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實驗十　測定電源的電動勢和內阻
目標要求 　1.掌握用電流表和電壓表測定電源的電動勢和內阻的方法.2.掌握用圖象處理實驗數據的方法.3.掌握實物圖連接的技巧．
考點一　伏安法測電源的電動勢和內阻
基礎回扣
1．實驗原理
閉合電路歐姆定律．
2．實驗器材
電池、電壓表、電流表、滑動變阻器、開關、導線、坐標紙和刻度尺．
3．實驗步驟
(1)電流表用0.6 A的量程，電壓表用3 V的量程，按圖1連接好電路．

圖1
(2)把滑動變阻器的滑片移到接入電路阻值最大的一端．
(3)閉合開關，調節滑動變阻器，使電流表有明顯示數并記錄一組數據(I1，U1)．用同樣的方法再測量幾組I、U值，填入表格中．
(4)斷開開關，拆除電路，整理好器材．
4．實驗數據處理
(1)列方程組E＝U1＋I1rE＝U2＋I2r，解出E、r，并多次測量求平均值．
(2)用作圖法處理數據，如圖2所示．

圖2
①圖線與縱軸交點為電源電動勢E；
②圖線斜率的絕對值為內阻r.
5．誤差分析
(1)偶然誤差：主要來源于電壓表和電流表的讀數以及作U－I圖象時描點不準確．
(2)系統誤差
①若采用圖3所示電路

圖3
本實驗的誤差來源于電壓表的分流，通過電流表的電流小于干路電流，由E＝U＋Ir得知，電動勢E測 因RV?r，故E測≈E真，r測≈r真．
②若采用圖4所示電路，將電源與 串聯等效為電源，如圖虛線所示， 示數為等效電源的電壓， 為干路電流，由閉合電路歐姆定律E＝U＋I(r＋RA)，E測＝E真，r測＝r＋RA，若RA未知，由于RA與r很接近，所以r測誤差較大，故一般不采用此種接法；但若RA已知，此法可測r的準確值．

圖4
6．注意事項
(1)為了使路端電壓變化明顯，可使用內阻較大的舊電池．
(2)電流不要過大，應小于0.5 A，讀數要快．
(3)要測出不少于6組的(I，U)數據，變化范圍要大些．
(4)若U－I圖線縱軸刻度不從零開始，則圖線和橫軸的交點不再是短路電流，內阻應根據r＝|ΔUΔI|確定．
例1 　(2020·山東卷·14)實驗方案對實驗測量的精度有直接的影響，某學習小組對“測量電源的電動勢和內阻”的實驗方案進行了探究．實驗室提供的器材有：
干電池一節(電動勢約1.5 V，內阻小于1 Ω)；
電壓表V(量程3 V，內阻約3 kΩ)；
電流表A(量程0.6 A，內阻約1 Ω)；
滑動變阻器R(最大阻值為20 Ω)；
定值電阻R1(阻值2 Ω)；
定值電阻R2(阻值5 Ω)；
開關一個，導線若干．
(1)該小組按照圖5甲所示的電路進行實驗，通過調節滑動變阻器阻值使電流表示數逐漸接近滿偏，記錄此過程中電壓表和電流表的示數，利用實驗數據在U－I坐標紙上描點，如圖乙所示，結果發現電壓表示數的變化范圍比較小，出現該現象的主要原因是________．(單選，填正確答案標號)
A．電壓表分流
B．干電池內阻較小
C．滑動變阻器最大阻值較小
D．電流表內阻較小

圖5
(2)針對電壓表示數的變化范圍比較小的問題，該小組利用實驗室提供的器材改進了實驗方案，重新測量得到的數據如下表所示．
序號 1 2 3 4 5 6 7
I/A 0.08 0.14 0.20 0.26 0.32 0.36 0.40
U/V 1.35 1.20 1.05 0.88 0.73 0.71 0.52

請根據實驗數據，回答以下問題：
①圖6中已標出后3組數據對應的坐標點，請標出前4組數據對應的坐標點并畫出U－I圖像．

圖6
②根據實驗數據可知，所選的定值電阻為________(填“R1”或“R2”)．
③用筆畫線代替導線，請按照改進后的方案，將圖7所示實物圖連接成完整電路．

圖7
答案　(1)B　(2)①見解析圖(a)　②R1　③見解析圖(c)
解析　(1)電壓表示數的變化范圍小，原因是外電阻的阻值遠大于電源內阻，選項B正確．
(2)①根據數據描點并連成一條直線，如圖(a)所示．

