審稿人：
1965年，理查德·費曼在康奈爾大學發表了“物理與數學的關系”系列講座。 在這里，被稱為“最偉大的解釋者”的費曼先生談論了他認為物理學和數學之間的主要區別。 他的觀點可以概括為以下幾點。
認識論差異
“數學家研究的是可以‘使用’的抽象推理，即使他們不知道在哪里。”
首先，費曼指出了研究數學的人，尤其是元數學家（代表使用數學方法來研究數學的數學家）之間的認識論差異。
數學家只處理推理的結構，而不是其內容。 正如他們自己所說，他們不需要知道自己在說什么，也不需要知道自己所說的是否正確。
接下來，他描述了通用系統的計算能力以及某些機器可以推導出人類無法推導出的定理的可能性：
現在，想象一下，如果你在談論一個定理時說：“某某某某是這樣的”和“某某某某是這樣的”，會發生什么？ 雖然我們不知道“某某”代表什么量子物理學什么時候學，但這句話的邏輯是可以理解的。
也就是說，如果關于定理的陳述是正確的（即準確且完整地陳述），那么進行推理的人不一定需要知道這些詞的含義。
他能夠使用相同的語言得出新的結論。 例如，如果在定理中使用單詞：三角形，則結論中將出現表達式三角形。 進行推理的人不一定需要知道三角形是什么。 但他可能會讀到這個定理并說：“哦，三角形是具有三個邊的東西，等等。” 所以你了解了這個事實。
換句話說，這就是所說的：數學家研究可以“使用”的抽象推理。
這與物理方面的認知論形成了鮮明的對比：
物理學家相信所有的詞語都很重要。 許多非數學物理學家沒有意識到的一件非常重要的事情是，物理學不是數學，數學也不是物理學。 但他們可以互相幫助。
但是，您需要了解文字與現實世界之間的聯系。 如有必要，必須轉化為實際問題和實驗，并在實驗室進行驗證，以證明結果是否正確。 這對于數學來說確實不是問題。
物理和數學之間的另一個關系是，數學推理在現實中發揮著巨大的作用，并應用于物理。 有時候，物理學家的推導對數學也有幫助。
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費曼目前還沒有進一步解釋，但一個相關的例子是愛德華·威滕的正能量定理（他因此獲得了菲爾茲獎）。 在一篇描述愛德華·威滕 ( ) 工作的論文中，數學家邁克爾·阿蒂亞 ( ) 后來描述了它對數學的重要性：
他用數學術語解釋物理概念的能力是獨一無二的。 他將物理學的深刻見解應用到新穎而深入的數學理論中，一次又一次令數學界驚嘆不已。 他對數學界產生了深遠的影響。 在他的手中，物理學再次為數學提供了靈感和洞察。
——邁克爾·阿提亞
適用性差異
“數學家喜歡讓他們的推論盡可能籠統。”
費曼接著以幽默的方式討論了經常與大多數物理學家的興趣形成鮮明對比的數學應用：
如果你說，“這是一個三維空間”，然后你向數學家詢問有關這個的定理，他們會說，“看，如果有一個 n 維空間，那就有某某定理。” “但是，我只是想知道三維空間……” “所以假設n=3！” 事實證明它們比許多復雜的定理要簡單得多，因為它們恰好是一些特殊情況。 物理學家總是對某些特殊情況情有獨鐘。
物理學家對一般情況不感興趣，總是探索具體問題而不是抽象地討論事物。 他知道正在討論什么。 例如，他想討論重力，但他不想討論任何力，只想討論重力。
當然，由于數學家提出的定理是針對更普遍的問題，因此當應用于具體問題時，它們的普遍性就會喪失。 后來，我總是發現有很多“可憐”的物理學家轉身說：“請問，你能告訴我第四維度嗎……”
直覺和嚴謹
“‘可憐的’數學家沒有直覺來指導他們，只有嚴謹、仔細和精確的數學論證。”
費曼接下來談到了兩個學科的發現過程，強調物理學家的優勢在于，從某種本質上來說，他們的學科是應用性的，而不是純粹抽象的：
當你知道自己在說什么時——這是力、這是質量、這是慣性等等——你就可以使用一套關于世界的常識、經驗認知。 當你對事物了解得越多，你就能或多或少地了解現象的行為模式。
然而，“可憐的”數學家會把它變成對他來說沒有意義的符號和方程，他沒有直覺來指導他，而是嚴謹、仔細和精確的數學論證。
由于物理學家或多或少知道一些答案在哪里，所以他們會提出一些猜測，然后讓數學家去做剩下的事情。
