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第2講　人造衛星　宇宙速度
目標要求 　1.會比較衛星運動的各物理量之間的關系.2.理解三種宇宙速度，并會求解第一宇宙速度的大小.3.會分析天體的“追及”問題．
考點一　衛星運行參量的分析
基礎回扣
1．天體(衛星)運行問題分析
將天體或衛星的運動看成勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供．
2．基本公式：
(1)線速度：GMmr2＝mv2r?v＝GMr
(2)角速度：GMmr2＝mω2r?ω＝GMr3
(3)周期：GMmr2＝m2πT2r?T＝2πr3GM
(4)向心加速度：GMmr2＝ma?a＝GMr2
結論：r越大，v、ω、a越小，T越大．
技巧點撥
1．公式中r指軌道半徑，是衛星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.
2．近地衛星和同步衛星
衛星運動的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛星的軌道是赤道軌道．
(1)近地衛星：軌道在地球表面附近的衛星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球衛星的最大運行速度)，T＝85 min(人造地球衛星的最小周期)．
(2)同步衛星
①軌道平面與赤道平面共面．
②周期與地球自轉周期相等，T＝24 h.
③高度固定不變，h＝3.6×107 m.
④運行速率均為v＝3.1×103 m/s.



　　　　　 衛星運行參量與軌道半徑的關系

例1 　(2020·浙江7月選考·7)火星探測任務“天問一號”的標識如圖1所示．若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運動的(　　)

圖1
A．軌道周長之比為2∶3
B．線速度大小之比為3∶2
C．角速度大小之比為22∶33
D．向心加速度大小之比為9∶4
答案　C
解析　軌道周長C＝2πr，與半徑成正比，故軌道周長之比為3∶2，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，得v火v地＝r地r火＝23，故B錯誤；由萬有引力提供向心力有GMmr2＝mω2r，得ω＝GMr3，得ω火ω地＝r地3r火3＝2233，故C正確；由GMmr2＝ma，得a＝GMr2，得a火a地＝r地2r火2＝49，故D錯誤．

　　　　　 同步衛星、近地衛星及赤道上物體的比較

例2 　(2019·青海西寧市三校聯考)如圖2所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛星．下列關于a、b、c的說法中正確的是(　　)

圖2
A．b衛星轉動線速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為aa＞ab＞ac
C．a、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Ta＝Tc D．在b、c中，b的線速度大
答案　D
解析　b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星，根據萬有引力定律有GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，又GMmR2＝mg，可得v＝gR，與第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故A錯誤；地球赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根據a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根據a＝GMr2得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B錯誤；衛星c為地球同步衛星，所以Ta＝Tc，根據T＝2πr3GM得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C錯誤；在b、c中，根據v＝GMr，可知b的線速度比c的線速度大，故D正確．

1.(衛星運行參量的比較)(2020·浙江1月選考·9)如圖3所示，衛星a、b、c沿圓形軌道繞地球運行．a是極地軌道衛星，在地球兩極上空約1 000 km處運行；b是低軌道衛星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛星，則(　　)

圖3
A．a、b的周期比c大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c小
答案　C
解析　根據萬有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma，可知v＝GMr，ω＝GMr3，T＝2πr3GM，a＝GMr2，由此可知，半徑越大，線速度、角速度、向心加速度越小，周期越長，因為a、b衛星的半徑相等，且比c小，因此a、b衛星的線速度大小相等，向心加速度比c大，周期小于衛星c的周期，選項C正確，A、D錯誤；由于不知道三顆衛星的質量關系，因此不清楚向心力的關系，選項B錯誤．

