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專題03 斜面模型
目錄
【模型一】 斜面上物體靜摩擦力突變模型 1
【模型二】 斜面體靜摩擦力有無模型 6
【模型三】 物體在斜面上自由運動的性質 14
【模型四】斜面模型的衍生模型----“等時圓”模型 22
1.“光滑斜面”模型常用結論 22
2.“等時圓”模型及其等時性的證明 22
【模型五】功能關系中的斜面模型 27
1.物體在斜面上摩擦力做功的特點 27
2.動能變化量與機械能變化量的區別 27

【模型一】 斜面上物體靜摩擦力突變模型
【模型構建】1.如圖所示，一個質量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面上。


1.試分析m受摩擦力的大小和方向
【解析】：假設斜面光滑，那么物體將在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。說明物體有沿斜面向下運動的趨勢，物體一定受到沿斜面向上的靜摩擦力作用。由平衡條件易得：
2.若斜面上放置的物體沿著斜面勻速下滑時，判斷地面對靜止斜面有無摩擦力。
【解析】：因地面對斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面體水平方向合力是否為零即可。斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物體A對斜面的壓力N和摩擦力f。若設物體A的質量為m，則N和f的水平分量分別為
，方向向右，，方向向左。
可見斜面在水平方向所受合力為零。無左右運動的趨勢，地面對斜面無摩擦力作用。
3.如圖，在固定斜面上的一物塊受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物塊在斜面上保持靜止，F的取值應有一定的范圍，已知其最大值和最小值分別為F1和F2（F2>0）。

設斜面傾角為θ，斜面對物塊的靜摩擦力為f。
(1)當時斜面對物塊無靜摩擦力
(2)當時物塊有相對于斜面向上運動的趨勢靜摩擦力方向向下平衡方程為：
隨著F的增大靜摩擦力增大，當靜摩擦力達到最大值時外力F取最大值F1時，由平衡條件可得：F1=f+mgsinθ---------------------(1)；
(3).當時物塊有相對于斜面向下運動的趨勢靜摩擦力方向向上平衡方程為：
隨著F的增大靜摩擦力減小當靜摩擦力減小為0時突變為(2)中的情形，隨著F的減小靜摩擦力增大，當靜摩擦力達到最大值時外力F取最小值F2時，由平衡條件可得：f+F2= mgsinθ------------------------(2)；
聯立(1)(2)解得物塊與斜面的最大靜摩擦力f=( F2-F1)/2.
【模型演練1】(2019·高考全國卷Ⅰ)如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N.另一端與斜面上的物塊M相連，系統處于靜止狀態．現用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中(　　)

A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M所受細繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
【答案】BD
【解析】　對N進行受力分析如圖所示

因為N的重力與水平拉力F的合力和細繩的拉力T是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細繩的拉力也一直增大，A錯誤，B正確；M的質量與N的質量的大小關系不確定，設斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNg 【模型演練2】(2020·湖北一輪檢測)如圖，小球C置于B物體的光滑半球形凹槽內，B放在長木板A上，整個裝置處于靜止狀態。現緩慢減小木板的傾角θ。在這個過程中，下列說法正確的是(　　)

A．B對A的摩擦力逐漸變大 B．B對A的作用力逐漸變小
C．B對A的壓力不變 D．C對B的壓力不變
【答案】D
【解析】對B、C整體受力分析，受重力mg、斜面A的支持力N和摩擦力f，由平衡條件得知N＝mgcos θ，f＝mgsin θ，緩慢減小木板的傾角θ，N增大，f減小，由牛頓第三定律得知B對A的摩擦力逐漸減小，B對A的壓力增大。根據平衡條件可知A對B的作用力與B和C的重力大小相等，方向相反，所以A對B的作用力不變，根據牛頓第三定律得知B對A的作用力不變，故A、B、C錯誤。由于半球形凹槽光滑，小球只受兩個力：重力和支持力，由平衡條件可知，支持力與重力大小相等，保持不變，則C對B的壓力也保持不變，故D正確。
【模型演練3】（2021·廣東佛山市·佛山一中高一月考）如圖所示，物體A靜止在傾角為30°的斜面體上，現保持斜面體質量不變，將斜面傾角由30°緩慢增大到37°的過程中，兩物體仍保持靜止，則下列說法中正確的是（ ）

