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專題08 水平面內(nèi)的圓周運動模型
目錄
【模型一】圓錐擺模型 1
【模型二】圓錐斗、圓碗模型 8
【模型三】火車轉(zhuǎn)彎模型 10
【模型四】水平路面轉(zhuǎn)彎模型 12
【模型五】圓盤模型 15

【模型一】圓錐擺模型
1．結(jié)構(gòu)特點：一根質(zhì)量和伸長可以不計的輕細(xì)線，上端固定，下端系一個可以視為質(zhì)點的擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，細(xì)繩所掠過的路徑為圓錐表面。

2．受力特點：擺球質(zhì)量為，只受兩個力即豎直向下的重力和沿擺線方向的拉力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力與擺球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．運動特點：擺長為，擺線與豎直方向的夾角為的圓錐擺，擺球做圓周運動的圓心是O，圓周運動的軌道半徑是
向心力
擺線的拉力
【討論】：(1)當(dāng)擺長一定，擺球在同一地點、不同高度的水平面內(nèi)分別做勻速圓周運動時，據(jù)可知，若角速度越大，則越大，擺線拉力也越大，向心加速度也越大，線速度=也越大。
結(jié)論是：同一圓錐擺，在同一地點，若越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，轉(zhuǎn)動的越快，運動的也越快，。
(2)當(dāng)為定值時（為擺球的軌道面到懸點的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質(zhì)量相等、擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則擺線拉力，向心力，向心加速度，角速度，線速度。

結(jié)論是：在同一地點，擺球的質(zhì)量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉(zhuǎn)動的快慢相等，但角大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運動得快。
4.多繩圓錐擺問題
隨角速度增大，兩繩的拉力如何變化？

【模型演練1】.(多選)(2020·四川成都七中5月測試)天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn)．一根輕繩穿過P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．設(shè)兩球同時做如圖6所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則(　　)

A．兩球運動的周期相等
B．兩球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距離之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距離之比等于m1∶m2
【答案】　AC
【解析】　對其中一個小球受力分析，其受到重力和繩的拉力FT，繩的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，設(shè)輕繩與豎直方向的夾角為θ，則有FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，設(shè)該小球到P的距離為l，則有FTsin θ＝mgtan θ＝mlsin θ，解得周期為T＝2π＝2π，因為任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，故兩球運動的周期相等，選項A正確；連接兩球的繩的張力FT相等，由于向心力為Fn＝FTsin θ＝mω2lsin θ，故m與l成反比，即＝，又小球的向心加速度a＝ω2htan θ＝()2htan θ，故向心加速度大小不相等，選項C正確，B、D錯誤．
【模型演練2】(多選)(2020·山東濟(jì)南市歷城二中一模)如圖所示，金屬塊Q放在帶光滑小孔的水平桌面上，一根穿過小孔的不可伸長的細(xì)線，上端固定在Q上，下端拴一個小球．小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運動(圓錐擺)，細(xì)線與豎直方向成30°角(圖中P位置)．現(xiàn)使小球在更高的水平面上做勻速圓周運動，細(xì)線與豎直方向成60°角(圖中P′位置)．兩種情況下，金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下面說法正確的是(　　)

A．Q受到桌面的靜摩擦力大小不變
B．小球運動的角速度變大
C．細(xì)線所受的拉力之比為2∶1
D．小球的向心力大小之比為3∶1
【答案】　BD
【解析】　設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為FT，細(xì)線的長度為L.小球做勻速圓周運動時，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，則有：FT＝；向心力：Fn＝mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度：ω＝，使小球在一個更高的水平面上做勻速圓周運動時，θ增大，cos θ減小，則得到細(xì)線拉力FT增大，角速度ω增大．對Q，由平衡條件得知，Q受到桌面的靜摩擦力等于細(xì)線的拉力大小，細(xì)線拉力FT增大，則靜摩擦力變大，故A錯誤，B正確；開始時細(xì)線所受的拉力：FT1＝＝，θ增大為60°后細(xì)線所受的拉力：FT2＝＝2mg，所以：＝，故C錯誤；開始時小球的向心力：Fn1＝mgtan 30°＝mg，θ增大為60°后的向心力：Fn2＝mgtan 60°＝mg，所以：＝，故D正確．
【模型演練3】(2020·山東濱州二模)(多選)如圖所示，置于豎直面內(nèi)的光滑金屬圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長為r的細(xì)繩一端系于圓環(huán)最高點，另一端系小球，當(dāng)圓環(huán)以角速度ω(ω≠0)繞豎直直徑轉(zhuǎn)動時(　　)