數學的精確嚴謹性在物理學中沒有多大用處，對現代數學公理的態度也沒有多大用處。 現在量子物理學什么時候學，數學家可以做他們想做的事，人們不應該批評他們，因為他們不是物理學的奴隸。 僅僅因為它對你有用并不意味著他們必須這樣做。 他們可以做他們想做的工作，這是他們自己的工作，如果你需要別的東西，你自己做。
費曼在此認為，由于物理學研究自然現象，人類對其有一定的直覺傾向。 這與描述某些數學定理的發現相反，包括約翰·福布斯·納什關于非線性偏微分方程的發現：
20世紀50年代的數學家已經知道如何使用計算機來求解相對繁瑣的常微分方程（ODE）過程。 但目前還沒有找到精確的方法來求解非線性偏微分方程，例如在噴氣發動機的湍流運動中發現的方程。
但到了1958年，納什用他發現的方法得到了基本存在的、唯一的、連續的定理。 令人驚訝的是，這涉及到“將非線性方程轉換為線性方程，然后非線性求解它們”，這是以前沒有人想到的“天才之舉”，彼得·拉克斯說。 對于這項技術，隆德大學數學教授、偏微分方程專家拉爾斯·高丁（Lars ）后來說：“要做到這一點，你必須是天才。”
論模型的實用性
費曼接下來討論了物理模型的有用性以及它們在新發現中“看似”缺失的用途：
下一個問題是，當我們嘗試發現新定律時，我們是否可以做出一些猜測？ 你能用直覺和哲學原則等等，比如“我不喜歡最小原則，我喜歡最小控制”或“我喜歡或不喜歡遠距離行動”。
問題是模型有多大幫助，這是一件非常有趣的事情。 模型往往是有幫助的，物理老師經常教學生如何使用模型，如何利用模型對事物的發展有清晰的物理直覺。
但最偉大的發現總是通過從模型中抽象出來而獲得的。 它從不做任何具體的事情。 麥克斯韋的電動力學最初源自滑輪上的一系列假想輪子和空氣中的磁場。 如果去掉所有的滑輪和磁場，這就是一個抽象的電動力學理論。 狄拉克可以通過猜測方程推導出相對論量子力學的正確定理。
猜測方程的方法似乎是猜測新定理的有效方法。 這再次說明，數學是表達自然的深層方法，試圖用哲學原理或直觀的機械感受來表達并不是一種有效的方法。
對數學和物理的適用性
為什么要花那么多精力去研究一小段時空的發展呢？
令人驚奇的是，費曼接著預言，未來有一天，世界的本質將無法用數學語言來表達。 相反，會有另一種方式來表達自然的運作，這需要少量的計算：
我必須說，我經常假設物理學的終結將不再需要數學陳述，并且其潛在機制將在未來被揭示。 讓我困惑的是，雖然目前存在很多問題，但根據目前的定理和我們的經驗，無論研究的領域多么小、時間多么短，都需要無限的計算時間和邏輯概念來描述這個問題。
那么，小空間里的一切邏輯是什么呢？ 為什么需要無限的邏輯來弄清楚它的發展過程？ 因此，我假設所有定理都像跳棋一樣簡單，而所有復雜性都取決于規模。
然而，這與其他人的預測本質上是相同的。 就像有人說：“我喜歡這個”或者“你不喜歡這個”就帶有明顯的偏見，不利于科學研究。
數學需求
費曼接下來引用了詹姆斯·簡斯和物理化學家兼作家查爾斯·珀西·斯諾在他們的著作《兩人》中討論物理學中的數學：
總而言之，詹姆斯說：“最偉大的建筑師看起來就像數學家，因為不懂數學的人很難深入而全面地理解自然之美。”
斯諾討論了兩種文化（建筑和數學）。 這兩種文化區分了那些理解數學足以欣賞自然之美的人和那些不懂數學的人。
雖然數學對有些人來說很難，但不幸的是，他必須學數學。 一位君主在試圖向歐幾里得學習幾何時也抱怨數學很難，但歐幾里得說：“幾何學沒有捷徑。”
關于溝通
或許是由于視野有限，讓一些人認為宇宙的中心是人。 （有些人可以有“狹隘”的想法。）
最后，費曼建議物理學家需要掌握數學才能對自然做出新的發現，并表明數學在我們當前對世界的理解的發展中發揮著重要作用：
作為研究這些事物的人，我們無法使用“我們已有的語言”來理解自然。 想要探討自然、欣賞自然、了解自然，就需要學習自然的語言。 大自然只用她自己的聲音表達她的愿望。
我們不能傲慢到在引起我們注意之前就要求改變自然。 在我看來，你提出的所有聰明的論點對聾人來說幾乎沒有什么影響。 世界上所有聰明的論據都無法說服“另一種文化”。
那些哲學家試圖定性地告訴你這到底是怎么回事。 我試圖向你描述它，但事實證明我無法完全描述它。 這是“文化差異”造成的，這種不同的交流無異于對牛彈琴。
因此，由于視野的限制，我們讓人們想象宇宙的中心是人。
費曼演講原視頻
原文鏈接：
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