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專題1 應用動力學和功能觀點分析電場內的問題
一、單項選擇題
1．如題圖所示，真空中豎直平面內的三點A、B、C構成直角三角形，其中AC豎直，長度為L，∠ABC=30°。勻強電場在A、B、C所決定的平面內，電場強度為E，電場方向與AB平行。現將質量為m的帶電小球以初動能Ek沿CA方向從C點射出，小球通過B點時速度恰好沿AB方向，已知重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）

A．小球所受電場力為所受重力的3倍
B．經過時間，小球電勢能和重力勢能之和最大
C．從C到B，小球做勻變速直線運動
D．從C到B，小球克服重力做功與電場力做功之比為1：
【答案】B
【解析】A．設小球在C點的速度為vy，在B點速度為vx，AB的長度

設從C到B的時間為t，有


解得

根據速度—時間關系v=at可得

解得

故A錯誤；
B．設電場力和重力的合力與水平方向的夾角為θ，則有


則合加速度為

將小球的初速度分解為沿合外力的方向和與合外力垂直的方向，小球電勢能和重力勢能之和最大時，小球動能最小，合外力方向的分速度減為零，該過程所用時間

解得

故B正確；
C．從C到B，小球加速度恒定，但與小球速度不共線，故小球做勻變速曲線運動，故C錯誤；
D．從C到B，小球克服重力做的功為

電場力所做的功為

則小球克服重力做的功與電場力做的功的比值為

故D錯誤。
故選B。
2．如圖所示，勻強電場方向平行于斜面向下，在足夠長的絕緣斜面上，帶正電的物體從底端沿斜面向上做勻變速運動，在斜面底端時，動能為100 J，第一次到A點時動能減少了80J，電勢能增加了48J，重力勢能增加了12J，物體再次回到斜面底端時的動能為（　　）


A．50 J B．40J C．20J D．60J
【答案】A
【解析】設斜面底端電勢能和重力勢能為零，經過斜面底端時動能為100J，到A點時動能減少了80J，電勢能增加了48J，重力勢能增加了12J，則到達B點時，， ， ，根據能量守恒，則從底端到A點時，克服摩擦力做的功為20J，從A點到達最高點，與從斜面底端到A能量分配相同， 則從A點到最高點的克服摩擦力做的功為

物體再次回到斜面底端時的動能為

故選A。
3．如圖所示，豎直向上的勻強電場中，一豎直絕緣輕彈簧的下端固定在地面上，上端連接一帶正電小球，小球靜止時位于N點，彈簧恰好處于原長狀態。保持小球的帶電量不變，現將小球提高到M點由靜止釋放。則釋放后小球從M點向下運動的過程中（　　）

A．小球向下運動的過程中，小球和彈簧組成的系統機械能減小
B．從M到N運動過程中，小球重力勢能和彈簧彈性勢能的減少量等于小球電勢能的增加量
C．向下運動的過程中，在重力與電場力等大反向的位置處，小球有最大速度
D．小球動能的增加量等于電場力和重力做功的代數和
【答案】A
【解析】A．根據功能關系

小球向下運動的過程中，電場力做負功，電勢能增加，則小球和彈簧組成的系統機械能減小，所以A正確；
B．從M到N運動過程中，小球重力勢能和彈簧彈性勢能的減少量等于小球電勢能和動能的增加量，所以B錯誤；
C．向下運動的過程中，重力與電場力總是等大反向，在N點彈簧處于原長時，合外力為0，加速度為0，則小球才有最大速度，所以C錯誤；
D．由動能定理可知，小球動能的增加量等于電場力、彈簧彈力和重力做功的代數和，所以D錯誤；
故選A。
4．如圖所示，xOy坐標系內存在平行于坐標平面的勻強電場。一個質量為m，電荷量為的帶電粒子，以的速度沿AB方向入射，粒子恰好以最小的速度垂直于y軸擊中C點。已知A、B、C三個點的坐標分別為、、。若不計重力與空氣阻力，則下列說法中正確的是（　　）

