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專題強(qiáng)化八　衛(wèi)星變軌問(wèn)題　雙星模型
目標(biāo)要求 　1.會(huì)處理人造衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問(wèn)題.2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會(huì)解決相關(guān)問(wèn)題．
題型一　衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問(wèn)題
1．變軌原理
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，如圖1所示．

圖1
(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬(wàn)有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ.
(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ.
2．變軌過(guò)程分析
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別為vA、vB.在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道Ⅱ或軌道Ⅲ上經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的加速度也相同．
(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3，由開(kāi)普勒第三定律r3T2＝k可知T1 (4)機(jī)械能：在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒．若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，則E1 例1 　(2019·北京市通州區(qū)期中)如圖2所示，一顆人造衛(wèi)星原來(lái)在橢圓軌道1上繞地球E運(yùn)行，在A點(diǎn)變軌后進(jìn)入軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖2
A．在軌道1上，衛(wèi)星在A點(diǎn)的速度等于在B點(diǎn)的速度
B．衛(wèi)星在軌道2上的周期大于在軌道1上的周期
C．在軌道1和軌道2上，衛(wèi)星在A點(diǎn)的速度大小相同
D．在軌道1和軌道2上，衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度大小不同
答案　B
解析　在軌道1上，衛(wèi)星由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，萬(wàn)有引力做正功，動(dòng)能變大，速度變大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律知衛(wèi)星在軌道2上的周期較大，故選項(xiàng)B正確；衛(wèi)星由軌道1變到軌道2，需要在A點(diǎn)加速，即在軌道1和軌道2上，衛(wèi)星在A點(diǎn)的速度大小不相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由GMmr2＝ma得a＝GMr2，可知在軌道1和軌道2上，衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度大小相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
例2 　宇宙飛船和空間站在同一軌道上運(yùn)動(dòng)．若飛船想與前方的空間站對(duì)接，飛船為了追上空間站，可采取的方法是(　　)
A．飛船加速直到追上空間站，完成對(duì)接
B．飛船從原軌道減速至一個(gè)較低軌道，再加速追上空間站完成對(duì)接
C．飛船加速至一個(gè)較高軌道，再減速追上空間站，完成對(duì)接
D．無(wú)論飛船采取何種措施，均不能與空間站對(duì)接
答案　B
解析　飛船在軌道上正常運(yùn)行時(shí)，有GMmr2＝mv2r.當(dāng)飛船直接加速時(shí)，所需向心力mv2r增大，則GMmr2
