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專題02 常見的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)模型
【模型一】 小球彈簧（蹦極、蹦床）模型
【模型構(gòu)建】如圖所示，地面上豎立著一輕質(zhì)彈簧，小球從其正上方某一高度處自由下落到彈簧上．從小球剛接觸彈簧到彈簧被壓縮至最短的過程中（在彈簧的彈性限度內(nèi)），的運(yùn)動(dòng)問題、能量轉(zhuǎn)換問題、動(dòng)量變化問題。

【模型要點(diǎn)】
1.力與運(yùn)動(dòng)-----下落的“三段四點(diǎn)”：
[來源:學(xué)科網(wǎng)]
2.四個(gè)圖像
v-t圖 a-t圖 F-t圖 a-x圖

3.等效模型一:恒力推彈簧連接的兩物體問題

4.等效模型二:蹦極運(yùn)動(dòng)問題
如圖所示是蹦極運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化示意圖，彈性繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系住運(yùn)動(dòng)員，運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)自由下落，A點(diǎn)處彈性繩自然伸直．B點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)員受到的重力與彈性繩對(duì)運(yùn)動(dòng)員拉力相等的點(diǎn)，C點(diǎn)是蹦極運(yùn)動(dòng)員到達(dá)的最低點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員從O點(diǎn)到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中忽略空氣阻力。

5.功能變化及圖像
豎直小球砸彈簧 傾斜小球砸彈簧 水平彈簧推小球




【模型演練1】(2020·湖北十堰市上學(xué)期期末)如圖所示，處于自然狀態(tài)下的輕彈簧一端固定在水平地面上，質(zhì)量為m的小球從彈簧的另一端所在位置由靜止釋放，設(shè)小球和彈簧一直處于豎直方向，彈簧的勁度系數(shù)為k，重力加速度為g.在小球?qū)椈蓧嚎s到最短的過程中，下列說法不正確的是(　　)

A．小球的速度先增大后減小
B．小球的加速度先減小后增大
C．小球速度最大時(shí)彈簧的形變量為
D．彈簧的最大形變量為
【答案】　D
【解析】　開始時(shí)，小球的重力大于彈簧的彈力，小球的加速度向下，向下加速運(yùn)動(dòng)，隨著彈簧的壓縮，彈力逐漸變大，則加速度逐漸減小，當(dāng)彈力等于重力時(shí)，加速度為零，即有mg＝kx，可得x＝，此時(shí)小球的速度最大，然后小球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧，彈力大于重力，加速度變?yōu)橄蛏希俣戎饾u減小，直到速度減小到零，到達(dá)最低點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)彈簧的壓縮量為2x＝，故選項(xiàng)A、B、C正確，D錯(cuò)誤．
【模型演練2】(2020·山西運(yùn)城一模)蹦極就是跳躍者把一端固定的長(zhǎng)彈性繩綁在踝關(guān)節(jié)等處，從幾十米高處跳下的一種極限運(yùn)動(dòng)。某人做蹦極運(yùn)動(dòng)，繩子拉力F的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖所示。假設(shè)人由靜止開始下落，且運(yùn)動(dòng)只發(fā)生在豎直方向，重力加速度g取10 m/s2，圖中t0＝10 s。下列說法正確的是(　　)

A．繩子的長(zhǎng)度約為30 m
B．0.2t0時(shí)刻，人的速度最大
C．人下落過程機(jī)械能守恒
D．人下落過程，先失重后超重
【答案】D
【解析】0.2t0時(shí)刻，繩子剛好伸直，伸直前，人近似自由下落，考慮阻力，下落的位移比20 m小，A錯(cuò)誤；0.2t0時(shí)刻，繩子剛好伸直，人的合力大小約為人的重力，它與速度的方向相同，因此人將繼續(xù)加速下降，B錯(cuò)誤；人下落過程，要克服阻力和繩子的拉力做功，機(jī)械能減少，C錯(cuò)誤；人先加速下降后減速下降，先處于失重狀態(tài)后處于超重狀態(tài)，D正確。
【模型演練3】(多選)(2021·山東淄博市3月模擬)如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上．一質(zhì)量為m的小球，從離彈簧上端高h(yuǎn)處自由下落，接觸彈簧后繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)．小球從開始下落到小球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，下列關(guān)于小球的速度v、加速度a隨時(shí)間t變化的圖象中符合實(shí)際情況的是(　　)