A．帶電粒子由A到C過程中最小速度一定為
B．帶電粒子由A到C過程中電勢能先減小后增大
C．勻強電場的場強大小為
D．若勻強電場的大小和方向可調節，粒子恰好能沿AB直線方向到達B點，則此狀態下電場強度大小為
【答案】D
【解析】A．根據題意可知

由于粒子恰好以最小的速度垂直于y軸擊中C點，則C點的速度最小且沿水平方向，故帶電粒子受到的電場力方向一定沿-y方向，將初速度沿豎直方向和水平方向分解，水平方向粒子做勻速直線運動，其速度為

豎直方向速度減為零時速度最小等于水平分速度，所以帶電粒子由A到C過程中最小速度一定為，A錯誤；
B．帶電粒子由A到C過程中電場力一定做負功，電勢能增大，B錯誤；
C．根據幾何關系可知OC=L，從A到C根據動能定理可得

解得勻強電場的大小為

C錯誤；
D．若勻強電場的大小和方向可調節，粒子恰好能沿AB方向到達B點，則電場線方向沿BA方向，根據動能定理可得

解得此狀態下電場強度大小為

D正確。
故選D。
5．如圖所示，某一正點電荷固定在傾角為30°的光滑絕緣斜面底端C點，斜面上有A、B、D三點，A和C相距為L，B為中點，D為A、B的中點。現將一質量為m、帶電量為q的小球從A點由靜止釋放，運動到B點時的速度恰好為零。已知重力加速度為g，帶電小球在A點處的加速度大小為，靜電力常量為k。則（　　）

A．小球從A到B的過程中，速度最大的位置在之間
B．小球運動到B點時的加速度大小為
C．之間的電勢差等于之間的電勢差
D．之間的電勢差大于
【答案】B
【解析】A．帶電小球在點時受到的庫侖力大小為

在點處根據牛頓第二定律得

解得

帶電小球在點時受到的庫侖力大小為

小球在點時合力方向沿斜面向下，加速度不等于零，速度不是最大，A錯誤；
B．帶電小球在點時受到的庫侖力大小為

根據牛頓第二定律得

解得

B正確；
C．點電荷的電場是非勻強電場，由點電荷電場特點可知，之間的電場強度大于之間的電場強度，由

可知之間的電勢差大于之間的電勢差，C錯誤；
D．到根據動能定理可得

解得

則

D錯誤。
故選B。
6．如圖所示，在光滑絕緣水平面上，A、B兩個小球質量分別為2m和m，兩球均帶正電，某時刻A有指向B的初速度v0，B的速度為0，之后兩球在運動中始終未相碰，當兩球從此刻開始到相距最近的過程中，下列說法正確的是（　　）

A．兩球系統動量守恒，機械能守恒 B．兩球系統電勢能增加了
C．電場力對A球做的功為 D．電場力對B球做的功為
【答案】C
【解析】A．兩球系統所受合力為0，則系統動量守恒，但兩球相互靠近過程中電場力做負功，機械能減小，故A錯誤；
B．當兩球速度相等時，兩球相距最近，由動量守恒有

得

由能量守恒可知，兩球系統電勢能增加

故B錯誤；
C．由動能定理可知，電場力對A球做的功為

故C正確；
D．由動能定理得，電場力對B球做的功為

故D錯誤。
故選C。
7．如圖所示，在光滑絕緣水平面上的P點正上方O點固定了一電荷量為＋Q的正點電荷，在水平面上的N點，由靜止釋放一質量為m．電荷量為-q的負檢驗電荷，該檢驗電荷經過P點時速度為v，圖中θ＝60°，規定電場中 P點的電勢為零，則在＋Q形成的電場中，下列判斷正確的是（ ）