1．(衛(wèi)星變軌)(2019·山西五地聯(lián)考期末)2018年12月8日2時(shí)23分，嫦娥四號(hào)探測(cè)器搭乘長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭，開(kāi)始了奔月之旅．她肩負(fù)著沉甸甸的使命：首次實(shí)現(xiàn)人類探測(cè)器月球背面軟著陸.2018年12月12日16時(shí)45分，嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)施近月制動(dòng)，順利完成“太空剎車”，被月球捕獲，進(jìn)入了近月點(diǎn)約100公里的環(huán)月軌道，如圖3所示，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖3
A．嫦娥四號(hào)在地月轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)和在100公里環(huán)月軌道經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度相同
B．嫦娥四號(hào)從100公里環(huán)月軌道的P點(diǎn)進(jìn)入橢圓環(huán)月軌道后機(jī)械能減小
C．嫦娥四號(hào)在100公里環(huán)月軌道運(yùn)動(dòng)的周期等于在橢圓環(huán)月軌道運(yùn)動(dòng)的周期
D．嫦娥四號(hào)在100公里環(huán)月軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)P的加速度大小等于在橢圓環(huán)月軌道經(jīng)過(guò)P的加速度大小，但方向有可能不一樣
答案　B
解析　嫦娥四號(hào)從地月轉(zhuǎn)移軌道的P點(diǎn)進(jìn)入100公里環(huán)月軌道，需點(diǎn)火減速，所以在地月轉(zhuǎn)移軌道P點(diǎn)的速度大于在100公里環(huán)月軌道P點(diǎn)的速度，故A錯(cuò)誤；從100公里環(huán)月軌道進(jìn)入橢圓環(huán)月軌道，嫦娥四號(hào)需點(diǎn)火減速，發(fā)動(dòng)機(jī)做負(fù)功，機(jī)械能減小，故B正確；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律r3T2＝k知，100公里環(huán)月軌道半徑大于橢圓環(huán)月軌道的半長(zhǎng)軸，則嫦娥四號(hào)在100公里環(huán)月軌道運(yùn)動(dòng)的周期大于在橢圓環(huán)月軌道運(yùn)動(dòng)的周期，故C錯(cuò)誤；嫦娥四號(hào)衛(wèi)星在不同軌道經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，所受的萬(wàn)有引力相等，根據(jù)牛頓第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D錯(cuò)誤．
2．(飛船回收)2017年9月，我國(guó)控制“天舟一號(hào)”飛船離軌，使它進(jìn)入大氣層燒毀，殘骸墜入南太平洋一處號(hào)稱“航天器墳場(chǎng)”的遠(yuǎn)離大陸的深海區(qū)．在受控墜落前，“天舟一號(hào)”在距離地面380 km的圓軌道上飛行，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．在軌運(yùn)行時(shí)，“天舟一號(hào)”的線速度大于第一宇宙速度
B．在軌運(yùn)行時(shí)，“天舟一號(hào)”的角速度小于同步衛(wèi)星的角速度
C．受控墜落時(shí)，應(yīng)通過(guò)“反推”實(shí)現(xiàn)制動(dòng)離軌
D．“天舟一號(hào)”離軌后，在進(jìn)入大氣層前，運(yùn)行速度不斷減小
答案　C
解析　第一宇宙速度是環(huán)繞地球圓軌道運(yùn)行的衛(wèi)星的最大速度，則“天舟一號(hào)”在軌運(yùn)行時(shí)的線速度小于第一宇宙速度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在軌運(yùn)行時(shí)，“天舟一號(hào)”的運(yùn)行半徑小于同步衛(wèi)星的運(yùn)行半徑，根據(jù)ω＝GMr3可知，其角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；受控墜落時(shí)要先減速，讓前部的推進(jìn)器點(diǎn)火，通過(guò)“反推”實(shí)現(xiàn)制動(dòng)離軌，選項(xiàng)C正確；“天舟一號(hào)”離軌后，在進(jìn)入大氣層前，運(yùn)行半徑逐漸減小，地球的引力做正功，則運(yùn)行速度不斷增大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
題型二　雙星或多星模型
1．雙星模型
(1)模型構(gòu)建：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖4所示．