A．A對斜面體的壓力減小
B．斜面體對A的摩擦力增大
C．地面對斜面體的支持力減小
D．地面對斜面體的摩擦力增大
【答案】AB
【解析】A．設斜面的傾角為α，物體A的重力為G，作出A的受力如圖

根據平衡條件得：
N = Gcosα
f = mgsinα
當斜面傾角α由30°增大到37°時，cosα減小，則N減小，根據牛頓第三定律得知，A對斜面的壓力大小減小，A正確；
B．當斜面傾角α由30°增大到37°時，sinα增大，則f增大，B正確；
CD．把兩物體看作一個整體，整體只受重力和地面的支持力，不受地面的摩擦力。且地面的支持力總是等于兩物體重力之和，地面的摩擦力總是等于零，CD錯誤。故選AB。
【模型演練4】（2021·吉林省榆樹一中高三上學期1月期末）如圖所示，物體A、B的質量均為m，二者用細繩連接后跨過定滑輪，A靜止在傾角θ=30°的斜面上，B懸掛著，且斜面上方的細繩與斜面平行。若將斜面傾角θ緩慢增大到45°，物體A仍保持靜止，不計滑輪摩擦。則下列判斷正確的是（ ）

A. 物體A對斜面的壓力可能增大
B. 物體A受的靜摩擦力一定減小
C. 物體A受的靜摩擦力可能增大
D. 物體A受斜面的作用力一定減小
【答案】BD
【解析】A．物體A對斜面的壓力為 ，傾角增大,壓力減小，A錯誤；
BC．物體A受的靜摩擦力分別為

A受的靜摩擦力減小，B正確，C錯誤；
D．物體A始終靜止，物體A受斜面的作用力始終等于重力與繩的拉力的合力，繩的拉力始終等于B的重力，其大小不變，兩個分力大小不變，夾角增大，合力減小，D正確。故選BD。
【模型演練5】（2021·山西省長治市第二中學校高一月考）如圖，楔形物塊M固定在水平地面上，其斜面的傾角為。斜面上有一質量為m的小物塊，小物塊與斜面之間存在摩擦。用恒力F沿斜面向上拉小物塊，使之勻速上滑，則m的受力示意圖大致正確的是（ ）
A． B．

C． D．
【答案】B
【解析】對小物塊進行受力分析，受到沿斜面向上的F，豎直向下的重力，處置斜面向上的支持力，因為物塊想對斜面沿斜面向上運動，所欲物塊受到斜面對它沿斜面向下的摩擦力。故選B。
【模型二】斜面體靜摩擦力有無模型
【模型要點】1.質點系牛頓定律
加速度不同時整體法的應用，大多數情況下，當兩物體加速度相同時才考慮整體法，加速度不同時，考慮隔離法。實際上加速度不同時，也可以用整體法，只是此時整體法的含義有所改變。當兩個或兩個以上物體以不同形式連接，構成一個系統，且系統內各物體加速度不相同時，牛頓第二定律照樣能應用于整體。若質量為m1，m2，…，mn的物體組成系統，它們的加速度分別為a1，a2，…，an，牛頓第二定律可寫為
或

其意義為系統受的合外力等于系統內的每一個物體受的合外力的矢量和，或某個方向上，系統受的合外力等于系統內的每一個物體在這個方向上受的合外力的矢量和。
2.自由釋放的滑塊能在斜面上勻速下滑時，m與M之間的動摩擦因數μ＝gtan θ．

3．自由釋放的滑塊在斜面上：
(1)靜止或勻速下滑時，斜面M對水平地面的靜摩擦力為零；
(2)加速下滑時，斜面對水平地面的靜摩擦力水平向右；
(3)減速下滑時，斜面對水平地面的靜摩擦力水平向左．
4．自由釋放的滑塊在斜面上勻速下滑時，M對水平地面的靜摩擦力為零，這一過程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M對水平地面的靜摩擦力依然為零．

5．懸掛有物體的小車在斜面上滑行：

(1)向下的加速度a＝gsin θ時，懸繩穩定時將垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ時，懸繩穩定時將偏離垂直方向向上；
(3)向下的加速度a＜gsin θ時，懸繩將偏離垂直方向向下．
【模型演練1】（2021·安徽省皖西南八校高三上學期12月月考）如圖所示，傾角為37°、質量為10kg的斜面體ABC靜置于粗糙水平地面上，AB面光滑。質量為1kg的物塊（視為質點）從AB面頂端A點由靜止釋放，斜面體始終保持靜止，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。則在物塊下滑的過程中（　　）

