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專題強化十九　動態(tài)圓問題
目標要求 　1.進一步掌握帶電粒子在有界磁場中運動的臨界、極值問題.2.理解“平移圓”“旋轉(zhuǎn)圓”“放縮圓”“磁聚焦”等模型的適用條件及解決方法．
1．臨界條件
帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過切點的半徑(直徑)垂直．
2．解題步驟
分析情景→作基礎圖→作動態(tài)圖→確定臨界軌跡→分析臨界狀態(tài)→構(gòu)建三角形→解三角形
3．常見的幾種臨界情況
(1)直線邊界
最長時間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切．
最短時間：弧長最短(弦長最短)，入射點確定，入射點和出射點連線與邊界垂直．
如圖1，P為入射點，M為出射點．

圖1
(2)圓形邊界：公共弦為小圓直徑時，出現(xiàn)極值，即：
當運動軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時，以磁場直徑的兩端點為入射點和出射點的軌跡對應的圓心角最大．
當運動軌跡圓半徑小于圓形磁場半徑時，則以軌跡圓直徑的兩端點為入射點和出射點的圓形磁場對應的圓心角最大．
題型一　“平移圓”模型
適
用
條
件 速度大小一定，方向一定，但入射點在同一直線上 粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝mv0qB，如圖所示


軌跡圓圓心共線 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平行
界定
方法 將半徑為R＝mv0qB的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法

例1 　(多選)如圖2所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度大小均為B的勻強磁場，磁場方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐.質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點射入，入射速度垂直AD且垂直磁場，若入射速度大小為qBdm，不計粒子重力，則(　　)

圖2
A．粒子在磁場中的運動半徑為d2
B．粒子在距A點0.5d處射入，不會進入Ⅱ區(qū)域
C．粒子在距A點1.5d處射入，在Ⅰ區(qū)內(nèi)運動的時間為πmqB
D．能夠進入Ⅱ區(qū)域的粒子，在Ⅱ區(qū)域內(nèi)運動的最短時間為πm3qB
答案　CD
解析　帶電粒子在磁場中的運動半徑r＝mvqB＝d，選項A錯誤；設從某處E進入磁場的粒子，其軌跡恰好與AC相切(如圖所示)，則E點距A點的距離為2d－d＝d，粒子在距A點0.5d處射入，會進入Ⅱ區(qū)域，選項B錯誤；粒子在距A點1.5d處射入，不會進入Ⅱ區(qū)域，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)的軌跡為半圓，運動的時間為t＝T2＝πmqB，選項C正確；進入Ⅱ區(qū)域的粒子，弦長最短的運動時間最短，且最短弦長為d，對應圓心角為60°，最短時間為tmin＝T6＝πm3qB，選項D正確．

題型二　“旋轉(zhuǎn)圓”模型
適
用
條
件 速度大小一定，方向不同 粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運動軌跡半徑為R＝mv0qB，如圖所示


軌跡圓圓心共圓 如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝mv0qB的圓上


界定
方法 將一半徑為R＝mv0qB的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

例2 　如圖3所示，平行邊界MN、PQ間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，兩邊界的間距為d，MN上有一粒子源A，可在紙面內(nèi)沿各個方向向磁場中射入質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q的粒子，粒子射入磁場的速度大小v＝2qBd3m，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長度與能從MN邊界射出的區(qū)域長度之比為(　　)

圖3
A．1∶1 B．2∶3 C.3∶2 D.3∶3
答案　C
解析　粒子在磁場中運動時，Bqv＝mv2R，粒子運動軌跡半徑R＝mvBq＝23d；由左手定則可得，粒子沿逆時針方向偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運動；粒子沿AN方向進入磁場時，到達PQ邊界的最下端，距A點的豎直距離L1＝R2－(d－R)2＝33d；運動軌跡與PQ相切時，切點為到達PQ邊界的最上端，距A點的豎直距離L2＝R2－(d－R)2＝33d，所以粒子在PQ邊界射出的區(qū)域長度為L＝L1＋L2＝233d，因為R
題型三　“放縮圓”模型
適
用
條
件 速度方向一定，大小不同 粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
軌跡圓圓心共線 如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運動半徑也越大．可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上