2．(同步衛星)關于我國發射的“亞洲一號”地球同步通信衛星的說法，正確的是(　　)
A．若其質量加倍，則軌道半徑也要加倍
B．它在北京上空運行，故可用于我國的電視廣播
C．它以第一宇宙速度運行
D．它運行的角速度與地球自轉角速度相同
答案　D
解析　由GMmr2＝mv2r得r＝GMv2，可知軌道半徑與衛星質量無關，A錯誤；同步衛星的軌道平面必須與赤道平面重合，即在赤道上空運行，不能在北京上空運行，B錯誤；第一宇宙速度是衛星在最低圓軌道上運行的速度，而同步衛星在高軌道上運行，其運行速度小于第一宇宙速度，C錯誤；所謂“同步”就是衛星保持與赤道上某一點相對靜止，所以同步衛星的角速度與地球自轉角速度相同，D正確．
3．(衛星運動分析)(2016·全國卷Ⅰ·17)利用三顆位置適當的地球同步衛星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設地球的自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛星來實現上述目的，則地球自轉周期的最小值約為(　　)
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案　B
解析　地球自轉周期變小，衛星要與地球保持同步，則衛星的公轉周期也應隨之變小，由開普勒第三定律r3T2＝k可知衛星離地球的高度應變小，要實現三顆衛星覆蓋全球的目的，則衛星周期最小時，由數學幾何關系可作出衛星間的位置關系如圖所示．

衛星的軌道半徑為r＝Rsin 30°＝2R
由r13T12＝r23T22得
?6.6R?3242＝?2R?3T22
解得T2≈4 h．
考點二　宇宙速度的理解和計算
基礎回扣
第一宇宙速度(環繞速度) v1＝7.9 km/s，是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度
第二宇宙速度(脫離速度) v2＝11.2 km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度
第三宇宙速度(逃逸速度) v3＝16.7 km/s，是物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度

技巧點撥
1．第一宇宙速度的推導
方法一：由GMmR2＝mv12R，得v1＝GMR＝6.67×10－11×5.98×10246.4×106 m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝mv12R得v1＝gR＝9.8×6.4×106 m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度，也是人造衛星的最大環繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin＝2πRg＝5 078 s≈85 min.
2．宇宙速度與運動軌跡的關系
(1)v發＝7.9 km/s時，衛星繞地球表面做勻速圓周運動．
(2)7.9 km/s (3)11.2 km/s≤v發＜16.7 km/s，衛星繞太陽運動的軌跡為橢圓．
(4)v發≥16.7 km/s，衛星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．
例3 　(2020·北京卷·5)我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”．已知火星質量約為地球質量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是(　　)
A．火星探測器的發射速度應大于地球的第二宇宙速度
B．火星探測器的發射速度應介于地球的第一和第二宇宙速度之間
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案　A
解析　火星探測器需要脫離地球的束縛，故其發射速度應大于地球的第二宇宙速度，故A正確，B錯誤；由GMmR2＝mv2R得，v火＝GM火R火＝0.1M地G0.5R地＝55v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯誤；由GMmR2＝mg得，g火＝GM火R火2＝G0.1M地?0.5R地?2＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D錯誤．

4．(第一宇宙速度的計算)地球的近地衛星線速度大小約為8 km/s，已知月球質量約為地球質量的181，地球半徑約為月球半徑的4倍，下列說法正確的是(　　)
A．在月球上發射衛星的最小速度約為8 km/s
B．月球衛星的環繞速度可能達到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度約為1.8 km/s
D．“近月衛星”的速度比“近地衛星”的速度大
答案　C
解析　根據第一宇宙速度v＝GMR，月球與地球的第一宇宙速度之比為v2v1＝M2R1M1R2＝481＝29，月球的第一宇宙速度約為v2＝29v1＝29×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上發射衛星的最小速度約為1.8 km/s，月球衛星的環繞速度小于或等于1.8 km/s，“近月衛星”的速度為1.8 km/s，小于“近地衛星”的速度，故C正確．
5．(宇宙速度的理解和計算)宇航員在一行星上以速度v0豎直上拋一質量為m的物體，不計空氣阻力，經2t后落回手中，已知該星球半徑為R.求：
(1)該星球的第一宇宙速度的大小；
(2)該星球的第二宇宙速度的大小．已知取無窮遠處引力勢能為零，物體距星球球心距離為r時的引力勢能Ep＝－GmMr.(G為萬有引力常量)
答案　(1)v0Rt　(2)2v0Rt
解析　(1)由題意可知星球表面重力加速度為g＝v0t
由萬有引力定律知mg＝mv12R
解得v1＝gR＝v0Rt.
(2)由星球表面萬有引力等于物體重力知GMmR2＝mg
又Ep＝－GmMR
解得Ep＝－mv0Rt
由機械能守恒有12mv22－mv0Rt＝0
解得v2＝2v0Rt.
考點三　天體的“追及”問題
1．相距最近
兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2．相距最遠
當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
例4 　當地球位于太陽和木星之間且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，2016年3月8日出現了一次“木星沖日”．已知木星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍．則下列說法正確的是(　　)
A．下一次的“木星沖日”時間肯定在2018年
B．下一次的“木星沖日”時間肯定在2017年
C．木星運行的加速度比地球的大
D．木星運行的周期比地球的小
答案　B
解析　地球公轉周期T1＝1年，由T＝2πr3GM可知，土星公轉周期T2＝125T1≈11.18年．設經時間t，再次出現“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝2πT1，ω2＝2πT2，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發生在2017年，故A錯誤，B正確；設太陽質量為M，行星質量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a.對行星由牛頓第二定律可得GMmr2＝ma＝m4π2T2r，解得a＝GMr2，T＝2πr3GM，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運行的加速度比地球的小，木星運行的周期比地球的大，故C、D錯誤．

