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專題3 帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界、極值問題
一、單項(xiàng)選擇題
1．如圖所示，a、b為豎直正對(duì)放置的平行金屬板構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，其中a板帶正電，兩板間的電壓為U，在金屬板下方存在一有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的上邊界為與兩金屬板下端重合的水平面PQ，PQ下方的磁場(chǎng)范圍足夠大，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一比荷為帶正電粒子以速度為v0從兩板中間位置與a、b平等方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，粒子通過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后從PQ邊界上的M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又從PQ邊界上的N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，設(shè)M、N兩點(diǎn)距離為x（M、N點(diǎn)圖中未畫出）。則以下說法中正確的是

A．只減小磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，則x減小
B．只增大初速度v0的大小，則x減小
C．只減小偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓U的大小，則x不變
D．只減小為帶電粒子的比荷大小，則x不變
【答案】C
【解析】粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由半徑公式，可知，因減小磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，導(dǎo)致半徑增大，則x也增大，故A錯(cuò)誤；增大初速度v0的大小，則導(dǎo)致進(jìn)入磁場(chǎng)的速度增大，由半徑公式，可知，導(dǎo)致半徑增大，則x也增大，故B錯(cuò)誤；減小偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓U的大小，設(shè)速度與磁場(chǎng)邊界的夾角為θ，則由半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系，可得：x=2Rsinθ=，則會(huì)導(dǎo)致x不變，故C正確；若減小為帶電粒子的比荷大小，由半徑公式可知，則會(huì)導(dǎo)致半徑增大，則x也增大，故D錯(cuò)誤；故選C。
2．（2021·河南鶴壁市·鶴壁高中高二月考）如圖所示，有一范圍足夠大的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小圓環(huán)套在一根固定的絕緣傾斜長桿上，環(huán)與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。現(xiàn)使圓環(huán)以初速度v0沿桿向上運(yùn)動(dòng)。不計(jì)空物氣阻力。下列描述該圓環(huán)上升過程中的速度v隨時(shí)間t、機(jī)械能E隨位移x變化的圖像中，可能正確的是（　　）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】AB．把帶電小圓環(huán)的重力沿桿和垂直桿分解得，由左手定則知帶電圓環(huán)受洛侖茲力垂直桿向上，帶電小圓環(huán)上滑的過程中由于阻力的作用v越來越小。若則



由以上三式可得此時(shí)帶電圓環(huán)做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)；若，隨著v的不斷減小則先有

后有

即帶電圓環(huán)先做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)然后再做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)；又因速度時(shí)間圖像的斜率表示加速度。故AB錯(cuò)誤；
CD．小球運(yùn)動(dòng)的過程中洛侖茲力不做功，摩擦力做功使小球的機(jī)械能減小，向上運(yùn)動(dòng)的過程中有

據(jù)以上分析向上運(yùn)動(dòng)的過程中f可能逐漸增大，所以機(jī)械能的變化率逐漸增大；f也可能先減小后增大，所以機(jī)械能的變化率也先減小后增大；故C正確D錯(cuò)誤。
故選C。
3．（2020·衡水第一中學(xué)高三月考）如圖所示，圓形區(qū)域直徑MN上方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同。現(xiàn)有兩個(gè)比荷相同的帶電粒子a、b，分別以、的速度沿圖示方向垂直磁場(chǎng)方向從M點(diǎn)入射，最終都從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，則（　　）

A．粒子a、b可能帶異種電荷
B．粒子a從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一定與初速度的方向垂直
C．可能為2:1
D．一定為1:1
【答案】C
【解析】A．兩粒子都從M點(diǎn)入射從N點(diǎn)出射，則a粒子向下偏轉(zhuǎn)，b粒子向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知兩粒子均帶正電，故A錯(cuò)誤；
B．設(shè)磁場(chǎng)半徑為R，將MN當(dāng)成磁場(chǎng)的邊界，兩粒子均與邊界成45°入射，由運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性可知出射時(shí)與邊界成45°，則一次偏轉(zhuǎn)穿過MN時(shí)速度偏轉(zhuǎn)90°；同理第二次穿過MN時(shí)速度方向再次偏轉(zhuǎn)90°與初速度方向平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
CD．兩粒子可以圍繞MN重復(fù)穿越，運(yùn)動(dòng)有周期性，設(shè)a粒子重復(fù)k次穿過MN，b粒子重復(fù)n次穿過MN，由幾何關(guān)系可知
()
()
由洛倫茲力提供向心力