圖4
(2)特點(diǎn)：
①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即
Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2
②兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)模型構(gòu)建：所研究星體的萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖5甲所示)．
②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)．


圖5
(3)四星模型：
①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)．
②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)．



　　　　　 雙星模型

例3 　(多選)(2018·全國(guó)卷Ⅰ·20)2017年，人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波．根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100 s時(shí)，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈．將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星(　　)
A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和
C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度
答案　BC
解析　兩顆中子星運(yùn)動(dòng)到某位置的示意圖如圖所示

每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，角速度已知
中子星運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力得
Gm1m2l2＝m1ω2r1①
Gm1m2l2＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得G?m1＋m2?l2＝ω2l，所以m1＋m2＝ω2l3G，
質(zhì)量之和可以估算．
由線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
質(zhì)量之積和各自的自轉(zhuǎn)角速度無(wú)法求解．

　　　　　 多星模型

例4 　(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖6所示．三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R.忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力常量為G，則(　　)

圖6
A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為GmR
B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為3GmR3
C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πR33Gm
D．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)
答案　ABC
解析　每顆星受到的合力為F＝2Gm2R2sin 60°＝3Gm2R2，軌道半徑為r＝33R，由向心力公式F＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，解得a＝3GmR2，v＝GmR，ω＝3GmR3，T＝2πR33Gm，顯然加速度a與m有關(guān)，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤．

3.(雙星模型)(多選)(2020·廣東深圳中學(xué)質(zhì)檢)有一對(duì)相互環(huán)繞旋轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)，如圖7所示．若圖中雙黑洞的質(zhì)量分別為M1和M2，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)所學(xué)知識(shí)，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

圖7
A．雙黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．雙黑洞的軌道半徑之比r1∶r2＝M2∶M1
C．雙黑洞的線速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．雙黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
答案　BD
解析　雙黑洞繞連線的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，所以角速度也相等，故A錯(cuò)誤；雙黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們間的萬(wàn)有引力提供，向心力大小相等，設(shè)雙黑洞的距離為L(zhǎng)，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正確；由v＝ωr得雙黑洞的線速度大小之比為v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C錯(cuò)誤；由a＝ω2r得雙黑洞的向心加速度大小之比為a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正確．
4.(四星模型)(多選)(2019·安徽模擬)如圖8為一種四顆星體組成的穩(wěn)定星系，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，萬(wàn)有引力常量為G.下列說(shuō)法中正確的是(　　)

圖8
A．星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不一定是正方形的中心
B．每個(gè)星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為?4＋2?Gm2L3
C．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來(lái)的兩倍
D．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變
答案　BD
解析　四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定是正方形的中心，故A錯(cuò)誤；由2Gm2L2＋Gm2?2L?2＝(12＋2)Gm2L2＝mω2·22L，可知ω＝?4＋2?Gm2L3，故B正確；由(12＋2)Gm2L2＝ma可知，若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均為原來(lái)的兩倍，星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來(lái)的12，故C錯(cuò)誤；由(12＋2)Gm2L2＝mv222L可知星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝?4＋2?Gm4L，所以若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故D正確．
課時(shí)精練

1．(多選)目前，在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運(yùn)轉(zhuǎn)，其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓，且軌道半徑逐漸變小．若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過(guò)程中，只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，則下列判斷正確的是(　　)
A．衛(wèi)星的動(dòng)能逐漸減小
B．由于地球引力做正功，引力勢(shì)能一定減小
C．由于稀薄氣體阻力做負(fù)功，地球引力做正功，機(jī)械能保持不變
D．衛(wèi)星克服稀薄氣體阻力做的功小于引力勢(shì)能的減小量
答案　BD
解析　地球引力做正功，引力勢(shì)能一定減小，衛(wèi)星軌道半徑變小，動(dòng)能增大，由于稀薄氣體阻力做負(fù)功，機(jī)械能減小，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)動(dòng)能定理，衛(wèi)星動(dòng)能增大，衛(wèi)星克服稀薄氣體阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力勢(shì)能的減小量，所以衛(wèi)星克服阻力做的功小于引力勢(shì)能的減小量，選項(xiàng)D正確．
2．(2019·江蘇卷·4)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)．如圖1所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G.則(　　)

圖1
A．v1＞v2，v1＝GMr B．v1＞v2，v1＞GMr
C．v1＜v2，v1＝GMr D．v1＜v2，v1＞GMr
答案　B
解析　“東方紅一號(hào)”環(huán)繞地球在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有萬(wàn)有引力做功，因而機(jī)械能守恒，其由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力做負(fù)功，衛(wèi)星的勢(shì)能增加，動(dòng)能減小，因此v1＞v2；“東方紅一號(hào)”離開(kāi)近地點(diǎn)開(kāi)始做離心運(yùn)動(dòng)，則由離心運(yùn)動(dòng)的條件可知GMmr2＜mv12r，解得v1＞GMr，B正確，A、C、D錯(cuò)誤．
3.(多選)如圖2為某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖，若A星的軌道半徑大于B星的軌道半徑，雙星的總質(zhì)量為M，雙星間的距離為L(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T，則(　　)