【答案】　AD
【解析】　在小球下落的開始階段，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為g；接觸彈簧后，開始時(shí)重力大于彈力，加速度方向向下，隨著小球的不斷下降，彈力逐漸變大，故小球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻加速度可減小到零，此時(shí)速度最大；小球繼續(xù)下落時(shí)，彈力大于重力，加速度方向變?yōu)橄蛏希壹铀俣戎饾u變大，直到速度減小到零，到達(dá)最低點(diǎn)，由對(duì)稱知識(shí)可知，到達(dá)最低點(diǎn)的加速度大于g，故A、D正確．
【模型演練4】(2021·北京豐臺(tái)區(qū)期末)圖甲是某人站在接有傳感器的力板上做下蹲、起跳和回落動(dòng)作的示意圖，圖中的小黑點(diǎn)表示人的重心。圖乙是力板所受壓力隨時(shí)間變化的圖象，取重力加速度g＝10 m/s2。根據(jù)圖象分析可知(　　)

甲　　　　　　　　　　　乙
A．人的重力可由b點(diǎn)讀出，約為300 N
B．b到c的過程中，人先處于超重狀態(tài)再處于失重狀態(tài)
C．人在雙腳離開力板的過程中，處于完全失重狀態(tài)
D．人在b點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的加速度大于在c點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的加速度
【答案】C　
【解析】開始時(shí)人處于平衡狀態(tài)，人對(duì)傳感器的壓力約為900 N，人的重力也約為900 N，故A錯(cuò)誤；b到c的過程中，人先處于失重狀態(tài)再處于超重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；雙腳離開力板的過程中只受重力的作用，處于完全失重狀態(tài)，故C正確；b點(diǎn)彈力與重力的差值要小于c點(diǎn)彈力與重力的差值，則人在b點(diǎn)的加速度要小于在c點(diǎn)的加速度，故D錯(cuò)誤。
【模型演練5】在兒童樂園的蹦床項(xiàng)目中，小孩在兩根彈性繩和蹦床的協(xié)助下實(shí)現(xiàn)上下彈跳。如圖所示，某次蹦床活動(dòng)中小孩靜止時(shí)處于O點(diǎn)，當(dāng)其彈跳到最高點(diǎn)A后下落可將蹦床壓到最低點(diǎn)B，小孩可看成質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是(　　)

A．從A運(yùn)動(dòng)到O，小孩重力勢(shì)能減少量大于動(dòng)能增加量
B．從O運(yùn)動(dòng)到B，小孩動(dòng)能減少量等于蹦床彈性勢(shì)能增加量
C．從A運(yùn)動(dòng)到B，小孩機(jī)械能減少量小于蹦床彈性勢(shì)能增加量
D．若從B返回到A，小孩機(jī)械能增加量等于蹦床彈性勢(shì)能減少量
【答案】A　
【解析】從A運(yùn)動(dòng)到O，小孩重力勢(shì)能減少量等于動(dòng)能增加量與彈性繩的彈性勢(shì)能的增加量之和，選項(xiàng)A正確；從O運(yùn)動(dòng)到B，小孩動(dòng)能和重力勢(shì)能的減少量等于彈性繩和蹦床的彈性勢(shì)能的增加量，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；從A運(yùn)動(dòng)到B，小孩機(jī)械能減少量大于蹦床彈性勢(shì)能增加量，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若從B返回到A，小孩機(jī)械能增加量等于蹦床和彈性繩彈性勢(shì)能減少量之和，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
【模型演練6】(多選)(2019·江蘇高考)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的左端固定，并處于自然狀態(tài)。小物塊的質(zhì)量為m，從A點(diǎn)向左沿水平地面運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后被彈回，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)恰好靜止。物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中(　　)