②由圖像可知E＝1.55 V，U＝0時I＝0.59 A，故r′＝EI≈2.63 Ω，
由于2 Ω 又r′＝r＋R(r為電源內阻，R為定值電阻)，
故定值電阻只能是R1.
③先畫出原理圖，如圖(b)，然后依據原理圖將各儀器依次連接起來，如圖(c)．


例2 　(2020·云南紅河哈尼族彝族自治州統一檢測)甲同學利用如圖8甲所示的電路測定電源的電動勢和內阻，提供的器材有：
A．干電池兩節，每節電動勢約為1.5 V，內阻未知
B．直流電壓表V1：量程3 V，內阻約為3 kΩ
C．直流電壓表V2：量程15 V，內阻約為6 kΩ
D．直流電流表A：量程0.6 A，內阻RA＝2 Ω
E．滑動變阻器
F．導線和開關
(1)為了盡可能提高實驗精度，實驗中電壓表應選用________(選填“V1”或“V2”)；


圖8
(2)某次實驗部分數據如下表所示，其中一組數據讀數如圖乙所示，讀出數據，完成下表．則：①處的讀數為________ V；②處的讀數為________ A.
U/V 2.62 2.48 2.34 ① 2.06 1.92
I/A 0.08 0.12 0.16 ② 0.24 0.28

(3)利用表格中的數據在圖9中作出U－I圖象；

圖9
(4)由圖象可知，兩節干電池總電動勢E＝________ V，總內阻r＝________ Ω.(計算結果保留三位有效數字)
答案　(1)V1　(2)2.20(2.19～2.21均可)　0.20　(3)見解析圖　(4)2.90(2.86～2.94均可)　1.50(1.46～1.57均可)
解析　(1)兩節干電池的電動勢約為3 V，為了盡可能提高實驗精度，實驗中電壓表應選V1；
(2)量程為3 V時，電壓表的最小分度值為0.1 V，讀數為2.20 V(2.19～2.21均可)
量程為0.6 A時，電流表的最小分度值為0.02 A，讀數為0.20 A；
(3)U－I圖象如下：

(4)根據閉合電路的歐姆定律有E＝U＋Ir
整理得U＝－Ir＋E
所以縱截距是電源電動勢大小，斜率絕對值是電源內阻和電流表的內阻之和，由圖計算可得E＝2.90 V(2.86～2.94均可)，r＝k－rA＝1.50 Ω(1.46～1.57均可)

1．實驗室中準備了下列器材：
待測干電池(電動勢約1.5 V，內阻約1.0 Ω)；
電流表G(滿偏電流1.5 mA，內阻rg＝10 Ω)；
電流表A(量程0～0.6 A，內阻約0.10 Ω)；
滑動變阻器R1(最大阻值20 Ω)；
滑動變阻器R2(最大阻值100 Ω)；
定值電阻R3＝990 Ω，開關S和導線若干．
(1)某同學選用上述器材(滑動變阻器只選用了一個)測定一節干電池的電動勢和內阻．為了能較為準確地進行測量和操作方便，實驗中選用的滑動變阻器應是________．(填代號)
(2)請在如圖10甲所示虛線框中畫出該同學的實驗電路圖．

圖10
(3)如圖乙為該同學根據實驗數據作出的I1－I2圖線(I1為電流表G的示數，I2為電流表A的示數)，由該圖線可得，被測干電池的電動勢E＝________ V，內阻r＝________ Ω.
答案　(1)R1　(2)見解析　(3)1.47(1.46～1.48)　0.75(0.73～0.77)
解析　(1)為了易于調節、準確測量，采用限流接法，滑動變阻器最大阻值選20 Ω的即可，即選擇R1.
(2)由于沒有電壓表，所以需要用電流表改裝，電流表G的內阻是確定的，所以用G和定值電阻R3串聯，改裝成電壓表，電流表A內接，如圖所示．

(3)因為UR＝I1(R3＋Rg)＝1 000I1(mV)＝1×I1(V)，故可將I1－I2圖轉化為縱軸同數值的U－I2圖象，將圖線延長交縱軸于(0,1.47)，則E＝1.47 V，斜率絕對值表示內阻r＝0.75 Ω.
考點二　安阻法測電動勢和內阻
基礎回扣
1．實驗原理
閉合電路的歐姆定律E＝IR＋Ir，電路圖如圖11所示．

圖11
2．實驗器材
電池、電流表、電阻箱、開關、導線、坐標紙和刻度尺．
3．數據處理
(1)計算法：由E＝I1R1＋I1rE＝I2R2＋I2r
解方程組求得E，r.
(2)圖象法：由E＝I(R＋r)可得
①1I＝1ER＋rE，可作1I－R圖象(如圖12甲)
1I－R圖象的斜率k＝1E，縱軸截距為rE
②R＝E·1I－r，可作R－1I圖象(如圖乙)
R－1I圖象的斜率k＝E，縱軸截距為－r.

