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專題07 拋體運動模型
目錄
【平拋運動模型的構建及規律】 1
【三類常見的斜面平拋模型】 5
【半圓模型的平拋運動】 12
【平拋與圓相切模型】 14
【臺階平拋運動模型】 16
【體育生活中平拋運動的臨界模型】 17
【對著豎直墻壁的平拋模型】 20
【斜拋運動模型】 25

【平拋運動模型的構建及規律】
1、平拋運動的條件和性質
（1）條件：物體只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性質：加速度恒定，豎直向下，是勻變速曲線運動。
2、平拋運動的規律
規律：（按水平和豎直兩個方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0為速度的勻速直線運動，
豎直方向：豎直方向只受重力且初速度為零，做自由落體運動，
平拋運動的軌跡：是一條拋物線
合速度：大小：即，
方向：v與水平方向夾角為，即
合位移：大小：即，
方向：S與水平方向夾角為，即
一個關系： ，說明了經過一段時間后，物體位移的方向與該時刻合瞬時速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如圖所示:

3、對平拋運動的研究
（1）平拋運動在空中的飛行時間
由豎直方向上的自由落體運動可以得到時間
可見，平拋運動在空中的飛行時間由拋出點到落地點的豎直距離和該地的重力加速度決定，拋出點越高或者該地的重力加速度越小，拋體飛行的時間就越長，與拋出時的初速度大小無關。
（2）平拋運動的射程
由平拋運動的軌跡方程可以寫出其水平射程
可見，在g一定的情況下，平拋運動的射程與初速度成正比，與拋出點高度的平方根成正比，即拋出的速度越大、拋出點到落地點的高度越大時，射程也越大。
（3）平拋運動軌跡的研究
平拋運動的拋出速度越大時，拋物線的開口就越大。
【模型演練1】.(2020·全國名校11月大聯考)如圖所示，xOy是平面直角坐標系，Ox水平、Oy豎直，一質點從O點開始做平拋運動，P點是軌跡上的一點．質點在P點的速度大小為v，方向沿該點所在軌跡的切線．M點為P點在Ox軸上的投影，P點速度方向的反向延長線與Ox軸相交于Q點．已知平拋的初速度為20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2，則下列說法正確的是(　　)

A．QM的長度為10 m
B．質點從O到P的運動時間為1 s
C．質點在P點的速度大小為40 m/s
D．質點在P點的速度與水平方向的夾角為45°
【答案】　D
【解析】　根據平拋運動在豎直方向做自由落體運動有：h＝gt2，可得t＝2 s；質點在水平方向的位移為：x＝v0t＝40 m，即OM＝40 m，根據平拋運動的推論可知Q是OM的中點，所以QM＝20 m，故A、B錯誤；質點在P點的豎直速度：vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以質點在P點的速度為：v＝＝ m/s＝20 m/s，故C錯誤；因為tan θ＝＝1，所以質點在P點的速度與水平方向的夾角為45°，故D正確．
【模型演練2】(2020·全國卷Ⅱ·16)如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個坑，該坑沿摩托車前進方向的水平寬度為3h，其左邊緣a點比右邊緣b點高0.5h.若摩托車經過a點時的動能為E1，它會落到坑內c點．c與a的水平距離和高度差均為h；若經過a點時的動能為E2，該摩托車恰能越過坑到達b點.等于(　　)

A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
【答案】　B
【解析】　摩托車從a點做平拋運動到c點，水平方向：h＝v1t1，豎直方向：h＝gt12，可解得v1＝，動能E1＝mv12＝；摩托車從a點做平拋運動到b點，水平方向：3h＝v2t2，豎直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，動能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正確．
【模型演練3】(2020·山東濱州二模)如圖所示，在豎直平面內有一曲面，曲面方程為y＝x2，在y軸上有一點P，坐標為(0，6 m)。從P點將一小球水平拋出，初速度為1 m/s。則小球第一次打在曲面上的位置為(不計空氣阻力，g取10 m/s2)(　　)

A.(3 m，3 m) B.(2 m，4 m)
C.(1 m，1 m) D.(1 m，2 m)
【答案】　C
【解析】　設小球經過時間t打在曲面上M(x，y)點，則水平方向：x＝v0t，豎直方向上：6－y＝gt2，又因為y＝x2，可解得x＝1 m，y＝1 m，故C正確，A、B、D錯誤。
【模型演練4】（2021屆遼寧省營口市高三模擬）如圖所示，軸在水平地面上，軸在豎直方向，圖中畫出了從軸上不同位置沿軸正向水平拋出的三個小球、和的運動軌跡。小球從拋出，落在處；小球、均從拋出，分別落在和處。不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

A．和的初速度相同 B．和的運動時間相同
C．的初速度是的2倍 D．的運動時間是的2倍
【答案】BC
【解析】BD．a、b和c小球豎直方向下落高度分別為2L、L、L，由
可得它們運動時間分別為 故B正確，D錯誤；AC．a、b和c小球水平方向位移分別為2L、2L、L，由可得它們初速度分別為
故A錯誤，C正確。故選BC。
【模型演練5】(2021·云南保山一模)如圖所示，虛線是小球由空中某點水平拋出的運動軌跡，A、B為其運動軌跡上的兩點。小球經過A點時，速度大小為10 m/s、與豎直方向夾角為60°；它運動到B點時，速度方向與豎直方向夾角為30°，不計空氣阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列說法中正確的是 (　　)

A．小球通過B點的速度為12 m/s
B．小球的拋出速度為5 m/s
C．小球從A點運動到B點的時間為1 s
D．A、B之間的距離為6 m
【答案】　C
【解析】　由平拋運動規律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，選項A、B錯誤；豎直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，選項C正確；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，選項D錯誤。
【三類常見的斜面平拋模型】
類型一：沿著斜面平拋
1.斜面上平拋運動的時間的計算
斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平拋運動的推論
根據推論可知，tanα=2tanθ，同一個斜面同一個θ，所以，無論平拋初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.與斜面的最大距離問題
兩種分解方法：


【構建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體，物體落在斜面上的B點，不計空氣阻力．

法一：(1) 以拋出點為坐標原點，沿斜面方向為x軸，垂直于斜面方向為y軸，建立坐標系，如圖(a)所示

vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運動，垂直于斜面方向做初速度為vy、加速度為ay的勻減速直線運動，類似于豎直上拋運動．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)當t＝時，物體離斜面最遠，由對稱性可知總飛行時間T＝2t＝，
A、B間距離s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如圖(b)所示，當速度方向與斜面平行時，離斜面最遠，v的切線反向延長與v0交點為此時橫坐標的中點P，

則tan θ＝＝，
t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B間距離s＝＝.
法三：(1)設物體運動到C點離斜面最遠，所用時

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