界定
方法 以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

例3 　(2020·全國卷Ⅰ·18)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖4中虛線所示， 為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率．不計粒子之間的相互作用．在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為(　　)

圖4
A.7πm6qB B.5πm4qB C.4πm3qB D.3πm2qB
答案　C
解析　粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關，由在磁場中的運動軌跡對應的圓心角決定．設軌跡交半圓 于e點，ce中垂線交bc于O點，則O點為軌跡圓心，如圖所示．圓心角θ＝π＋2β，當β最大時，θ有最大值，由幾何知識分析可知，當ce與 相切時，β最大，此時β＝30°，可得θ＝43π，則t＝θ2πT＝4πm3qB，故選C.

例4 　(2020·全國卷Ⅲ·18)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖5所示．一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力．為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應強度最小為(　　)

圖5
A.3mv2ae B.mvae C.3mv4ae D.3mv5ae
答案　C
解析　磁感應強度取最小值時對應的臨界狀態(tài)如圖所示，設電子在磁場中做圓周運動的半徑為r，由幾何關系得a2＋r2＝(3a－r)2，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動知識得evB＝mv2r，聯(lián)立解得B＝3mv4ae，故選C.

題型四　“磁聚焦”模型
1．帶電粒子的會聚
如圖6甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出．(會聚)
證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點．
2．帶電粒子的發(fā)散
如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應強度為B，圓心為O，從P點有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行．(發(fā)散)
證明：所有粒子運動軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行四邊形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．

圖6
例5 　(多選)(2020·山東泰安市一模)如圖7所示，半徑為R、磁感應強度為B的圓形勻強磁場，MN是一豎直放置的足夠長的感光板．大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入，不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子．粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不考慮粒子間的相互作用力和粒子的重力．關于這些粒子的運動，以下說法正確的是(　　)

圖7
A．對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越短
B．對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越長
C．若粒子速度大小均為v＝qBRm，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均為v＝qBRm，則粒子在磁場中的運動時間一定小于πmqB
答案　ACD
解析　對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中做圓周運動的軌跡半徑越大，弧長越長，軌跡對應的圓心角越小，由t＝θ2πT＝θmqB可知，運動時間越短，故選項A正確，B錯誤．粒子速度大小均為v＝qBRm時，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑為：r＝mvqB＝R，根據(jù)幾何關系可知，入射點P、O、出射點與軌跡的圓心的連線構(gòu)成菱形，射出磁場時的軌跡半徑與PO平行，故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根據(jù)幾何關系可知，軌跡對應的圓心角小于180°，粒子在磁場中的運動時間：t<12T＝πmqB，故選項C、D正確．

1.(“旋轉(zhuǎn)圓”模型)(2017·全國卷Ⅱ·18)如圖8，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場，若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上．不計重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1 為(　　)

圖8
A.3∶2 B.2∶1
C.3∶1 D．3∶2
答案　C
解析　根據(jù)作圖分析可知，當粒子在磁場中運動半個圓周時，打到圓形磁場邊界的位置距P點最遠，則當粒子射入的速率為v1，軌跡如圖甲所示，設圓形磁場半徑為R，由幾何知識可知，粒子運動的軌道半徑為r1＝Rcos 60°＝12R；若粒子射入的速率為v2，軌跡如圖乙所示，由幾何知識可知，粒子運動的軌道半徑為r2＝Rcos 30°＝32R；根據(jù)軌道半徑公式r＝mvqB可知，v2∶v1＝r2∶r1＝3∶1，故選項C正確．
　
甲　　　　　　　　乙
2．(“放縮圓”模型)(2020·湖北武漢市高三調(diào)考)如圖9所示，等腰直角三角形abc區(qū)域存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.三個相同的帶電粒子從b點沿bc方向分別以速度v1、v2、v3射入磁場，在磁場中運動的時間分別為t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1.直角邊bc的長度為L，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，下列說法正確的是 (　　)