可得

而兩個(gè)粒子的比荷相同，可知

如，時(shí)

如，時(shí)

則v1:v2可能為1:1或2:1，故C正確，D錯(cuò)誤。
故選C。
4．（2019·河北保定市·安國中學(xué)）M、N兩板相距為d，板長為5d，兩板不帶電，板間有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，一大群電子沿平行于板的方向從各處位置以速度v射入板間，為了使電子都不從板間穿出，磁感應(yīng)強(qiáng)度Ｂ的范圍（ ）（設(shè)電子電量為e，質(zhì)量為m）

A．B B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】
由圖示可知，靠近M板進(jìn)入磁場(chǎng)的電子剛好打到N板右邊緣，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有最小值B1，設(shè)此時(shí)軌道半徑為R1，由牛頓第二定律得：

由幾何關(guān)系得：

解得：

靠近M板進(jìn)入磁場(chǎng)的電子剛好打到N板左邊緣，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值B2，此時(shí)軌道半徑為R2，由牛頓第二定律：

由幾何關(guān)系得：

解得：

綜上所述，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍為：

A正確。
故選A。
5．如圖所示，邊長為l0的正方形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為。在點(diǎn)處有一粒子源，能夠沿方向發(fā)射質(zhì)量為、電荷量為的粒子，粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不計(jì)，不考慮粒子之間的相互作用，則（ ）

A．軌跡不同的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不同
B．從點(diǎn)射出的粒子入射速度大小為
C．從點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．粒子在邊界上出射點(diǎn)距點(diǎn)越遠(yuǎn)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短
【答案】C
【解析】A．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力完全提供向心力：

解得半徑：
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

粒子速率不同運(yùn)動(dòng)軌跡不同，如果轉(zhuǎn)過的圓心角相等，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，如從ad邊離開磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過半個(gè)圓周，雖然運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相同，為，A錯(cuò)誤；
B．從c點(diǎn)飛出的粒子半徑：

解得速度：，B錯(cuò)誤；
C．從d點(diǎn)飛出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期：

C正確；
D．根據(jù)C選項(xiàng)的分析可知，粒子從a點(diǎn)射入，從ad邊飛出，所用時(shí)間均為半個(gè)周期，因此粒子在邊界上出射點(diǎn)距a點(diǎn)越遠(yuǎn)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不一定越短，D錯(cuò)誤。
故選C。
6．（2021·安徽高三月考）、兩個(gè)帶正電的粒子經(jīng)同一電場(chǎng)由靜止加速，先后以、從點(diǎn)沿進(jìn)入矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后分別從邊、離開。直線、與的夾角分別為、，粒子的重力不計(jì)，則兩個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度大小之比為（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】a、b兩個(gè)帶正電的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

設(shè)a粒子的軌道半徑為R1，b粒子的軌道半徑為R2，設(shè)MQ=d，則幾何關(guān)系得
，
由上兩式得

設(shè)加速電場(chǎng)的電壓為U，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，有
，
得

則有

故ACD錯(cuò)誤，B正確。
故選B。
7.如圖為一粒子速度選擇器原理示意圖。半徑為10cm的圓柱形桶內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為1.0×10-4T，方向平行于軸線向內(nèi)，圓桶的某直徑兩端開有小孔，粒子束以不同角度由小孔入射，將以不同速度從另一個(gè)孔射出。有一粒子源發(fā)射出速度連續(xù)分布、比荷為2.0×1011C/kg的帶負(fù)電粒子，粒子間相互作用及重力均不計(jì)，當(dāng)粒子的入射角為時(shí)，則粒子出射的速度大小為(　　)

A．2×106m/s B．106m/s C．m/s D．4×106m/s
【答案】D
【解析】粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

若θ=30°，則α=60°
可知粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
r=2R=0.2m
由于

解得

故D正確，ABC錯(cuò)誤。
故選D。
8．如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里．—電子從Ｏ點(diǎn)沿紙面垂直邊界pq以速度進(jìn)入磁場(chǎng)．若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為在,O'點(diǎn)在MN上，且OO'與MN垂直．則下列判斷正確的是

A．電子將向右偏轉(zhuǎn)
B．電子打在MN上的點(diǎn)與O'點(diǎn)的距離為d
C．電子打在MN上的點(diǎn)與O'點(diǎn)的距離為
D．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
【答案】D
【解析】A．電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，A錯(cuò)誤；