6．(天體的“追及”問題)(多選)(2020·山西太原市質檢)如圖4，在萬有引力作用下，a、b兩衛星在同一平面內繞某一行星c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有(　　)

圖4
A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4
C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次
D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次
答案　AD
解析　根據開普勒第三定律：半徑的三次方與周期的二次方成正比，則a、b運動的周期之比為1∶8，A對，B錯；設圖示位置ac連線與bc連線的夾角為θ<π2，b轉動一周(圓心角為2π)的時間為Tb，則a、b相距最遠時：2πTaTb－2πTbTb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n<6.75，n可取7個值；a、b相距最近時：2πTaTb－2πTbTb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m<6.25，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，C錯，D對．
課時精練

1．(2020·天津卷·2)北斗問天，國之夙愿．如圖1所示，我國北斗三號系統的收官之星是地球靜止軌道衛星，其軌道半徑約為地球半徑的7倍．與近地軌道衛星相比，地球靜止軌道衛星(　　)

圖1
A．周期大 B．線速度大
C．角速度大 D．加速度大
答案　A
解析　根據萬有引力提供向心力有GMmr2＝m(2πT)2r、GMmr2＝mv2r、GMmr2＝mω2r、GMmr2＝ma可知T＝2πr3GM、v＝GMr、ω＝GMr3、a＝GMr2，因為地球靜止軌道衛星的軌道半徑大于近地軌道衛星的軌道半徑，所以地球靜止軌道衛星的周期大、線速度小、角速度小、向心加速度小，故選項A正確．
2．(2020·四川瀘州市質量檢測)我國實施空間科學戰略性先導科技專項計劃，已經發射了“悟空”“墨子”“慧眼”等系列的科技研究衛星，2019年8月31日又成功發射一顆微重力技術實驗衛星．若微重力技術實驗衛星和地球同步衛星均繞地球做勻速圓周運動時，微重力技術實驗衛星的軌道高度比地球同步衛星低，下列說法中正確的是(　　)
A．該實驗衛星的周期大于地球同步衛星的周期
B．該實驗衛星的向心加速度大于地球同步衛星的向心加速度
C．該實驗衛星的線速度小于地球同步衛星的線速度
D．該實驗衛星的角速度小于地球同步衛星的角速度
答案　B
解析　萬有引力提供向心力，由GMmr2＝m2πT2r＝mv2r＝mω2r＝ma，解得：v＝GMr，T＝2πr3GM，ω＝GMr3，a＝GMr2.實驗衛星的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，可知該實驗衛星周期比地球同步衛星的小，向心加速度、線速度、角速度均比地球同步衛星的大，故選項B正確，A、C、D錯誤．
3.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩負著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號探測器成功發射，“實現人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足跡”，如圖2.已知月球的質量為M、半徑為R.探測器的質量為m，引力常量為G，嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運動時，探測器的(　　)