A．彈簧的最大彈力為μmg
B．物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C．彈簧的最大彈性勢(shì)能為μmgs
D．物塊在A點(diǎn)的初速度為
【答案】BC　
【解析】對(duì)物塊從A點(diǎn)開始到再回到A點(diǎn)整個(gè)過程，由動(dòng)能定理可知Wf＝－2μmgs＝0－mv，則vA＝2，故B正確，D錯(cuò)誤。對(duì)物塊從A點(diǎn)開始到彈簧壓縮量最大這一過程，由動(dòng)能定理可知W彈＋W′f＝0－mv，W′f＝－μmgs，則W彈＝－μmgs，則物塊克服彈力做功為μmgs，所以彈簧彈性勢(shì)能增加μmgs，故C正確。當(dāng)克服彈力做功為μmgs時(shí)，彈簧的最大彈力要大于μmg，故A錯(cuò)誤。
【模型演練7】(多選)(2018·江蘇高考)如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端連接一小物塊，O點(diǎn)為彈簧在原長(zhǎng)時(shí)物塊的位置。物塊由A點(diǎn)靜止釋放，沿粗糙程度相同的水平面向右運(yùn)動(dòng)，最遠(yuǎn)到達(dá)B點(diǎn)。在從A到B的過程中，物塊(　　)

A．加速度先減小后增大 B．經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度最大
C．所受彈簧彈力始終做正功 D．所受彈簧彈力做的功等于克服摩擦力做的功
【答案】AD　
【解析】對(duì)物塊受力分析，當(dāng)彈簧處于壓縮狀態(tài)時(shí)，由牛頓第二定律可得kx－f＝ma，x減小，a減小，當(dāng)a＝0時(shí)，物塊速度最大，此時(shí)，物塊在O點(diǎn)左側(cè)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；從加速度a＝0處到O點(diǎn)過程，由牛頓第二定律得f－kx＝ma，x減小，a增大，當(dāng)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)，由牛頓第二定律可得kx＋f＝ma，x增大，a繼續(xù)增大，可知物塊的加速度先減小后增大，選項(xiàng)A正確；物塊所受彈簧的彈力對(duì)物塊先做正功，后做負(fù)功，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；從A到B的過程，由動(dòng)能定理可得W彈－Wf＝0，選項(xiàng)D正確。
【模型演練8】．“蹦極”運(yùn)動(dòng)中，長(zhǎng)彈性繩的一端固定，另一端綁在人身上，人從幾十米高處跳下，將蹦極過程簡(jiǎn)化為人沿豎直方向的運(yùn)動(dòng)，從繩恰好伸直，到人第一次下降至最低點(diǎn)的過程中，下列分析正確的是(　　)
A．繩對(duì)人的沖量始終向上，人的動(dòng)量先增大后減小
B．繩對(duì)人的拉力始終做負(fù)功，人的動(dòng)能一直減小
C．繩恰好伸直時(shí)，繩的彈性勢(shì)能為零，人的動(dòng)能最大
D．人在最低點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)人的拉力等于人所受的重力
【答案】A.
【解析】：從繩恰好伸直到人第一次下降至最低點(diǎn)的過程中，人先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，加速度等于零時(shí)，速度最大，故人的動(dòng)量和動(dòng)能都是先增大后減小，加速度等于零時(shí)(即繩對(duì)人的拉力等于人所受的重力時(shí))速度最大，動(dòng)量和動(dòng)能最大，在最低點(diǎn)時(shí)人具有向上的加速度，繩對(duì)人的拉力大于人所受的重力．繩的拉力方向始終向上與運(yùn)動(dòng)方向相反，故繩對(duì)人的沖量方向始終向上，繩對(duì)人的拉力始終做負(fù)功．故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
【模型演練9】．從同樣高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，下列說法正確的是(　　)
A．掉在水泥地上的玻璃杯動(dòng)量小，而掉在草地上的玻璃杯動(dòng)量大
B．掉在水泥地上的玻璃杯動(dòng)量改變小，掉在草地上的玻璃杯動(dòng)量改變大
C．掉在水泥地上的玻璃杯動(dòng)量改變大，掉在草地上的玻璃杯動(dòng)量改變小
D．掉在水泥地上的玻璃杯動(dòng)量改變量與掉在草地上的玻璃杯動(dòng)量改變量相等
【答案】D.
【解析】：玻璃杯從同樣高度落下，到達(dá)地面時(shí)具有相同的速度，即具有相同的動(dòng)量，與地面相互作用后都靜止．所以兩種地面的情況中玻璃杯動(dòng)量的改變量相同，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確．
【模型演練10】(2020·湖南常德模擬)如圖所示，質(zhì)量為m的小球從距離地面高H的A點(diǎn)由靜止開始釋放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用，到達(dá)距地面深度為h的B點(diǎn)時(shí)速度減為零．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，關(guān)于小球下落的整個(gè)過程，下列說法正確的有(　　)