BC．設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為x，則由幾何知識(shí)得

故BC錯(cuò)誤；
D．設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何知識(shí)得

得 ．則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

故D正確。
故選D。

二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖所示，以直角三角形AOC為邊界的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，∠A＝60°，AO＝a．在O點(diǎn)放置一個(gè)粒子源，可以向各個(gè)方向發(fā)射某種帶負(fù)電的粒子，粒子的比荷為，發(fā)射速度大小都為v0，且滿足，發(fā)射方向用圖中的角度θ表示．對(duì)于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)（不計(jì)重力作用），下列說法正確的是

A．粒子不可能打到A點(diǎn)
B．以θ＝0°和θ＝60°飛入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等
C．以θ＜30°飛入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等
D．在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出
【答案】BD
【解析】由牛頓第二定律得：，已知：，解得：R＝a，因此當(dāng)θ＝60°入射時(shí)，粒子恰好從A點(diǎn)飛出，故A錯(cuò)誤；當(dāng)θ＝0°飛入的粒子在磁場(chǎng)中，粒子恰好從AC中點(diǎn)飛出，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也恰好是，當(dāng)θ＝60°飛入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好是，故B正確；當(dāng)θ＝60°飛入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好是，是在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，故B正確；由上可知θ從0°到60°在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間先減小后增大，故C錯(cuò)誤；當(dāng)θ＝0°飛入的粒子在磁場(chǎng)中，粒子恰好從AC中點(diǎn)飛出，因此在AC 邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出，故D正確．
10．（2021·江西南昌市·高三月考）如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第一、二、四象限內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，第三象限內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，P（-L，0）、Q（0，-L）為坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計(jì)電子的重力，則下列說法中正確的是（　　）

A．若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為
B．若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程可能為
C．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定為
D．若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程可能為πL或2πL
【答案】ABD
【解析】
A．電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，電子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，電子在每個(gè)磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角都是，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能如圖1或圖2所示，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為

則電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)的時(shí)間為

所以若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為，則A正確；
B．電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何關(guān)系可得

電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程為

當(dāng)n=1時(shí)

所以若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程可能為，則B正確；
C．電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

所以若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為，則C錯(cuò)誤；
D．按圖（1）電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程為

其中 當(dāng)n=1時(shí)

按圖（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程為

其中 當(dāng)n=1時(shí)

所以若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好第一次經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路程可能為2πL，也可能是 則D正確；
故選ABD
11．如圖所示，P、Q為一對(duì)平行板，板長與板間距離均為d，板間區(qū)域內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子（重力不計(jì)），以水平初速度從P、Q兩板間左側(cè)中央沿垂直磁場(chǎng)方向射入，粒子打到板上，則初速度大小可能為（　　）

A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】若粒子恰好打到板左端，由幾何關(guān)系可得

由洛倫茲力作為向心力關(guān)系可得

可解得
若粒子恰好打到板右端，由幾何關(guān)系可得

解得
由洛倫茲力作為向心力關(guān)系可得

可解得
粒子打到板上，則初速度v大小范圍是

故選BC。
12．在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)拇艌?chǎng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制。在如圖所示的平面坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為d的圓形區(qū)域外存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子從P（0，）點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，當(dāng)入射速度為v0時(shí)，粒子從a（，）處進(jìn)入無場(chǎng)區(qū)射向原點(diǎn)O，不計(jì)粒子重力。則（　　）

A．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為
B．粒子再次回到P點(diǎn)所用時(shí)間為
C．若僅將入射速度變?yōu)?v0，則粒子離開P點(diǎn)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為d
D．若僅將入射速度變?yōu)?v0，則粒子離開P點(diǎn)可以再回到P點(diǎn)
【答案】AD
【解析】A．粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由題條件可判斷粒子做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R=d，粒子在磁場(chǎng)中：
，
故A正確；
B．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

因?yàn)槁鍌惼澚μ峁┫蛐牧?br />
粒子在無場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

粒子再次回到P點(diǎn)時(shí)間：
t=t1+t2
解得：

故B錯(cuò)誤；
C．粒子速度變?yōu)?v0，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為R′=3d，故C錯(cuò)誤；
D．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