圖2
A．周期為 4π2r3GM B．動能為GMm2R
C．角速度為 Gmr3 D．向心加速度為GMR2
答案　A
解析　嫦娥四號探測器環繞月球做勻速圓周運動時，萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，由GMmr2＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r＝ma，解得ω＝GMr3、v＝GMr、T＝4π2r3GM、a＝GMr2，則嫦娥四號探測器的動能為Ek＝12mv2＝GMm2r，由以上可知A正確，B、C、D錯誤．
4．(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我國成功發射第45顆北斗導航衛星，該衛星屬于地球靜止軌道衛星(同步衛星)．該衛星(　　)
A．入軌后可以位于北京正上方
B．入軌后的速度大于第一宇宙速度
C．發射速度大于第二宇宙速度
D．若發射到近地圓軌道所需能量較少
答案　D
解析　同步衛星只能位于赤道正上方，A項錯誤；由GMmr2＝mv2r知，衛星的軌道半徑越大，衛星做勻速圓周運動的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛星的速度)，B項錯誤；同步衛星的發射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項錯誤；若發射到近地圓軌道，所需發射速度較小，所需能量較少，D正確．
5．(多選)(2020·江蘇卷·7改編)甲、乙兩顆人造衛星質量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍．下列應用公式進行的推論正確的有(　　)
A．由v＝gr可知，甲的速度是乙的2倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝GMmr2可知，甲的向心力是乙的14
D．由r3T2＝k可知，甲的周期是乙的22倍
答案　CD
解析　人造衛星繞地球做圓周運動時有GMmr2＝mv2r，即v＝GMr，因此甲的速度是乙的22倍，故A錯誤；由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故甲的向心加速度是乙的14，故B錯誤；由F＝GMmr2知甲的向心力是乙的14，故C正確；由開普勒第三定律r3T2＝k，繞同一天體運動，k值不變，可知甲的周期是乙的22倍，故D正確．
6．(2020·全國卷Ⅲ·16)“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍．已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質量是月球質量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g.則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為(　　)
A.RKgQP B.RPKgQ C.RQgKP D.RPgQK
答案　D
解析　在地球表面有GM地mR2＝mg，“嫦娥四號”繞月球做勻速圓周運動時有GM月m′?KR月?2＝m′v2KR月，根據已知條件有R＝PR月，M地＝QM月，聯立以上各式解得v＝RPgQK，故選D.
7．如圖3，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動．下列說法正確的是(　　)

圖3
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的運行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的線速度比乙的大
答案　A
8．星球上的物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2＝2v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的16.不計其他星球的影響．則該星球的第二宇宙速度為(　　)
A.gr3 B.gr6
C.gr3 D.gr
答案　A
解析　該星球的第一宇宙速度滿足：GMmr2＝mv12r，在該星球表面處萬有引力等于重力：GMmr2＝mg6，由以上兩式得v1＝gr6，則第二宇宙速度v2＝2×gr6＝gr3，故A正確．
9．(2019·安徽宣城市第二次模擬)有a、b、c、d四顆地球衛星，衛星a還未發射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，衛星b在地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星，各衛星排列位置如圖4，則有(　　)

圖4
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同時間內轉過的弧長最長
C．c在4 h內轉過的圓心角是π6
D．d的運動周期有可能是20 h
答案　B
解析　同步衛星的周期、角速度與地球自轉周期、角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度．由GMmr2＝mg，解得：g＝GMr2，衛星的軌道半徑越大，向心加速度越小，則c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，則a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；由GMmr2＝mv2r，解得：v＝GMr，衛星的半徑r越大，速度v越小，所以b的速度最大，在相同時間內轉過的弧長最長，故B正確；c是地球同步衛星，周期是24 h，則c在4 h內轉過的圓心角是2π24×4＝π3，故C錯誤；由開普勒第三定律r3T2＝k可知：衛星的半徑r越大，周期T越大，所以d的運動周期大于c的周期24 h，即不可能是20 h，故D錯誤．

10.(多選)(2019·貴州畢節市適應性監測(三))其實地月系統是雙星模型，為了尋找航天器相對地球和月球不動的位置，科學家們作出了不懈努力．如圖5所示，1767年歐拉推導出L1、L2、L3三個位置，1772年拉格朗日又推導出L4、L5兩個位置．現在科學家把L1、L2、L3、L4、L5統稱地月系中的拉格朗日點．中國“嫦娥四號”探測器成功登陸月球背面，并通過處于拉格朗日區的“嫦娥四號”中繼衛星“鵲橋”把信息返回地球，引起眾多師生對拉格朗日點的熱議．下列說法正確的是(　　)