圖9
A．三個速度的大小關系一定是v1＝v2＜v3
B．三個速度的大小關系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷qm＝πBt1
D．粒子的比荷qm＝v3BL
答案　B
解析　由于t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，作出粒子運動軌跡圖如圖所示，它們對應的圓心角分別為90°、90°、30°，由幾何關系可知軌道半徑大小分別為R2
3．(“磁聚焦”模型)(多選)如圖10所示，紙面內(nèi)有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m、電荷量為－q、速率為v0，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，要使粒子都會聚到一點，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設計一勻強磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應的磁感應強度可以是下列選項中的(其中B0＝mv0qL，A、C、D選項中曲線均為半徑為L的14圓弧，B選項中曲線為半徑為L2的圓)(　　)

圖10

答案　AB
課時精練

1.(2019·山東省實驗中學第二次模擬)如圖1所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計)以速度v從AC邊的中點O垂直AC邊射入磁場區(qū)域．若三角形的兩直角邊長均為2L，要使粒子從CD邊射出，則v的取值范圍為(　　)

圖1
A.qBLm≤v≤22qBLm B.qBLm≤v≤5qBLm
C.qBL2m≤v≤(2＋1)qBLm D.qBL2m≤v≤5qBL2m
答案　C
解析　根據(jù)洛倫茲力充當向心力可知，v＝Bqrm，因此半徑越大，速度越大；根據(jù)幾何關系可知，使粒子軌跡與AD邊相切時速度最大，如圖，則有AO′·sin 45°＝O′E，

即(R＋L)sin 45°＝R，
解得滿足題目要求的最大半徑為R＝(2＋1)L，
故最大速度為v1＝(2＋1)qBLm；當粒子從C點出射時，滿足題目要求的半徑最小，為r2＝L2，故最小速度應為v2＝qBL2m，則v的取值范圍為qBL2m≤v≤(2＋1)qBLm，故C正確，A、B、D錯誤．
2.(2020·陜西西安地區(qū)八校高三上第一次聯(lián)考)如圖2所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場邊界上A點有一粒子源，源源不斷地向磁場發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力及粒子間的相互作用不計)，已知粒子的比荷為k，速度大小為2kBr.則粒子在磁場中運動的最長時間為(　　)

圖2
A.πkB B.π2kB C.π3kB D.π4kB
答案　C
解析　粒子在磁場中運動的半徑為R＝mvqB＝2kBrBk＝2r；如圖所示，當粒子在磁場中運動時間最長時，其軌跡對應的圓心角最大，此時弦長最大，其最大值為磁場圓的直徑2r，故t＝T6＝πm3qB＝π3kB，故選C.

3.(2021·河北邯鄲市大名一中半月考)如圖3所示，MN的右側(cè)存在范圍足夠大、磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，MN右側(cè)到MN的距離為L的O處有一個粒子源，可沿紙面內(nèi)各個方向射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力及粒子間的相互作用)，速度均為qBLm，則粒子在磁場中運動的最短時間為(　　)

圖3
A.πm2qB B.πm3qB C.πm4qB D.πm6qB
答案　B
解析　由于v＝qBLm，所以粒子在磁場中運動的半徑為r＝mvqB＝L，粒子在磁場中運動時間最短，對應的弧長最短、弦長最短，由幾何關系得，當弦長等于L時最短，此時弦切角為30°，圓心角為60°，運動的最短時間為tmin＝60°360°T＝16×2πmqB＝πm3qB，故B正確．

4.如圖4所示，在直角三角形 abc 區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為 B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長ab＝L，一個粒子源在b點將質(zhì)量為 m、電荷量為q的帶負電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場，在磁場中運動時間最長的粒子中，速度的最大值是(不計粒子重力及粒子間的相互作用)(　　)