圖12
4．誤差分析
(1)誤差來源：電流表有內阻，導致內阻測量不準確；
(2)結論：E測＝E真，r測＞r真(r測＝r真＋rA)．
例3 　(2018·江蘇卷·10)一同學測量某干電池的電動勢和內阻．
(1)如圖13所示是該同學正準備接入最后一根導線(圖中虛線所示)時的實驗電路．請指出圖中在器材操作上存在的兩個不妥之處________________；________________.

圖13
(2)實驗測得的電阻箱阻值R和電流表示數I，以及計算的1I數據見下表：
R/Ω 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0
I/A 0.15 0.17 0.19 0.22 0.26
1I/A－1
6.7 5.9 5.3 4.5 3.8

根據表中數據，在圖14的方格紙上作出R－1I關系圖像．

圖14
由圖像可計算出該干電池的電動勢為________V；內阻為________Ω.
(3)為了得到更準確的測量結果，在測出上述數據后，該同學將一只量程為100 mV的電壓表并聯在電流表的兩端．調節電阻箱，當電流表的示數為0.33 A時，電壓表的指針位置如圖15所示，則該干電池的電動勢應為________V，內阻應為________Ω.

圖15
答案　(1)開關未斷開　電阻箱阻值為零
(2)見解析圖　1.34(1.30～1.44都算對)　1.2(1.0～1.4都算對)　(3)1.34[結果與(2)問第一個空格一致]　1.0[結果比(2)問第二個空格小0.2]
解析　(1)在電學實驗中，連接電路時應將開關斷開，電阻箱的阻值調為最大，確保實驗儀器、儀表的安全．
(2)根據閉合電路歐姆定律，得
E＝I(R＋r)
即R＝EI－r＝E·1I－r，
即R－1I圖像為直線．
描點連線后圖像如圖所示．

根據圖像可知r＝1.2 Ω.
圖像的斜率為電動勢E，
在R－1I圖像上取兩點(2,1.59)、(5,5.61)
則E＝5.61－1.595－2 V＝1.34 V.
(3)根據歐姆定律，得電流表的內阻
rA＝UI＝66×10－30.33Ω＝0.2 Ω，
該干電池的內阻應為r′＝r－rA＝1.0 Ω
R－1I圖像的斜率仍為電動勢E，即E＝1.34 V.

2．利用如圖16(a)所示電路，可以測定電源的電動勢和內阻，所用的實驗器材有：
待測電源，電阻箱R(最大阻值999.9 Ω)，電阻R0(阻值為3.0 Ω)，電阻R1(阻值為3.0 Ω)，電流表 (量程為200 mA，內阻為RA＝6.0 Ω)，開關S.



圖16
實驗步驟如下：
①將電阻箱阻值調到最大，閉合開關S；
②多次調節電阻箱，記下電流表的示數I和電阻箱相應的阻值R；
③以1I為縱坐標，R為橫坐標，作1I－R圖線(用直線擬合)；
④求出直線的斜率k和在縱軸上的截距b.
回答下列問題：
(1)分別用E和r表示電源的電動勢和內阻，則1I與R的關系式為________________．
(2)實驗得到的部分數據如下表所示，其中電阻R＝3.0 Ω時，電流表的示數如圖(b)所示，讀出數據，完成下表．答：①________，②________.
R/Ω 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
I/A 0.143 0.125 ① 0.100 0.091 0.084
1I/A－1
6.99 8.00 ② 10.0 11.0 11.9

(3)在圖(c)的坐標紙上將所缺數據點補充完整并作圖，根據圖線求得斜率k＝______ A－1Ω－1，截距b＝________ A－1.
(4)根據圖線求得電源電動勢E＝________ V，內阻r＝________ Ω.
答案　(1)1I＝3RE＋15＋3rE　(2)0.110　9.09　(3)見解析圖　1.0(0.96～1.04均可)　6.0(5.9～6.1均可)　(4)3.0(2.7～3.3均可)　1.0(0.6～1.4均可)
解析　(1)根據閉合電路歐姆定律有E＝(IRAR1＋I)(R＋R0＋r)＋IRA，
代入數據，化簡得1I＝RA＋R1ER1R＋1E[RA＋R1R1(R0＋r)＋RA]＝3RE＋15＋3rE.
(2)電流表每小格表示4 mA，因此電流表讀數是0.110 A，倒數是9.09 A－1.
(3)根據坐標紙上給出的點，畫出一條直線，得出斜率k＝1.0，截距b＝6.0 A－1.