圖2
A．A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量
B．A的線速度一定大于B的線速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
答案　BD
解析　設(shè)雙星質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，角速度相等，均為ω，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知：GmAmBL2＝mAω2RA, GmAmBL2＝mBω2RB，距離關(guān)系為：RA＋RB＝L，聯(lián)立解得：mAmB＝RBRA，因?yàn)镽A>RB，所以A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因?yàn)榻撬俣认嗟龋壍腊霃絉A>RB，所以A的線速度大于B的線速度，故B正確；又因?yàn)門＝2πω，聯(lián)立可得T＝2πL3GM，所以L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，T越大，故C錯(cuò)誤，D正確．
4.如圖3是一次衛(wèi)星發(fā)射過(guò)程，先將衛(wèi)星發(fā)射進(jìn)入繞地球的較低圓形軌道Ⅰ，然后在a點(diǎn)使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ，再在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)b使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖3
A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ的速率小于衛(wèi)星在軌道Ⅲ的速率
B．衛(wèi)星在軌道Ⅰ的周期大于衛(wèi)星在軌道Ⅲ的周期
C．衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到軌道Ⅰ的a點(diǎn)時(shí)，需減速才可進(jìn)入軌道Ⅱ
D．衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到軌道Ⅱ的b點(diǎn)時(shí)，需加速才可進(jìn)入軌道Ⅲ
答案　D
解析　衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，故軌道半徑越大，線速度越小，A錯(cuò)誤；由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，故軌道半徑越大，周期越長(zhǎng)，B錯(cuò)誤；衛(wèi)星從低軌道變軌到高軌道需要加速，C錯(cuò)誤，D正確．
5．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為(　　)
A.4π2r2?r－r1?GT2 B.4πr12GT2
C.4π2r2GT2 D.4π2r2r1GT2
答案　D
解析　取S1為研究對(duì)象，S1做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：Gm1m2r2＝m1(2πT)2r1，得：m2＝4π2r2r1GT2，故D正確．

6.(2020·浙江Z20聯(lián)盟第三次聯(lián)考)牛頓設(shè)想：把物體從高山上水平拋出，拋出速度足夠大時(shí)，物體就不會(huì)落回地面，成為人造地球衛(wèi)星．圖4中Ⅰ、Ⅱ 分別是兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道，A、B分別是軌道上的兩個(gè)點(diǎn)．下列關(guān)于兩顆衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行的描述正確的是(　　)