A．P點電場強度大小是N點的2倍
B．N點電勢高于P點電勢
C．N點電勢為
D．檢驗電荷在N點具有的電勢能為
【答案】C
【解析】B ．根據順著電場線方向電勢降低可知，M點的電勢高于N點的電勢，而M．P兩點的電勢相等，則N點電勢低于P點電勢．故A錯誤；
A ．P點電場強度大小是，N點電場強度大小是，則，故B錯誤；
C．根據動能定理得：檢驗電荷由N到P的過程，，由題，P點的電勢為零，即φP=0，解得，N點的電勢，故C正確；
D．檢驗電荷在N點具有的電勢能為，故D錯誤。
故選C。
8．如圖所示，在豎直放置的光滑半圓形絕緣細管的圓心O處放一點電荷。現將質量為m、電荷量為q的小球從半圓形管的水平直徑端點A靜止釋放，小球沿細管滑到最低點B時，對管壁恰好無壓力。若小球所帶電量很小，不影響O點處的點電荷的電場，則置于圓心處的點電荷在B點處的電場強度的大小為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設細管的半徑為R，小球到達B點時速度大小為v，小球從A滑到B的過程，恰好沿著圓心O處點電荷的等勢線運動，靜電力不做功，機械能守恒定律，所以有

小球經過B點時，由牛頓第二定律得

聯立以上兩式解得

故選C。

二、多項選擇題
9．如圖所示，不帶電物體A和帶電量為q（）的物體B用跨過定滑輪的絕緣輕繩連接，物體B靜止在傾角為且足夠長的斜面上，A、B的質量分別為m和，勁度系數為k的輕彈簧一端固定在水平面上，另一端與物體A相連，整個系統不計一切摩擦。某時刻，施加一場強大小為，方向沿斜面向下的勻強電場，如圖所示，在物體B獲得最大速度的過程中彈簧未超過彈性限度，下列說法正確的是（　　）

A．施加電場的初始時刻，物體B的加速度為
B．物體B的速度最大時，彈簧的伸長量為
C．物體B從開始運動到最大速度的過程中，系統電勢能的減少量為
D．物體B從開始運動到最大速度的過程中，物體A和物體B機械能的增加之和為
【答案】AC
【解析】A．施加電場的初始時刻，A和B系統的合外力大小等于電場力的大小，即

由牛頓第二定律知

選項A正確；
B．物體B的速度最大時，A和B系統的合外力大小為0，此時彈簧彈力

由胡克定律得彈簧的伸長量

選項B錯誤；
C．沒有施加電場的時候彈簧的彈力

彈簧的伸長量

此過程中物塊B的位移大小

電勢能的減少量

選項C正確；
D．此過程中，彈簧、物塊A和物塊B三者組成的系統機械能的增加量為，選項D錯誤。
故選AC。
10．一小球從A點豎直拋出，在空中同時受到水平向右的恒力，運動軌跡如圖，兩點在同一水平線上，為軌跡的最高點，小球拋出時動能為，在點的動能為，不計空氣阻力。則（　　）

A．小球水平位移，與的比值為 B．小球水平位移與的比值為
C．小球落到點時的動能為 D．小球從A點運動到點過程中最小動能為
【答案】BC
【解析】AB．小球在豎直方向上做豎直上拋運動，根據對稱性得知，從A 點至點和從點至點的時間相等，小球在水平方向上做初速度為零的勻加速直線運動，設加速度為，根據位移時間公式


聯立可得

A錯誤B正確；
C．小球從A到，由功能關系知在水平方向上恒力做功為

則從A到水平方向上恒力做功為

根據能量守恒可知，小球運動到點時的動能為

C正確；
D．據運動軌跡，小球的運動方向與加速度的方向垂直時，小球的速度最小，則小球從A到過程最小速度一定與等效垂直，在之間，最小動能小于，D錯誤。
故選BC。
11．有三個質量相等、分別帶有正電與負電及不帶電的微粒，從極板左側中央以相同的水平初速度v先后垂直場強射入，分別落到極板A、B、C處，如圖所示．則下列說法正確的有 （　　）