A．細(xì)繩對小球的拉力可能為零
B．細(xì)繩和金屬圓環(huán)對小球的作用力大小可能相等
C．細(xì)繩對小球拉力與小球的重力大小不可能相等
D．當(dāng)ω＝時，金屬圓環(huán)對小球的作用力為零
【答案】　CD
【解析】　圓環(huán)光滑，小球受到重力、環(huán)對球的彈力和繩子的拉力，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時細(xì)繩與豎直方向的夾角為60°，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時，小球繞豎直軸做圓周運動，
則有FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg，F(xiàn)Tsin 60°－FNsin 60°＝mω2rsin 60°，解得FT＝mg＋mω2r，F(xiàn)N＝mg－mω2r, 當(dāng)ω＝時，金屬圓環(huán)對小球的作用力FN＝0，故C、D正確，A、B錯誤．
【模型演練4】(多選)(2021·河南示范性高中聯(lián)考)如圖所示，A、B兩小球用一根輕繩連接，輕繩跨過圓錐筒頂點處的光滑小定滑輪，圓錐筒的側(cè)面光滑。當(dāng)圓錐筒繞豎直對稱軸OO′勻速轉(zhuǎn)動時，兩球都位于筒側(cè)面上，且與筒保持相對靜止，小球A到頂點O的距離大于小球B到頂點O的距離，則下列判斷正確的是(　　)

A．A球的質(zhì)量大 B．B球的質(zhì)量大
C．A球?qū)A錐筒側(cè)面的壓力大 D．B球?qū)A錐筒側(cè)面的壓力大
【答案】BD　
【解析】本題考查圓錐面內(nèi)的圓周運動問題。繩對A、B兩球的拉力大小相等，設(shè)繩子對小球的拉力大小為T，側(cè)面對小球的支持力大小為F，則豎直方向有Tcos θ＋Fsin θ＝mg，水平方向有Tsin θ－Fcos θ＝mω2lsin θ，可得T＝mgcos θ＋mω2lsin 2θ，可知質(zhì)量m越大，l就越小，則B球的質(zhì)量大，又T＝，可知m越大，F(xiàn)就越大，則B球受圓錐筒側(cè)面的支持力大，結(jié)合牛頓第三定律可知選項B、D正確，A、C錯誤。
【模型演練5】(2020·蘭州質(zhì)檢)如圖所示，轉(zhuǎn)動軸垂直于光滑水平面，交點O的上方h(A點)處固定細(xì)繩的一端，細(xì)繩的另一端拴接一質(zhì)量為m的小球B，繩長l大于h，轉(zhuǎn)動軸帶動小球在光滑水平面上做圓周運動。當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度ω逐漸增大時，下列說法正確的是(　　)

A．小球始終受三個力的作用
B．細(xì)繩上的拉力始終保持不變
C．要使球不離開水平面，角速度的最大值為
D．若小球飛離了水平面，則角速度可能為
【答案】C
【解析】小球可以在水平面上轉(zhuǎn)動，也可以飛離水平面，飛離水平面后只受重力和細(xì)繩的拉力兩個力作用，故選項A錯誤；小球飛離水平面后，隨著角速度增大，細(xì)繩與豎直方向的夾角變大，設(shè)為β，由牛頓第二定律得Tsin β＝mω2lsin β可知，隨角速度變化，細(xì)繩的拉力T會發(fā)生變化，故選項B錯誤；當(dāng)小球?qū)λ矫娴膲毫榱銜r，有Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mlω2sin θ，解得臨界角速度為ω＝＝，若小球飛離了水平面，則角速度大于，而<，故選項C正確，D錯誤。
【模型演練6】(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點和B點，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)

A．a(chǎn)繩的張力不可能為零
B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當(dāng)角速度ω>時，b繩將出現(xiàn)彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
【答案】AC　
【解析】對小球受力分析，可得a繩的彈力在豎直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta＝，為定值，A正確，B錯誤。當(dāng)Tacos θ＝mω2l，即ω＝時，b繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出現(xiàn)彈力，C正確。由于繩b可能沒有彈力，故繩b突然被剪斷，則a繩的彈力可能不變，D錯誤。
【模型演練7】(2020·海南?？谝恢懈呷驴?如圖所示，內(nèi)壁光滑的豎直圓桶，繞中心軸做勻速圓周運動，一物塊用細(xì)繩系著，繩的另一端系于圓桶上表面圓心，且物塊貼著圓桶內(nèi)表面隨圓桶一起轉(zhuǎn)動，則(　　)