A．小球的機(jī)械能減小了mg(H＋h)
B．小球克服阻力做的功為mgh
C．小球所受阻力的沖量大于m
D．小球動(dòng)量的改變量等于所受阻力的沖量
【答案】AC.
【解析】：小球在整個(gè)過程中，動(dòng)能變化量為零，重力勢(shì)能減小了mg(H＋h)，則小球的機(jī)械能減小了mg(H＋h)，故A正確；對(duì)小球下落的全過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，mg(H＋h)－Wf＝0，則小球克服阻力做功Wf＝mg(H＋h)，故B錯(cuò)誤；小球落到地面的速度v＝，對(duì)小球進(jìn)入泥潭的過程運(yùn)用動(dòng)量定理得：IG－IF＝0－m，得：IF＝IG＋m，知阻力的沖量大于m，故C正確；對(duì)全過程分析，運(yùn)用動(dòng)量定理知，小球動(dòng)量的變化量等于重力的沖量和阻力沖量的矢量和，故D錯(cuò)誤．
【模型二】“f=kv”運(yùn)動(dòng)模型
【概述】高中物理中有這樣一類問題：物體受到一個(gè)與物體的運(yùn)動(dòng)速度v成正比變化的外力而做復(fù)雜的變速運(yùn)動(dòng)我們不妨稱之為“f= kv”問題。。
【模型要點(diǎn)】
1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析-------“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”：
若物體所受合力為f= kv，則產(chǎn)生的加速度為等式兩邊同乘以并求和得到等式，可得，也就是說物體在任意相等的位移內(nèi)速度的變化量是相等的。這與勻變直線運(yùn)動(dòng)的定義：物體在任意相等時(shí)間內(nèi)速度速度的變化量都相等極為相似。唯一的區(qū)別就是一個(gè)對(duì)空間均勻變化。一個(gè)對(duì)時(shí)間均勻變化。我們把滿足的運(yùn)動(dòng)定義為“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”定義為“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”的“另類加速度”二者的區(qū)別展示如下：
正常加速度 另類加速度
二者關(guān)系： 即a=A·v
(1).當(dāng)A>0且恒定時(shí)，a隨v增大而變大；
(2).當(dāng)A<0且恒定時(shí)，a隨v減小而變小；
(3)圖像

2.“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”的動(dòng)量特征
物體在變力作用下做復(fù)雜的變速運(yùn)動(dòng)，可以把物體的運(yùn)動(dòng)分割成若干小段，在每一小段內(nèi)，可認(rèn)為力f不變，這樣，在△t1時(shí)間內(nèi)，力f的沖量：

同理，時(shí)間內(nèi)，力f的沖量
，……
所以整個(gè)過程力f的沖量為：

即變力的沖量大小與物體的位移大小成正比。
這個(gè)結(jié)論的幾何解釋如圖所示（僅僅是示意性地畫出，并不真正表示物體就做圖示形式的運(yùn)動(dòng)）。對(duì)于v—t圖象，圖象與t軸所圍的面積表示物體的位移x。由于f=kv，力f隨時(shí)間t變化的f—t圖象與v—t圖象相似（縱軸相差k倍）。對(duì)f—t圖象來說，圖象與t軸所圍的面積就是力f的沖量I，顯然I= kx 。此結(jié)論在解答“f=kv”問題中有很重要的作用。

3.流體的變加速運(yùn)動(dòng)問題
(1)注意阻力的三種可能情況：①阻力不計(jì)；②阻力大小恒定；③阻力跟速度（或速度的二次方）大小成正比即f=kv或f=kv2。
(2)上升加速度a=g+f/m=g+kv/m隨速度減小而減小 ；[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
下降加速度a=g-f/m =g-kv/m隨速度增大而減小 。

【模型演練1】(2021·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))甲、乙兩球質(zhì)量分別為m1、m2，從同一地點(diǎn)(足夠高)同時(shí)由靜止釋放。兩球下落過程所受空氣阻力大小f僅與球的速率v成正比，與球的質(zhì)量無關(guān)，即f＝kv(k為正的常量)。兩球的v－t圖象如圖所示。落地前，經(jīng)時(shí)間t0兩球的速度都已達(dá)到各自的穩(wěn)定值v1、v2。則下列判斷正確的是(　　)