圖4
A.qBL2m B.qBL3m
C.3qBL2m D.3qBL3m
答案　D
解析　由左手定則和題意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)半周時，運動時間最長，速度最大時的軌跡恰與ac相切，軌跡如圖所示，由幾何關系可得最大半徑：r＝ab·tan 30°＝33L，由洛倫茲力提供向心力得qvmB＝mvm2r，從而求得最大速度：vm＝3qBL3m，選項A、B、C錯誤，D正確．


5．(多選)如圖5所示，長方形abcd的長ad＝0.6 m，寬ab＝0.3 m，O、e分別是ad、bc的中點，以e為圓心，eb為半徑的圓弧和以O為圓心，Od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場(eb邊界上無磁場)，磁感應強度B＝0.25 T．一群不計重力、質(zhì)量m＝3×10－7 kg、電荷量q＝2×10－3C的帶正電粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直于ad且垂直于磁場方向射入磁場區(qū)域，粒子間的相互作用不計，則下列判斷正確的是(　　)

圖5
A．從Od邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊
B．從aO邊射入的粒子，出射時全部通過b點
C．從Od邊射入的粒子，出射時全部通過b點
D．從aO邊射入的粒子，出射點分布在ab邊
答案　BC
解析　粒子進入磁場后做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得到：r＝mvqB＝0.3 m，因ab＝0.3 m，從Od邊射入的粒子，形成以r為半徑的圓弧，從點O射入的粒子從b點射出；從Od之間射入的粒子，因邊界上無磁場，粒子到達bc后應做直線運動，即全部通過b點，故A錯誤，C正確；從aO邊射入的粒子先做一段時間的直線運動，設某一個粒子在M點進入磁場，其圓心為O′，如圖所示，根據(jù)幾何關系可得：虛線的四邊形O′Meb是菱形，則粒子的出射點一定是從b點射出．同理可知，從aO邊射入的粒子，出射時全部從b點射出，即“磁聚焦”，故B正確，D錯誤．

6.如圖6，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B＝0.60 T．磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行．在距ab為l＝16 cm處，有一個點狀的α粒子放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的電荷量與質(zhì)量之比qm＝5.0×107 C/kg.現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運動的α粒子，求ab板上被α粒子打中區(qū)域的長度．

圖6
答案　20 cm
解析　α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動．用R表示軌跡半徑，有qvB＝mv2R，
由此得R＝mvqB，
代入數(shù)據(jù)解得R＝10 cm，可見R 因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某圓軌跡在如圖所示中N左側(cè)與ab相切，則此切點P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠點．為確定P1點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P1.從圖中幾何關系得：NP1＝R2－(l－R)2.

再考慮N的右側(cè)．任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓弧，交ab于N右側(cè)的P2點，此即右側(cè)能打到的最遠點．
從圖中幾何關系得
NP2＝(2R)2－l2，
所求長度為P1P2＝NP1＋NP2，
代入數(shù)據(jù)解得P1P2＝20 cm.

7．(2019·廣東模擬)如圖7所示，在直角坐標系xOy中，x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向外．大量質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，以相同的速率v沿紙面內(nèi)，由x軸負方向與y軸正方向之間各個方向從原點O射入磁場區(qū)域．不計重力及粒子間的相互作用．下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝mvqB，正確的圖是(　　)

圖7


答案　D
解析　首先當粒子沿x軸負方向運動的時候，其軌跡如圖所示，是一個完整的圓，隨著粒子的出射角度向y軸正方向逐漸轉(zhuǎn)動過程中，這個圓逐漸沿順時針方向轉(zhuǎn)動；當粒子沿y軸正方向的時候，其軌跡為一個半圓．根據(jù)分析在這個軌跡圓轉(zhuǎn)動的過程中，圖中完整的圓與半圓相交的部分不會有粒子經(jīng)過，故D項正確．

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