(4)斜率k＝RA＋R1ER1，因此E＝3.0 V，截距b＝1E[RA＋RA＋R1R1(r＋R0)]，因此 r＝bE3－5＝1.0 Ω.
考點三　伏阻法測電動勢和內阻
基礎回扣
1．實驗原理
閉合電路歐姆定律E＝U＋URr，電路圖如圖17所示．

圖17

2．實驗器材
電池、電壓表、電阻箱、開關、導線、坐標紙和刻度尺．
3．數據處理
(1)計算法：由E＝U1＋U1R1rE＝U2＋U2R2r
解方程組可求得E和r.
(2)圖象法：由E＝U＋URr得：1U＝1E＋rE·1R.故1U－1R圖象的斜率k＝rE，縱軸截距為1E，如圖18.

圖18
4．誤差分析
(1)誤差來源：電壓表有內阻，干路電流表達式不準確，導致電動勢測量不準確；
(2)結論：E測＜E真，r測＜r真．
例4 　某課題研究小組準備測量一個鋰電池的電動勢和內阻，在操作臺上準備了如下實驗器材：
A．待測鋰電池(電動勢E約為3.7 V，內阻r未知)
B．電壓表V1(量程0～3 V，內阻約為幾千歐)
C．電流表A(量程0.6 A，內阻RA＝2.0 Ω)
D．電阻箱R1(0～99.9 Ω)
E．滑動變阻器R2(最大阻值為10 Ω)
F．定值電阻R0(阻值約為5 Ω)
G．開關S一個，導線若干
(1)在實驗操作過程中，該小組成員設計了如圖19甲所示電路．多次改變電阻箱R1的阻值R，讀出電壓U，根據測得的數據作出1U－1R圖象，如圖乙所示，則電源電動勢E＝________ V.
(2)為了測定鋰電池的內阻需測出電阻R0的阻值，小組成員設計了如圖丙所示的電路，請在圖丁中連接對應的實物圖．實驗過程中，某次測量電流表示數為0.40 A時，電壓表示數如圖戊所示，由此可求得R0＝________ Ω；結合圖乙可求得電池內阻r＝________ Ω.(以上兩空結果均保留兩位有效數字)




圖19
答案　(1)3.6(3.60)　(2)見解析圖　4.8　3.0
解析　(1)根據閉合電路的歐姆定律有E＝UR(r＋R0)＋U，兩邊同時除以EU，整理可得1U＝r＋R0E·1R＋1E，對照1U－1R圖象可知，1E＝518，解得E＝3.6 V.
(2)實物連線如圖．由電表讀數規則可知電壓表讀數為U＝2.80 V，所以R0＝UI－RA＝4.8 Ω；由斜率k＝r＋R0E＝136，解得r＝3.0 Ω.


3．(2019·安徽合肥市第二次質檢)為了同時測量一電源的電動勢E和內阻r，以及未知阻值的電阻Rx，某同學設計了一電路．實驗室提供的器材如下：待測電源、待測電阻、電阻箱一個、內阻很大的電壓表一只、開關兩個、導線若干．

圖20
(1)為實現上述目的，請完善圖20甲實物圖連接；
(2)該同學實驗的主要步驟有：
①閉合S1、S2，多次調節電阻箱阻值，并記錄其阻值及對應的電壓表的示數；
②保持S1閉合，斷開S2，多次調節電阻箱阻值，并記錄其阻值及對應的電壓表的示數；
③根據記錄的數據，作出兩條1U－1R圖線如圖乙所示．
由圖線可得電動勢E＝________，內阻r＝________，Rx＝________.(用圖中a、b、c表示)
答案　(1)見解析圖乙　(2)③1c　1a　1b－1a
解析　(1)通過開關S2控制電路中的電阻Rx是否接入電路，電路原理圖如圖甲所示：

故實物連線圖如圖乙所示：

(2)③閉合S1、S2，有E＝U＋URr，故有1U＝1E＋rE·1R；
保持S1閉合，斷開S2，有E＝U＋UR(r＋Rx)，
故有1U＝1E＋r＋RxE·1R；
結合1U－1R圖象可知，1E＝c，r＋RxE＝cb，rE＝ca，
解得：E＝1c，r＝1a，Rx＝1b－1a.

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