A．釋放瞬間甲球加速度較大 B.＝
C．甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量 D．t0時(shí)間內(nèi)兩球下落的高度相等
【答案】　C
【解析】釋放瞬間，兩球受到的阻力均為0，此時(shí)加速度相同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)到最后達(dá)到勻速時(shí)，重力和阻力大小相等，mg＝kv，則＝，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由圖象可知v1＞v2，因此甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量，選項(xiàng)C正確；下落高度等于圖線與時(shí)間軸圍成的面積，可知甲球下落高度大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
【模型演練2】．(多選)(2020·泰安一模)雨滴在空氣中下落時(shí)會(huì)受到空氣阻力的作用。假設(shè)阻力大小只與雨滴的速率成正比，所有雨滴均從相同高處由靜止開始下落，到達(dá)地面前均達(dá)到最大速率。下列判斷正確的是(　　)
A．達(dá)到最大速率前，所有雨滴均做勻加速運(yùn)動(dòng)
B．所有雨滴的最大速率均相等
C．較大的雨滴最大速率也較大
D．較小的雨滴在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)
【答案】CD　
【解析】設(shè)雨滴下落時(shí)受到的阻力為f＝kv，根據(jù)牛頓第二定律：mg－kv＝ma，則雨滴下落時(shí)，隨著速率的增加，加速度逐漸減小，則達(dá)到最大速率前，所有雨滴均做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)a＝0時(shí)速率最大，則vm＝，質(zhì)量越大，則最大速率越大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；較小的雨滴在空中運(yùn)動(dòng)的最大速率較小，整個(gè)過程的平均速率較小，則在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)，選項(xiàng)D正確。
【模型演練3】．將一質(zhì)量為m的物體以初速豎直向上拋出，已知物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力的大小與其運(yùn)動(dòng)速度成正比，比例系數(shù)為k，若物體能夠上升的最大高度為H，則其上升過程所用的時(shí)間應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】對(duì)物體的上升過程，由動(dòng)量定理有：由于If=kH所以mgt+kH=mv0得：
【模型演練4】如圖所示，在光滑的水平面上，有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布在寬度為L(zhǎng)的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為l（l
A. 1：1 B. 2：1 C. 3：1 D. 4：1
【答案】C
【解析】設(shè)導(dǎo)線框完全滑入時(shí)速度為。對(duì)導(dǎo)線框滑入過程，由動(dòng)量定理有：
（其中）同理，對(duì)滑出過程，有解得：
再?gòu)哪芰筷P(guān)系即可得出C正確。
【模型演練5】(多選)(2020·福建省三明市上學(xué)期期末)如圖所示為一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的圓環(huán)，可在水平放置的足夠長(zhǎng)的粗糙細(xì)桿上滑動(dòng)，細(xì)桿處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)給圓環(huán)向右初速度v0，在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的v－t圖象可能是下圖中的(　　)


【答案】　BC
【解析】　當(dāng)qvB＝mg時(shí)，圓環(huán)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)圖象為B，故B正確；當(dāng)qvB＞mg時(shí)，F(xiàn)N＝qvB－mg，此時(shí)：μFN＝ma，所以圓環(huán)做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，直到qvB＝mg時(shí)，圓環(huán)開始做勻速運(yùn)動(dòng)，故C正確；當(dāng)qvB＜mg時(shí)，F(xiàn)N＝mg－qvB，此時(shí)：μFN＝ma，所以圓環(huán)做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，直至停止，所以其v－t圖象的斜率應(yīng)該逐漸增大，故A、D錯(cuò)誤．
【模型演練6】如圖甲所示，左側(cè)接有定值電阻R＝3 Ω的光滑水平導(dǎo)軌處于垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2 T，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)＝1 m．一質(zhì)量m＝2 kg、接入電路的阻值r＝1 Ω的金屬棒在拉力F作用下由靜止開始從CD處沿導(dǎo)軌向右加速運(yùn)動(dòng)，金屬棒與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，金屬棒的v -x圖象如圖乙所示，取g＝10 m/s2.在金屬棒從起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x＝1 m處的過程中，求：