圖5
A．在拉格朗日點航天器的受力不再遵循萬有引力定律
B．在不同的拉格朗日點航天器隨地月系統運動的周期均相同
C．“嫦娥四號”中繼衛星“鵲橋”應選擇L1點開展工程任務實驗
D．“嫦娥四號”中繼衛星“鵲橋”應選擇L2點開展工程任務實驗
答案　BD
解析　在拉格朗日點的航天器仍然受萬有引力，在地球和月球的萬有引力作用下繞地月雙星系統的中心做勻速圓周運動，A錯誤；因在拉格朗日點的航天器相對地球和月球的位置不變，說明它們的角速度一樣，因此周期也一樣，B正確；“嫦娥四號”探測器登陸的是月球的背面，“鵲橋”要把探測器在月球背面采集的信息傳回地球，L2在月球的背面，因此應選在L2點開展工程任務實驗，所以C錯誤，D正確．
11.經長期觀測發現，A行星運行軌道的半徑近似為R0，周期為T0，其實際運行的軌道與圓軌道存在一些偏離，且周期性地每隔t0(t0＞T0)發生一次最大的偏離，如圖6所示，天文學家認為形成這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知行星B，已知行星B與行星A同向轉動，則行星B的運行軌道(可認為是圓軌道)半徑近似為(　　)

圖6
A．R＝R03t02?t0－T0?2 B．R＝R0t0t0－T0
C．R＝R0t03?t0－T0?3 D．R＝R0t0t0－T0
答案　A
解析　A行星運行的軌道發生最大偏離，一定是B對A的引力引起的，且B行星在此時刻對A有最大的引力，故此時A、B行星與恒星在同一直線上且位于恒星的同一側，設B行星的運行周期為T，運行的軌道半徑為R，根據題意有2πT0t0－2πTt0＝2π，所以T＝t0T0t0－T0，由開普勒第三定律可得R03T02＝R3T2，聯立解得R＝R03t02?t0－T0?2，故A正確，B、C、D錯誤．
12．(2019·河南鄭州市第一次模擬)“玉兔號”月球車與月球表面的第一次接觸實現了中國人“奔月”的偉大夢想．“玉兔號”月球車在月球表面做了一個自由下落實驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t，已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G.求：
(1)月球表面重力加速度的大小；
(2)月球的質量和月球的第一宇宙速度的大小；
(3)月球同步衛星離月球表面高度．
答案　(1)2ht2　(2)2R2hGt2　2hRt2　(3)3T2R2h2π2t2－R
解析　(1)由自由落體運動規律有：h＝12gt2，所以有：g＝2ht2.
(2)月球的第一宇宙速度為近月衛星的運行速度，根據重力提供向心力mg＝mv12R，
所以：v1＝gR＝2hRt2
在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，則有：
mg＝GMmR2
所以M＝2R2hGt2.
(3)月球同步衛星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：GMm?R＋h′?2＝m(R＋h′)4π2T2
解得h′＝3T2R2h2π2t2－R.

13.(多選)(2019·全國卷Ⅰ·21)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖7中實線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a－x關系如圖中虛線所示．假設兩星球均為質量均勻分布的球體．已知星球M的半徑是星球N的3倍，則(　　)

圖7
A．M與N的密度相等
B．Q的質量是P的3倍
C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍
D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍
答案　AC
解析　設物體P、Q的質量分別為mP、mQ；星球M、N的質量分別為M1、M2，半徑分別為R1、R2，密度分別為ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分別為g1、g2.在星球M上，彈簧壓縮量為0時有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝GM1R12，密度ρ1＝M143πR13＝9a04πGR1；在星球N上，彈簧壓縮量為0時有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝GM2R22，密度ρ2＝M243πR23＝3a04πGR2；因為R1＝3R2，所以ρ1＝ρ2，選項A正確；當物體的加速度為0時有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，選項B錯誤；根據a－x圖線與x軸圍成圖形的面積和質量的乘積表示合外力做的功可知，EkmP＝32mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，選項C正確；根據運動的對稱性可知，Q下落時彈簧的最大壓縮量為4x0，P下落時彈簧的最大壓縮量為2x0，選項D錯誤．

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