A. 物塊的加速度大小為5m/s2
B. 物塊對斜面體的壓力大小為6N
C. 地面對斜面體的摩擦力大小等于4.8N
D. 斜面體對地面的壓力大小為110N
【答案】C
【解析】
A．物塊的加速度大小為選項A錯誤；
B．物塊對斜面體的壓力大小為選項B錯誤；
CD．對物塊和斜面體的整體，水平方向
即地面對斜面體的摩擦力大小等于4.8N；
豎直方向
解得FN=106.4N即斜面體對地面的壓力大小為106.4N，選項C正確，D錯誤。故選C。
【模型演練2】（2021·吉林省榆樹一中高三上學期1月期末）如圖所示，一個小球用不可伸長的輕繩懸掛在小車上，隨小車沿著傾角為的斜面一起下滑，圖中的虛線①與斜面垂直，②沿水平方向，③沿豎直方向，則可判斷出（　　）

A. 如果斜面光滑，則擺線與②重合
B. 如果斜面光滑，則擺線與③重合
C. 如果斜面光滑，則擺線與①重合
D. 如果斜面不光滑，則擺線與②重合
【答案】C
【解析】
如果斜面光滑，根據牛頓第二定律得：對整體：加速度
方向沿斜面向下，對小球合力
則擺線必定與斜面垂直，即擺線與①重合；
如果斜面粗糙能下滑則μ＜tanθ，以整體為研究對象，根據牛頓第二定律得，加速度

由于μ＜tanθ，則μcosθ＜sinθ
a＞0說明加速度方向沿斜面向下，而且a＜gsinθ
因當a=0時擺線位于位置③，斜面光滑時擺線位移位置①，可知斜面粗糙時擺線位于①與③之間．故ABD錯誤，C正確；故選C。
【模型演練3】．（2021·湖南省長郡中學師大附中長沙一中聯合體高三上學期12月月考）如圖所示，斜劈A靜止放置在水平地面上。質量為的物體B以一定的初速度沿斜面減速下滑。現突然對B施加一水平向左的力，斜劈A始終靜止，則對B施加力后，下列說法中正確的是（　　）

A. 物體B的加速度變大
B. 地面対A的摩擦力變大，方向水平向左
C. 地面對A的摩擦力減小，方向水平向左
D. 地面對A無摩擦力
【答案】AB
【解析】
A．對物塊B，沒有施加水平恒力F之前，沿斜面根據牛頓第二定律有

垂直于斜面方向有
施加水平恒力F之后，沿斜面根據牛頓第二定律有
垂直于斜面方向有
聯立解得

故A正確；BCD．將A、B視為整體研究對象，對整體，在沒有水平拉力F之前，整體在水平方向根據牛頓第二定律有施加水平拉力F后，整體在水平方向根據牛頓第二定律有可知即地面對A的摩擦力增大，故B正確，CD錯誤。故選AB。

【模型演練4】（2021·江西高三月考）如圖所示，在傾角為的光滑斜面上，一質量為2m的小車在沿斜面向下的力F作用下沿斜面下滑，在小車下滑的過程中，小車支架上連接著小球（質量為3m）的輕繩恰好水平。則外力F的大小為（　　）（已知重力加速度為g）

A．5mg B．7.5mg C．4.5mg D．3.5mg
【答案】B
【解析】以小球為研究對象，分析受力情況可知，重力3mg、繩的拉力T，小球的加速度方向沿斜面向下，則3mg和T的合力定沿斜面向下，如圖

由牛頓第二定律得
解得
再對整體根據牛頓第二定律可得
解得故選B。
【模型演練5】（2021·江西省六校高三上學期1月月考）如圖所示，傾角為θ的斜面放在粗糙的水平地面上，現有一帶固定支架的滑塊M正沿斜面加速下滑。支架上用細線懸掛質量為m的小球達到穩定(與滑塊相對靜止)后，懸線的方向與豎直方向的夾角也為θ，斜面體始終保持靜止，則下列說法正確的是(　　)