(1)回路中通過電阻R的電荷量q；
(2)金屬棒運(yùn)動(dòng)到x＝1 m處時(shí)所受安培力大小；
(3)定值電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱QR.
【答案】：(1)0.5 C　(2)2 N　(3)0.75 J
【解析】：(1)由E＝，I＝得通過電阻R的電荷量
q＝＝＝0.5 C.
(2)由v -x圖象得 v＝2x
金屬棒所受安培力F安＝＝
可見F安與x為線性關(guān)系
當(dāng)x＝0時(shí)，安培力 F安1＝0
當(dāng)x＝1 m時(shí)，安培力F安2＝2 N
(3)從起點(diǎn)發(fā)生x＝1 m位移的過程中，
克服安培力做功為
W安＝安·x＝·x＝1.0 J
根據(jù)能量守恒，整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力做的功，即Q＝1.0 J
則電阻R上產(chǎn)生的熱量QR＝Q＝Q＝0.75 J.
【模型演練7】(2020·陜西咸陽(yáng)二模)19世紀(jì)末美國(guó)物理學(xué)家密立根進(jìn)行了多次試驗(yàn)，比較準(zhǔn)確地測(cè)定了電子的電量．如圖所示，用噴霧器將油滴噴入電容器的兩塊水平的平行電極板之間時(shí)，油滴經(jīng)噴射后，一般都是帶電的．設(shè)油滴可視為球體，密度為ρ，空氣阻力與油滴半徑平方、與油滴運(yùn)動(dòng)速率成正比．實(shí)驗(yàn)中觀察到，在不加電場(chǎng)的情況下，半徑為r的小油滴1以速度v勻速降落；當(dāng)上下極板間間距為d、加恒定電壓U時(shí)，該油滴以速度0.5v勻速上升．已知重力加速度為g，試求：

(1)此油滴帶什么電？帶電量多大？
(2)當(dāng)保持極板間電壓不變而把極板間距增大到4d，發(fā)現(xiàn)此油滴以另一速度v1勻速下落，求v1與v的比值；
(3)維持極板間距離為d，維持電壓U不變，觀察到另外一個(gè)油滴2，半徑仍為r，正以速度0.5v勻速下降，求油滴2與油滴1帶電量之比．
【答案】　(1)帶負(fù)電　　(2)　(3)1∶3
【解析】　(1)由題意得，油滴帶負(fù)電m＝ρπr3①
不加電場(chǎng)勻速下降，有mg＝kr2v②
當(dāng)油滴以0.5v勻速下降由平衡條件mg＋kr2·0.5v＝q1③
故q1＝
(2)d增大到4倍，根據(jù)平衡條件得mg＝q1＋f1④
f1＝kr2v1⑤
解得＝⑥
(3)設(shè)油滴2的電量為q2，由平衡條件得：
mg＝q2＋kr2·0.5v⑦
解得q2∶q1＝1∶3⑧
【模型三】 機(jī)車啟動(dòng)模型
1.以恒定功率啟動(dòng)
(1)動(dòng)態(tài)過程

(2)這一過程的P－t圖象、v－t圖象和F－t圖象如圖所示：
2.以恒定加速度啟動(dòng)
(1)動(dòng)態(tài)過程

(2)這一過程的P－t圖象、v－t圖象和F－t圖象如圖所示：
3.三個(gè)重要關(guān)系式
(1)機(jī)車以恒定功率運(yùn)行時(shí)，牽引力做的功W＝Pt。由動(dòng)能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式經(jīng)常用于求解機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)過程的位移大小。
(2)機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程中，勻加速過程結(jié)束時(shí)，功率達(dá)到最大，但速度沒有達(dá)到最大，即v＝ (3)無論哪種啟動(dòng)過程，機(jī)車的最大速度都等于其勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)。
4． 傾斜、豎直機(jī)車啟動(dòng)問題

