿容器壁向下的摩擦力，如果ω增大，A、B受到的摩擦力都增大，故D正確.


13.如圖12所示，質(zhì)量為m＝1.2 kg的小球P(可以看成質(zhì)點(diǎn))，用兩根輕繩OP和O′P在P點(diǎn)拴結(jié)后再分別系于豎直軸上相距0.3 m的O、O′兩點(diǎn)上，繩OP長0.5 m，繩O′P長0.4 m.

圖12
(1)今在小球上施加一方向與水平方向成θ＝37°角的拉力F，將小球緩慢拉起.當(dāng)繩O′P剛伸直時(shí)，拉力F的大小是多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(2)如果撤去拉力F，使軸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，求兩繩繃緊時(shí)的最小角速度；
(3)如果撤去拉力F，使軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)繩O′P對球的作用力為F′，系統(tǒng)與軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，請寫出F′與角速度ω的關(guān)系式并且作F′－ω2的圖象.
答案　(1)10 N　(2)1033 rad/s　(3)見解析
解析　(1)繩O′P剛拉直時(shí)，設(shè)OP繩拉力為FT1，此時(shí)O′P繩子拉力為零，小球受力如圖甲所示.根據(jù)幾何關(guān)系可得：sin α＝OO′OP，所以有：α＝37°，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：Fcos θ＝FT1cos α，F(xiàn)sin θ＋FT1sin α＝mg，聯(lián)立解得F＝10 N；
(2)如果撤去力F，使軸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度最小對應(yīng)的是O′P繩的拉力為零，合力提供向心力，故：F合＝mgtan 53°＝mω2rO′P，解得：ω＝1033 rad/s；
(3)當(dāng)角速度大于1033 rad/s時(shí)，繩子O′P有拉力，球受重力、兩個(gè)拉力，合力提供向心力.如圖乙所示，豎直方向：FT1′sin 37°＝mg，水平方向：F′＋FT1′cos 37°＝mω2rO′P，聯(lián)立解得：F′＝0.48ω2－16，作F′－ω2的圖象，如圖丙所示.

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