A．粒子A帶負電，B不帶電，C帶正電
B．三個粒子在電場中運動的時間不相等
C．三個粒子在電場中運動的加速度aA D．三個粒子到達極板時的動能EA>EB>EC
【答案】BC
【解析】ABC．三個微粒的初速度相等，水平位移，根據水平方向上做勻速直線運動，所以由公式

得

三個微粒在豎直方向上的位移相等，根據

得

從而得知B僅受重力作用，A受電場力向上，C所受的電場力向下，所以B不帶電，A帶正電，C帶負電，A錯誤，BC正確；
D．根據動能定理，三個微粒重力做功相等，A電場力做負功，C電場力做正功，所以C的動能變化量最大，A的動能變化量最小，初動能相等，所以三個微粒到達極板時的動能為

D錯誤。
故選BC。
12．如圖甲所示，絕緣水平傳送帶與豎直放置的半圓形軌道底部平滑相接。半圓形軌道絕緣、光滑，半徑為R=0.45m，處在水平向右的勻強電場中，半圓形軌道的豎直直徑是電場的左邊界，電場的場強大小為×103N/C。一質量為0.1kg，電荷量為＋q=1.0×10-3C的小物塊自半圓形軌道某位置自由滑下，滑至底端并沖上傳送帶，在傳送帶上運動的速度—時間圖象如圖乙所示（以向右為正方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），下面說法正確的是（g取10m/s2）（　　）

A．傳送帶至少長4.5m，傳送帶速度最小為3m/s
B．小物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.1
C．小物塊開始滑下的位置與半圓形軌道底端的高度差為0.45m
D．小物塊在半圓形軌道上滑動時對軌道的最大壓力為2N
【答案】ABD
【解析】B．由題圖乙可知小物塊在傳送帶上運動的加速度大小

根據

可知

B正確；
A．小物塊向左運動的最大位移

因為小物塊滑上和離開傳送帶的速度均為3m/s，所以傳送帶的速度至少為3m/s，A正確；
C．設小物塊開始滑下的位置在圓心上方，小物塊與圓心的連線跟水平方向的夾角為θ，對小物塊，從開始到半圓軌道底端，根據動能定理有

解得

小物塊開始滑下的位置P到傳送帶的高度

C錯誤；
D．物塊受到的電場力qE和重力mg的合力

與豎直方向夾角

成30°角斜向右下方，設小物塊到達等效重力場的最低點Q（由幾何關系可知OQ與OP垂直）時的速度為v，根據動能定理有

對小物塊有

解得

D正確。
故選ABD。
三、非選擇題
13．如圖所示，BCDG是光滑絕緣的圓形軌道，位于豎直平面內，軌道半徑為R，下端與水平絕緣軌道在B點平滑連接，整個軌道處在水平向左的勻強電場中，現有一質量為m、帶正電的小滑塊（可視為質點）置于水平軌道上，滑塊受到的電場力大小為mg，滑塊與水平軌道間的動摩擦因數為0.5，重力加速度為g。
(1)若滑塊從水平軌道上距離B點s=3R的A點由靜止釋放，滑塊到達與圓心O等高的C點時速度為多大？
(2)在(1)的情況下，求滑塊到達C點時受到軌道的作用力的大小。
(3)改變s的大小，使滑塊恰好始終沿軌道滑行，且從G點飛出軌道，求滑塊在圓軌道上滑行過程中的最小速度的大小。

【答案】(1)；(2)mg；(3)
【解析】(1)設滑塊到達C點時的速度為v，由動能定理得

而

解得

(2)設滑塊到達C點時受到軌道的作用力大小為F，則

解得

(3)要使滑塊恰好始終沿軌道滑行，則滑至圓軌道DG間某點時，由電場力和重力的合力提供向心力，此時的速度最小（設為vn），則有

解得

14．如圖所示，空間有水平向右的勻強電場。在電場中用一根長為L的不可伸長的絕緣細線吊著一個質量為m，電荷量為q的小球，小球保持靜止時細線與豎直方向成角。現突然將均強電場的方向變為水平向左，其他條件不變。已知，，重力加速度為g，求：
（1）電場強度的大小；
（2）小球運動過程中經過最低點時細線對小球拉力的大小。