A. 斜面光滑
B. 斜面粗糙
C. 達到穩定狀態后，地面對斜面體的摩擦力水平向左
D. 達到穩定狀態后，地面對斜面體的摩擦力水平向右
【答案】AC
【解析】
AB．如果斜面光滑，根據牛頓第二定律得；對整體，加速度
方向沿斜面向下，對小球，合力F合=ma=mgsinθ則擺線必定與斜面垂直，故A正確，B錯誤；
CD．小球的加速度和整體的加速度相同，對整體，加速度有水平向左的分量，合力水平向左，根據牛頓第二定律，地面對斜面體的摩擦力水平向左，故C正確，D錯誤。
故選AC。
【模型演練6】(2020·廣西桂林市、賀州市、崇左市3月聯合調研)如圖所示，固定在水平面上的斜面體C上放有一個斜劈A，A的上表面水平且放有物塊B.若AB運動過程中始終保持相對靜止．以下說法正確的是(　　)

A．若C斜面光滑，A和B由靜止釋放，在向下運動時，B物塊可能只受兩個力作用
B．若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面減速上滑，則B處于超重狀態
C．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面減速上滑，則B受水平向左的摩擦力
D．若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，則B處于超重狀態
【答案】　C
【解析】　若C斜面光滑，A和B由靜止釋放，在向下運動時，整體加速度方向沿斜面向下，如圖：

可知，B受到重力、支持力和水平向左的摩擦力共三個力作用，故選項A錯誤；若C斜面光滑，A和B以一定的初速度沿斜面減速上滑，則整體加速度方向如圖所示，此時B具有豎直向下的分加速度，即處于失重狀態，故選項B錯誤；若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面減速上滑，則整體加速度方向如圖所示，由于B具有水平向左的分加速度，則根據牛頓第二定律可知B受水平向左的摩擦力，故選項C正確；若C斜面粗糙，A和B以一定的初速度沿斜面加速下滑，則整體加速度方向如圖所示，此時B具有豎直向下的分加速度，即處于失重狀態，故選項D錯誤．
【模型三】 物體在斜面上自由運動的性質
斜面模型是高中物理中最常見的模型之一，斜面問題千變萬化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能運動，運動又分勻速和變速；斜面上的物體既可以左右相連，也可以上下疊加。物體之間可以細繩相連，也可以彈簧相連。求解斜面問題，能否做好斜面上物體的受力分析，尤其是斜面對物體的作用力（彈力和摩擦力）是解決問題的關鍵。

對沿粗糙斜面自由下滑的物體做受力分析，物體受重力、支持力、動摩擦力，由于支持力，則動摩擦力，而重力平行斜面向下的分力為，所以當時，物體沿斜面勻速下滑，由此得，亦即。
1.所以物體在斜面上自由運動的性質只取決于摩擦系數和斜面傾角的關系。
當時，物體沿斜面加速速下滑，加速度；
當時，物體沿斜面勻速下滑，或恰好靜止；
當時，物體若無初速度將靜止于斜面上；
2.對于光滑斜面無論物體下滑還是上滑加速度大小均為：
3.對于粗糙斜面物體下滑過程加速度大小為：
上沖過程加速度大小為：
【模型演練1】(2020·河南鄭州市中原聯盟3月聯考)如圖所示，一傾角θ＝37°的足夠長的斜面固定在水平地面上．當t＝0時，滑塊以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上運動．已知滑塊與斜面間的動摩擦因數μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列說法正確的是(　　)

A．滑塊一直做勻變速直線運動
B．t＝1 s時，滑塊速度減為零，然后靜止在斜面上
C．t＝2 s時，滑塊恰好又回到出發點
D．t＝3 s時，滑塊的速度大小為4 m/s
【答案】　D
【解析】　當滑塊沿斜面向上運動時，做勻減速直線運動，加速度大小為a1＝＝10 m/s2，滑塊沿斜面向上運動的時間為t1＝＝1 s，由于mgsin θ
>μmgcos θ，所以當滑塊沿斜面向上速度減為0時，不會靜止在斜面上，會繼續沿斜面向下做勻加速直線運動，加速度大小為a2＝＝2 m/s2，所以滑塊不是一直做勻變速直線運動，A、B選項錯誤；滑塊上滑時的位移為x＝a1t12＝5 m，沿斜面向下運動回到出發點的時間為t2＝＝ s，C選項錯誤；3 s時滑塊的速度大小為v＝a2t3＝2×(3－1)m/s＝4 m/s，D選項正確．
【模型演練2】(多選)(2020·河南六市4月聯考)如圖所示，a、b小球均能沿各自斜軌道勻速下滑到豎直圓的最低點，現分別讓小球a、b以va、vb的速度沿各自軌道從最低點同時向上滑動，兩小球速度同時減小到0，重力加速度為g，軌道與圓在同一豎直面內，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)