由P點(diǎn)出發(fā)后第一個(gè)圓弧的弧長：

無磁場(chǎng)區(qū)圓的直徑長度：

①粒子以3v0沿y軸正向經(jīng)過P，粒子運(yùn)動(dòng)路程
，其中k=0、1、2、3、…
②粒子以3v0大小沿-y方向經(jīng)過P
s′=3s1+2s2+k（6s1+6s2 ），其中k=0、1、2、3、…
僅將入射速度變?yōu)?v0，則粒子離開P點(diǎn)可以再回到P點(diǎn)，故D正確；
故選AD。
三、非選擇題
13．某裝置用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理圖如圖所示。裝置的長L＝，上下兩個(gè)相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同、方向與紙面垂直且相反，兩磁場(chǎng)的間距為d，裝置右端有一收集板，N、P為板上的兩點(diǎn)，N、P分別位于下方磁場(chǎng)的上、下邊界上。一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子靜止在A處，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，以速度v0沿圖中的虛線從裝置左端的中點(diǎn)O射入，方向與軸線成60°角。可以通過改變上下矩形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)弱（兩磁場(chǎng)始終大小相同、方向相反），控制粒子到達(dá)收集板上的位置。不計(jì)粒子的重力。

（1）試求出加速電壓U的大小；
（2）若粒子只經(jīng)過上方的磁場(chǎng)區(qū)域一次，恰好到達(dá)收集板上的P點(diǎn)，求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h；
（3）欲使粒子經(jīng)過上下兩磁場(chǎng)并到達(dá)收集板上的N點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有多個(gè)可能的值，試求出其中的最小值B。
【答案】（1）（2） （3）
【解析】（1）由動(dòng)能定理可知：
得： 。
（2）設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，依題意作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示。由圖中幾何關(guān)系有： ，


解得：
（3）當(dāng)B為最小值時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r則為最大值，即粒子只經(jīng)過上方和下方的磁場(chǎng)區(qū)域各一次，恰好到達(dá)收集板上的N點(diǎn)。設(shè)帶電粒子此時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示。

由圖中幾何關(guān)系有：
根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力大小公式有：
聯(lián)立以上各式解得： 。
14.如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，水平軌道AB和斜面BC均光滑且絕緣，AB和BC的長度均為L，斜面BC與水平地面間的夾角θ=60°，有一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）被放在A點(diǎn)。已知在第一象限分布著互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)大小，磁場(chǎng)垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第二象限分布著沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小未知。現(xiàn)將放在A點(diǎn)的帶電小球由靜止釋放，恰能到達(dá)C點(diǎn)，問
（1）分析說明小球在第一象限做什么運(yùn)動(dòng)；（2）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度；（3）第二象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)；


【答案】（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（2），（3）。
【解析】
（1）當(dāng)帶電小球進(jìn)入第一象限后所受電場(chǎng)力為，即帶電小球所受電場(chǎng)力與所受重力相平衡，小球所受合外力為洛倫茲力始終垂直與速度方向，故小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

（2）有幾何關(guān)系可得：，又因，故有小球在B點(diǎn)速度為；
（3）在加速電場(chǎng)中，A到B過程使用動(dòng)能定律：，代入 ，可得。
15.如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在正方形對(duì)角線CE上有一點(diǎn)P，其到CF，CD距離均為 ，且在P點(diǎn)處有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置，能連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各方向發(fā)射出速率不同的正離子．已知離子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)離子重力及離子間相互作用力．

(1)速率在什么范圍內(nèi)的所有離子均不可能射出正方形區(qū)域？
(2)求速率為v＝的離子在DE邊的射出點(diǎn)距離D點(diǎn)的范圍．
【答案】(1) (2)
【解析】因離子以垂直于磁場(chǎng)的速度射入磁場(chǎng)，故其在洛倫茲力作用下必做圓周運(yùn)動(dòng)．
(1)依題意可知離子在正方形區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)不射出該區(qū)域，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r≤ .
對(duì)離子，由牛頓第二定律有qvB＝m?
(2)當(dāng)v＝時(shí)，設(shè)離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
則由可得.
要使離子從DE射出，則其必不能從CD射出，其臨界狀態(tài)是離子軌跡與CD邊相切，設(shè)切點(diǎn)與C點(diǎn)距離為x，其軌跡如圖甲所示，