A.繩的張力可能為零
B.桶對物塊的彈力不可能為零
C.隨著轉(zhuǎn)動的角速度增大，繩的張力保持不變
D.隨著轉(zhuǎn)動的角速度增大，繩的張力一定增大
【答案】　C
【解析】　當(dāng)物塊隨圓桶做圓周運動時，繩的拉力的豎直分力與物塊的重力保持平衡，因此繩的張力為一定值，且不可能為零，故A、D錯誤，C正確；當(dāng)繩的水平分力提供向心力的時候，桶對物塊的彈力恰好為零，故B錯誤.
【模型演練8】（2021屆重慶市實驗外國語學(xué)校高三模擬）如圖所示，兩段長均為L的輕繩共同系住一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在等高的兩點O1、O2，兩點的距離也為L，在最低點給小球一個水平向里的初速度v0，小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動，重力加速度為g，則（ ）

A．小球運動到最高點的速度
B．小球運動到最高點的速度
C．小球在最低點時每段繩子的拉力
D．小球在最低點時每段繩子的拉力
【答案】AD
【解析】小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動的條件是重力提供向心力，則，，解得：，A正確；B錯誤；小球在最低點，由向心力公式得：，每段繩子的拉力，由以上兩式解得：，C錯誤；D正確；故選AD。
【模型演練9】．質(zhì)量分別為M和m的兩個小球，分別用長2l和l的輕繩拴在同一轉(zhuǎn)軸上，當(dāng)轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，拴質(zhì)量為M和m的小球懸線與豎直方向夾角分別為α和β，如圖所示，則 (　　)

A．cos α＝ B．cos α＝2cos β
C．tan α＝ D．tan α＝tan β
【答案】：A
【解析】：以M為研究對象受力分析，由牛頓第二定律得Mgtan α＝Mω·2lsin α，解得ω＝.同理，以m為研究對象ω＝.因ω1＝ω2，所以2cos α＝cos β，故A正確．
【模型演練10】．(2020·山東德州月考)一豎直桿上相距L的A、B兩點拴著一根不可伸長的輕繩，繩長1.4L，繩上套著一個光滑的小鐵環(huán)，設(shè)法轉(zhuǎn)動豎直桿，不讓繩纏繞在桿上，而讓小鐵環(huán)在某水平面上做勻速圓周運動，如圖所示．當(dāng)兩段繩成直角時，求小鐵環(huán)轉(zhuǎn)動的周期．已知重力加速度為g.

【答案】：
【解析】：設(shè)兩段繩呈直角時小鐵環(huán)所在的位置為O點，∠BAO＝θ，繩中拉力為F.由牛頓第二定律得：
Fcos θ＝Fsin θ＋mg①
Fsin θ＋Fcos θ＝ma②
由圓周運動規(guī)律得：a＝()2r③
由幾何關(guān)系得：
r＝Lcos θsin θ④
Lcos θ＋Lsin θ＝1.4L⑤
由①得：cos θ>sin θ⑥
由⑤⑥解得：sin θ＝0.6，cos θ＝0.8⑦
則由①②③④⑤⑦解得T＝
【模型二】圓錐斗、圓碗模型
一．圓錐斗
1.結(jié)構(gòu)特點：內(nèi)壁為圓錐的錐面，光滑，軸線垂直于水平面且固定不動，可視為質(zhì)點的小球緊貼著內(nèi)壁在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動。
2.受力特點：小球質(zhì)量為，受兩個力即豎直向下的重力和垂直內(nèi)壁沿斜向上方向的支持力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示
3.運動特點：軸線與圓錐的母線夾角，小球的軌道面距地面高度，圓周軌道的圓心是O，軌道半徑是, 則有
向心力.
支持力.
由此得，，。
結(jié)論是：在同一地點，同一錐形斗內(nèi)在不同高度的水平面內(nèi)做勻速圓周運動的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，則轉(zhuǎn)動的越慢，而運動的越快。
二．圓碗
受力分析運動分析 正交分解x軸指向心 列方程求解 規(guī)律
x:FNsinθ=mω2r
y:FNcosθ=mg
r=Rsinθ
an=gtanθ;
①同角同向心加速度（B和C）
②同高同角速度（A和C）

【模型演練1】(2021·東北師大等聯(lián)盟學(xué)校檢測)(多選)如圖所示，兩個圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°，有A、B兩個質(zhì)量相同的小球在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓周運動，下列說法正確的是(　　)

A.A、B球受到的支持力之比為∶3
B.A、B球的向心力之比為∶1
C.A、B球運動的角速度之比為3∶1
D.A、B球運動的線速度之比為1∶1
【答案】　CD
【解析】　設(shè)小球受到的支持力為FN，向心力為F，則有FNsin θ＝mg，F(xiàn)NA∶FNB＝∶1，選項A錯誤；F＝，F(xiàn)A∶FB＝3∶1，選項B錯誤；小球運動軌道高度相同，則半徑R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，選項C正確；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，選項D正確.
【模型演練2】(2020·江蘇宿遷市2月調(diào)研)如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動.質(zhì)量不同的小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止，A、B和球心O點連線與豎直方向的夾角分別為α和β，α>β，則(　　)

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