A．a、b小球與斜面間的動摩擦因數之比μa∶μb＝9∶16
B．a、b小球沿斜面向上運動的加速度之比aa∶ab＝4∶3
C．va∶vb＝4∶3
D．兩小球不可能同時達到圓周上
【答案】　BC
【解析】　a、b小球均能沿各自斜軌道勻速下滑，則對a：mgcos 37°＝μamgsin 37°；對b：mgcos 53°
＝μbmgsin 53°，則μa∶μb＝16∶9，選項A錯誤；a、b小球沿斜面向上運動時，對a：mgcos 37°
＋μamgsin 37°＝maa，對b：mgcos 53°＋μbmgsin 53°＝mab，則aa∶ab＝4∶3，選項B正確；兩球速度同時減為零，時間相等，則由v＝at可得va∶vb＝aa∶ab＝4∶3，選項C正確；因為兩小球加速度之比aa∶ab＝4∶3，初速度之比va∶vb＝4∶3，由v＝v0－at可知，任意時刻的速度之比為4∶3，則兩小球的平均速度之比為4∶3；而兩球到達圓周上時位移之比也為4∶3，可知兩小球能夠同時到達圓周上，選項D錯誤．
【模型演練3】.(2020·安徽十校聯盟檢測)如圖所示，質量為m＝1 kg的物塊放在傾角為θ＝37°的斜面底端A點，在沿斜面向上、大小為20 N的恒力F1的作用下，從靜止開始沿斜面向上運動，運動到B點時撤去拉力F1，當物塊運動到C點時速度恰為零，物塊向上加速的時間與減速的時間均為2 s．物塊運動到C點后，再對物塊施加一平行于斜面的拉力F2，使物塊從C點運動到A點的時間與從A點運動到C點的時間相等．已知斜面足夠長，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)物塊與斜面間的動摩擦因數；
(2)拉力F2的大小和方向．
【答案】　(1)0.5 (2)3 N　方向平行斜面向下
【解析】　(1)設物塊向上做加速運動的加速度大小為a1，
根據牛頓第二定律有：F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1
撤去拉力F1后，物塊做勻減速運動，設運動的加速度大小為a2
根據牛頓第二定律有：μmgcos θ＋mgsin θ＝ma2
由于物塊向上加速的時間與減速的時間相等，
即：a1t＝a2t
聯立解得：μ＝0.5
(2)物塊向上運動時，a1＝a2＝10 m/s2，
物塊從A到C運動的距離：
x＝2×a1t2＝40 m
從C點施加平行于斜面的拉力后，根據牛頓第二定律有：
F2＋mgsin θ－μmgcos θ＝ma3
由運動學公式：x＝a3(2t)2
解得：a3＝5 m/s2，F2＝3 N
可知F2方向平行斜面向下．
【模型演練4】(多選)(2020·天津市普通高中學業水平等級考試，8)如圖(a)，一物塊在t＝0時刻滑上一固定斜面，其運動的v -t圖線如圖(b)所示．若重力加
速度及圖中的v0、v1、t1均為已知量，則可求出 (　　)

A．斜面的傾角 B．物塊的質量
C．物塊與斜面間的動摩擦因數 D．物塊沿斜面向上滑行的最大高度
【答案】ACD
【解析】：根據牛頓第二定律，向上滑行過程＝gsin θ＋μgcos θ，向下滑行過程＝gsin θ－μgcos θ，整理可得gsin θ＝，從而可計算出斜面的傾斜角度θ以及動摩擦因數，選項A、C對．小球滑上斜面的初速度v0已知，向上滑行過程為勻變速直線運動，末速度0，那么平均速度即，所以沿

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