圖4
A．軌道Ⅰ上衛(wèi)星比軌道Ⅱ的發(fā)射速度更大
B．軌道Ⅰ上衛(wèi)星比軌道Ⅱ的繞行周期更大
C．衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度比B點(diǎn)更大
D．衛(wèi)星在A點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力比B點(diǎn)更大
答案　C
解析　衛(wèi)星發(fā)射到軌道Ⅱ上比發(fā)射到軌道Ⅰ上需要的能量大，故軌道Ⅱ上衛(wèi)星比軌道Ⅰ的發(fā)射速度更大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，r3T2＝k，軌道Ⅰ的半長(zhǎng)軸(半徑)小，則繞行周期小，故B錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知GMmr2＝ma，解得加速度a＝GMr2，衛(wèi)星在A點(diǎn)的軌道半徑r小，則加速度大，故C正確；由于兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量未知，則無(wú)法確定所受的萬(wàn)有引力大小，故D錯(cuò)誤．
7．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為(　　)
A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D.nkT
答案　B
解析　設(shè)原來(lái)雙星間的距離為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為M、m，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心距質(zhì)量為m的恒星距離為r.雙星間的萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)質(zhì)量為m的恒星：GMmL2＝m(2πT)2·r，對(duì)質(zhì)量為M的恒星：GMmL2＝M(2πT)2(L－r)，得GM＋mL2＝4π2T2·L，即T2＝4π2L3G?M＋m?；則當(dāng)總質(zhì)量為k(M＋m)，間距為L(zhǎng)′＝nL時(shí)，T′＝n3kT，選項(xiàng)B正確．
8.(多選)(2020·福建龍巖市檢測(cè))2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過(guò)程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過(guò)程也被稱之為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖5所示．在剛開(kāi)始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖5
A．它們的萬(wàn)有引力大小變大
B．它們的萬(wàn)有引力大小不變
C．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑將變大，線速度也變大
D．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑將變小，線速度也變小
答案　AC
解析　質(zhì)量較大的M1和質(zhì)量較小的M2之間的萬(wàn)有引力F＝GM1M2L2，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)可知M1＝M2時(shí)，M1M2有最大值，根據(jù)題意，質(zhì)量較小的黑洞M2吞噬質(zhì)量較大的恒星M1，所以萬(wàn)有引力變大，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于兩天體，萬(wàn)有引力提供向心力，有GM1M2L2＝M14π2T2R1，GM1M2L2＝M24π2T2R2，解得兩天體質(zhì)量的表達(dá)式M2＝4π2L2GT2R1，M1＝4π2L2GT2R2，兩天體總質(zhì)量的表達(dá)式M1＋M2＝4π2L2GT2(R1＋R2)＝4π2L3GT2，兩天體的總質(zhì)量不變，天體之間的距離L不變，所以天體運(yùn)動(dòng)的周期T不變，較小質(zhì)量的黑洞M2質(zhì)量增大，所以恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R1增大，根據(jù)v＝2πR1T可知恒星的線速度增大，C正確，D錯(cuò)誤．


9.(2020·浙江寧波市二模)一著陸器經(jīng)過(guò)多次變軌后登陸火星的軌跡變化如圖6所示，著陸器先在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)P點(diǎn)啟動(dòng)變軌發(fā)動(dòng)機(jī)然后切換到圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，再次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)變軌發(fā)動(dòng)機(jī)切換到橢圓軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)．軌道上的P、Q、S三點(diǎn)與火星中心位于同一直線上，P、Q兩點(diǎn)分別是橢圓軌道的遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn)，且PQ＝2QS＝2l.除了變軌瞬間，著陸器在軌道上運(yùn)行時(shí)均處于無(wú)動(dòng)力航行狀態(tài)．著陸器在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度分別為v1、v2、v3，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖6
A．v1 B．著陸器在軌道Ⅲ上從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中速率變大
C．著陸器在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度為v223l
D．著陸器在軌道Ⅱ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)所用的時(shí)間等于著陸器在軌道Ⅲ上由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間
答案　B
解析　著陸器從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ需要減速，同理從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ也需要減速，因此v1＞v2＞v3，故A錯(cuò)誤；著陸器在軌道Ⅲ上從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，萬(wàn)有引力做正功，所以速率變大，故B正確；在軌道Ⅱ上P點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得F向＝ma＝mv2232l，解得a＝2v223l，故C錯(cuò)誤；設(shè)著陸器在軌道Ⅱ上周期為TⅡ，在軌道Ⅲ上周期為TⅢ，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得TⅡ＞TⅢ，因?yàn)閠PS＝12TⅡ，tPQ＝12TⅢ，所以tPS＞tPQ，故D錯(cuò)誤．

10．(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖7)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則(　　)

圖7
A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同
B．直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T＝4πRR5GM
C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝3125R
D．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為125GMR
答案　BC
解析　直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；直線三星系統(tǒng)中，對(duì)甲星有GM2R2＋GM2?2R?2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，選項(xiàng)B正確；對(duì)三角形三星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得2GM2L2cos 30°＝M4π2T2·L2cos 30°，聯(lián)立解得L＝3125R，選項(xiàng)C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝2πrT＝2πL2cos 30°T＝36·3125·5GMR，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

發(fā)表評(píng)論