由幾何關(guān)系得：
R2＝(x－ )2＋(R－ )2，
計(jì)算可得x＝L，
設(shè)此時(shí)DE邊出射點(diǎn)與D點(diǎn)的距離為d1，則由幾何關(guān)系有：(L－x)2＋(R－d1)2＝R2，
解得d1＝ .
而當(dāng)離子軌跡與DE邊相切時(shí)，離子必將從EF邊射出，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)與D點(diǎn)距離為d2，其軌跡如圖乙所示，由幾何關(guān)系有：

R2＝(L－R)2＋(d2－ )2，
解得d2＝
故速率為v＝的離子在DE邊的射出點(diǎn)距離D點(diǎn)的范圍為
16.如圖所示，在屏蔽裝置底部中心位置O點(diǎn)放一醫(yī)用放射源，可通過細(xì)縫沿扇形區(qū)域向外輻射速率為v的帶電粒子．已知屏蔽裝置寬AB為d，縫長AD為2d，粒子的質(zhì)量m，電荷量為+q．若在屏蔽裝置右側(cè)條形區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)來隔離輻射，磁感應(yīng)強(qiáng)度B，方向垂直于紙面向里，整個(gè)裝置放于真空環(huán)境中．
(1)若所有的粒子均不能從條形磁場(chǎng)隔離區(qū)的右側(cè)穿出，則磁場(chǎng)的寬度D至少是多少？
(2)若條形磁場(chǎng)的寬度D＝，則射出屏蔽裝置的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間各是多少？

【答案】(1) (2)
【解析】(1)根據(jù)

得:

如圖甲所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得，這些粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最寬處寬度為

所以


(2)根據(jù)：

得：

如圖乙所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短時(shí)，弦長最短即為磁場(chǎng)寬度，分析可得此時(shí)圓心角

所以

當(dāng)時(shí)間最長時(shí)，弧長最長，此時(shí)軌跡與右側(cè)邊界相切，由幾何關(guān)系可得此時(shí)圓心角

所以


17．如圖所示，在xOy平面內(nèi)以O(shè)為圓心、R0為半徑的圓形區(qū)域Ⅰ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以速度v0從A（R0，0）點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，經(jīng)過P（0，R0）點(diǎn)，沿y軸正方向進(jìn)入同心環(huán)形區(qū)域Ⅱ，為使粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅱ后能從Q點(diǎn)回到區(qū)域Ⅰ，需在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知OQ與x軸負(fù)方向成角，不計(jì)粒子重力。求：
(1)區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小；
(2)環(huán)形區(qū)域Ⅱ的外圓半徑R至少為多大；
(3)粒子從A點(diǎn)出發(fā)到再次經(jīng)過A點(diǎn)所用的最短時(shí)間。

【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)設(shè)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌跡圓半徑為r1，由圖中幾何關(guān)系可得

由牛頓第二定律可得

解得

(2)設(shè)粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為r2，部分軌跡如圖所示，有幾何關(guān)系知

由幾何關(guān)系得

即

(3)當(dāng)粒子由內(nèi)側(cè)劣弧經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足

當(dāng)m=4時(shí)，n=9時(shí)間最短


最小時(shí)間為


18．（2021·山東廣饒一中高三月考）在真空室內(nèi)取坐標(biāo)系，在x軸上方存在二個(gè)方向都垂直于紙面向外的磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ（如圖），平行于x軸的直線和是區(qū)域的邊界線，兩個(gè)區(qū)域在y方向上的寬度都為d、在x方向上都足夠長．Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)內(nèi)分別充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B和的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界上裝有足夠長的平面感光板．一質(zhì)量為m、電荷量為的帶電粒子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O以大小為v的速度沿y軸正方向射入Ⅰ區(qū)的磁場(chǎng)中．不計(jì)粒子的重力作用。
(1)粒子射入的速度v大小滿足什么條件時(shí)可使粒子只在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)而不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)；
(2)粒子射入的速度v大小滿足什么條件時(shí)可使粒子擊中上的感光板。

【答案】(1)；(2)
【解析】(1)粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

得粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

粒子只在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)而不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)，則

解得速度v滿足的條件

(2)粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

得粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

粒子恰好能運(yùn)動(dòng)到感光板的運(yùn)動(dòng)情況如圖所示

粒子在Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的圓心為A1、在Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的圓心為A2，在圖中△A1CD相似于△CA2E，因此

即

解得


因此，要使粒子擊中感光板，粒子射入的速度應(yīng)滿足

發(fā)表評(píng)論