【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由平衡知識知

解得

（2）小球由靜止運動至最低點的過程中，由動能定理知

解得

在最低點時，由牛頓第二定律知

解得

15．如圖所示，空間存在一勻強電場，其電場強度大小，該電場中有A、B兩點，相距，且A、B連線與電場線的夾角。
(1)求A、B兩點間的電勢差；
(2)若將一電荷量的帶正電粒子從A點移到B點，只考慮帶電粒子所受的電場力，求該過程中帶電粒子動能的變化。


【答案】(1)；(2)
【解析】(1)A、B兩點間沿電場方向的距離為

由電場強度與電勢差之間的關系可知

解得。
(2)在將帶正電粒子從A點移到B點的過程中，由動能定理有：

解得

為正值，說明該過程中帶電粒子的動能增大。
16．某種金屬板受到一束紫外線照射時會不停地發射電子，射出的電子具有不同的方向，速度大小也不相同。在旁放置一個金屬網。如果用導線將、連起來，從射出的電子落到上便會沿導線返回，從而形成電流。現在不把、直接相連，而按圖那樣在、之間加電壓，發現當時電流表中就沒有電流。
問：被這束紫外線照射出的電子，最大速度是多少？

【答案】
【解析】加上電壓后，會在電子運動區域產生阻礙電子射向N板的運動，當電流表中無電流通過時，說明即使垂直射向N板的電子都會在到達N板前減速到零，假設電子最大速度是v，由動能定理得

電子質量m=0.91×10-30kg，e取，U0=12.5V，代入數值解得

17．豎直平面內的一個光滑絕緣軌道由相切于B點的兩段組成，直段與水平面夾角為60°，彎段為一個圓弧，半徑為r，在同一高度。在圓心處固定一個負點電荷。將一帶正電小環（可看作質點）套在軌道上從A點靜止釋放，下滑經B、C后滑上右邊圓弧。已知小環剛從A點下滑時，恰好不受軌道的作用力；到C點時，小球的速度。問：
(1)小環在A點時所受的庫侖力FA的大小和方向；
(2)小環在C點時所受的軌道作用力FN的大小；
(3)定量說明小環從A到D過程中電勢能的變化情況。

【答案】(1)，由A指向O ；(2)；(3)從A到B變小了，B到D不變
【解析】(1)小環在A點，小環受力分析有只受重力和電場力。恰好不受軌道的作用力的條件為

解得
，由A指向O
(2)小環在C點設庫侖力大小為FC，由牛頓第二定律有

庫侖力公式有

由幾何關系可得：OA=2OC=2r
則有

小環在C點時所受的軌道作用力FN的大小

(3) 右邊圓弧為圓心處固定的負點電荷的等勢面，所以小環從B到D過程中電勢能保持不變；
小環從B到C過程有

小環從A到B過程有

由功能關系有

由上幾式解得

小環從A到B過程中電勢能變小了。
18．如圖所示，真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強電場。現將一個質量為m，所帶電荷量為-q的帶電小球從A點以初速度v0豎直向上拋出，過最高點B時的速度大小仍為v0，取A點電勢為0，小球在A點的重力勢能也為0，重力加速度為g。求：
（1）電場場強的大小；
（2）B點的電勢；
（3）小球運動過程中所具有的重力勢能和電勢能之和最大時的速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根據牛頓第二定律，在沿著電場方向


垂直于電場方向

聯立解得

（2）從A點到B點，根據動能定理

且

解得

即

（3）從A點到B點，小球做拋體運動，根據能量守恒，可得小球所具有的重力勢能和電勢能之和最大時，即動能最小為最小速率，此時電場力和重力的合力方向與速度方向垂直，此時



解得

根據運動合成和分解，任何時刻的速度為

解得最小速率

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