上坡最大速度vm=P/(f+mgsinθ) 下坡最大速度vm=P/(f-mgsinθ) 豎直提升最大速度vm=P/mg[來源:Z*xx*k.Com]
【模型演練1】質(zhì)量為m的汽車沿平直的公路行駛，在時(shí)間t內(nèi)，以恒定功率P由靜止開始經(jīng)過距離s達(dá)到最大速度vm。已知汽車所受的阻力Ff恒定不變，則在這段時(shí)間內(nèi)發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功W可用下列哪些式子計(jì)算(　　)
A．W＝Ffs　 B．W＝Ffvmt C．W＝Ffvmt D．W＝mv
【答案】C　
【解析】發(fā)動(dòng)機(jī)的功率恒定，經(jīng)過時(shí)間t，發(fā)動(dòng)機(jī)做的功為W＝Pt，汽車從靜止到最大速度vm的過程中，由動(dòng)能定理可知W－Ffs＝mv，故W＝mv＋Ffs，A、D錯(cuò)誤；速度達(dá)到最大時(shí)，牽引力等于Ff，P＝Ffvm，所以W＝Ffvmt，B錯(cuò)誤，C正確。
【模型演練2】(2021·蕪湖模擬)一起重機(jī)的鋼繩由靜止開始勻加速提起質(zhì)量為m的重物，當(dāng)重物的速度為v1時(shí)，起重機(jī)的功率達(dá)到最大值P，之后起重機(jī)保持該功率不變，繼續(xù)提升重物，最后重物以最大速度v2勻速上升，不計(jì)鋼繩重力。則整個(gè)過程中，下列說法正確的是(　　)
A．鋼繩的最大拉力為
B．重物勻加速過程的時(shí)間為
C．重物勻加速過程的加速度為
D．速度由v1增大至v2的過程中，重物的平均速度<
【答案】B　
【解析】勻加速過程物體處于超重狀態(tài)，鋼繩拉力較大，勻加速運(yùn)動(dòng)階段鋼繩的拉力為F＝，故A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知F－mg＝ma，結(jié)合v＝at解得a＝－g，t＝，故B正確，C錯(cuò)誤；在速度由v1增大至v2的過程中，重物做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，平均速度>，故D錯(cuò)誤。
【模型演練3】.(2020·吉林五地六校合作體聯(lián)考)一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動(dòng)，在前5 s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，5 s末達(dá)到額定功率，之后保持以額定功率運(yùn)動(dòng)，其v-t圖象如圖所示。已知汽車的質(zhì)量為m＝1×103 kg，汽車受到地面的阻力為車重的0.1倍，g取10 m/s2，則以下說法正確的是(　　)

A．汽車在前5 s內(nèi)的牽引力為5×102 N
B．汽車速度為25 m/s時(shí)的加速度為5 m/s2
C．汽車的額定功率為100 kW
D．汽車的最大速度為80 m/s
【答案】C　
【解析】由圖象可知?jiǎng)蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根據(jù)牛頓第二定律得F－f＝ma，解得牽引力為F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A錯(cuò)誤。額定功率為P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正確。當(dāng)車的速度是25 m/s時(shí)，牽引力F′＝＝ N＝4 000 N，此時(shí)車的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B錯(cuò)誤。當(dāng)牽引力與阻力相等時(shí)，速度最大，最大速度為vm＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D錯(cuò)誤。
【模型演練4】(多選)(2020·天津市普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試，8)復(fù)興號(hào)動(dòng)車在世界上首次實(shí)現(xiàn)速度350 km/h自動(dòng)駕駛功能，成為我國(guó)高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標(biāo)志性成果。一列質(zhì)量為m的動(dòng)車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t達(dá)到該功率下的最大速度vm，設(shè)動(dòng)車行駛過程所受到的阻力F保持不變。動(dòng)車在時(shí)間t內(nèi)(　　)

A．做勻加速直線運(yùn)動(dòng) B．加速度逐漸減小
C．牽引力的功率P＝Fvm D．牽引力做功W＝mv－mv
【答案】　BC
【解析】　由于動(dòng)車以恒定功率啟動(dòng)，則由P＝F牽引力v可知?jiǎng)榆嚨乃俣仍龃髣t牽引力減小，由牛頓第二定律F牽引力－F＝ma得動(dòng)車的加速度逐漸減小，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)動(dòng)車的加速度為零時(shí)，即牽引力等于阻力時(shí)，動(dòng)車的速度最大，即P＝Fvm，C正確；設(shè)動(dòng)車在時(shí)間t內(nèi)的位移為x，由動(dòng)能定理得W－Fx＝mv－mv，則牽引力所做的功為W＝Fx＋mv－mv，D錯(cuò)誤。
【模型演練5】如圖甲所示，用起重機(jī)將地面上靜止的貨物豎直向上吊起，貨物由地面運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過程中，其v－t圖象如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)

發(fā)表評(píng)論