審稿人：
“關(guān)于物理與數(shù)學(xué)關(guān)系的一些看法”。
1965年，理查德·費(fèi)曼在康奈爾大學(xué)發(fā)表了“物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系”系列講座。 在這里，被稱為“最偉大的解釋者”的費(fèi)曼先生談?wù)摿怂J(rèn)為物理學(xué)和數(shù)學(xué)之間的主要區(qū)別。 他的觀點(diǎn)可以概括為以下幾點(diǎn)。
認(rèn)識(shí)論差異
“數(shù)學(xué)家研究的是可以‘使用’的抽象推理，即使他們不知道在哪里。”
首先，費(fèi)曼指出了研究數(shù)學(xué)的人，尤其是元數(shù)學(xué)家（代表使用數(shù)學(xué)方法來研究數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家）之間的認(rèn)識(shí)論差異。
數(shù)學(xué)家只處理推理的結(jié)構(gòu)，而不是其內(nèi)容。 正如他們自己所說，他們不需要知道自己在說什么，也不需要知道自己所說的是否正確。
接下來，他描述了通用系統(tǒng)的計(jì)算能力以及某些機(jī)器可以推導(dǎo)出人類無法推導(dǎo)出的定理的可能性：
現(xiàn)在，想象一下，如果你在談?wù)撘粋€(gè)定理時(shí)說：“某某某某是這樣的”和“某某某某是這樣的”，會(huì)發(fā)生什么？ 雖然我們不知道“某某”代表什么量子物理學(xué)什么時(shí)候?qū)W，但這句話的邏輯是可以理解的。
也就是說，如果關(guān)于定理的陳述是正確的（即準(zhǔn)確且完整地陳述），那么進(jìn)行推理的人不一定需要知道這些詞的含義。
他能夠使用相同的語言得出新的結(jié)論。 例如，如果在定理中使用單詞：三角形，則結(jié)論中將出現(xiàn)表達(dá)式三角形。 進(jìn)行推理的人不一定需要知道三角形是什么。 但他可能會(huì)讀到這個(gè)定理并說：“哦，三角形是具有三個(gè)邊的東西，等等。” 所以你了解了這個(gè)事實(shí)。
換句話說，這就是所說的：數(shù)學(xué)家研究可以“使用”的抽象推理。
這與物理方面的認(rèn)知論形成了鮮明的對(duì)比：
物理學(xué)家相信所有的詞語都很重要。 許多非數(shù)學(xué)物理學(xué)家沒有意識(shí)到的一件非常重要的事情是，物理學(xué)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也不是物理學(xué)。 但他們可以互相幫助。
但是，您需要了解文字與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。 如有必要，必須轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題和實(shí)驗(yàn)，并在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行驗(yàn)證，以證明結(jié)果是否正確。 這對(duì)于數(shù)學(xué)來說確實(shí)不是問題。
物理和數(shù)學(xué)之間的另一個(gè)關(guān)系是，數(shù)學(xué)推理在現(xiàn)實(shí)中發(fā)揮著巨大的作用，并應(yīng)用于物理。 有時(shí)候，物理學(xué)家的推導(dǎo)對(duì)數(shù)學(xué)也有幫助。
?
費(fèi)曼目前還沒有進(jìn)一步解釋，但一個(gè)相關(guān)的例子是愛德華·威滕的正能量定理（他因此獲得了菲爾茲獎(jiǎng)）。 在一篇描述愛德華·威滕 ( ) 工作的論文中，數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞 ( ) 后來描述了它對(duì)數(shù)學(xué)的重要性：
他用數(shù)學(xué)術(shù)語解釋物理概念的能力是獨(dú)一無二的。 他將物理學(xué)的深刻見解應(yīng)用到新穎而深入的數(shù)學(xué)理論中，一次又一次令數(shù)學(xué)界驚嘆不已。 他對(duì)數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。 在他的手中，物理學(xué)再次為數(shù)學(xué)提供了靈感和洞察。
——邁克爾·阿提亞
適用性差異
“數(shù)學(xué)家喜歡讓他們的推論盡可能籠統(tǒng)。”
費(fèi)曼接著以幽默的方式討論了經(jīng)常與大多數(shù)物理學(xué)家的興趣形成鮮明對(duì)比的數(shù)學(xué)應(yīng)用：
如果你說，“這是一個(gè)三維空間”，然后你向數(shù)學(xué)家詢問有關(guān)這個(gè)的定理，他們會(huì)說，“看，如果有一個(gè) n 維空間，那就有某某定理。” “但是，我只是想知道三維空間……” “所以假設(shè)n=3！” 事實(shí)證明它們比許多復(fù)雜的定理要簡(jiǎn)單得多，因?yàn)樗鼈兦『檬且恍┨厥馇闆r。 物理學(xué)家總是對(duì)某些特殊情況情有獨(dú)鐘。
物理學(xué)家對(duì)一般情況不感興趣，總是探索具體問題而不是抽象地討論事物。 他知道正在討論什么。 例如，他想討論重力，但他不想討論任何力，只想討論重力。
當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)家提出的定理是針對(duì)更普遍的問題，因此當(dāng)應(yīng)用于具體問題時(shí)，它們的普遍性就會(huì)喪失。 后來，我總是發(fā)現(xiàn)有很多“可憐”的物理學(xué)家轉(zhuǎn)身說：“請(qǐng)問，你能告訴我第四維度嗎……”
直覺和嚴(yán)謹(jǐn)
“‘可憐的’數(shù)學(xué)家沒有直覺來指導(dǎo)他們，只有嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)和精確的數(shù)學(xué)論證。”
費(fèi)曼接下來談到了兩個(gè)學(xué)科的發(fā)現(xiàn)過程，強(qiáng)調(diào)物理學(xué)家的優(yōu)勢(shì)在于，從某種本質(zhì)上來說，他們的學(xué)科是應(yīng)用性的，而不是純粹抽象的：
當(dāng)你知道自己在說什么時(shí)——這是力、這是質(zhì)量、這是慣性等等——你就可以使用一套關(guān)于世界的常識(shí)、經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知。 當(dāng)你對(duì)事物了解得越多，你就能或多或少地了解現(xiàn)象的行為模式。
然而，“可憐的”數(shù)學(xué)家會(huì)把它變成對(duì)他來說沒有意義的符號(hào)和方程，他沒有直覺來指導(dǎo)他，而是嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)和精確的數(shù)學(xué)論證。
由于物理學(xué)家或多或少知道一些答案在哪里，所以他們會(huì)提出一些猜測(cè)，然后讓數(shù)學(xué)家去做剩下的事情。
數(shù)學(xué)的精確嚴(yán)謹(jǐn)性在物理學(xué)中沒有多大用處，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理的態(tài)度也沒有多大用處。 現(xiàn)在量子物理學(xué)什么時(shí)候?qū)W，數(shù)學(xué)家可以做他們想做的事，人們不應(yīng)該批評(píng)他們，因?yàn)樗麄儾皇俏锢韺W(xué)的奴隸。 僅僅因?yàn)樗鼘?duì)你有用并不意味著他們必須這樣做。 他們可以做他們想做的工作，這是他們自己的工作，如果你需要?jiǎng)e的東西，你自己做。
費(fèi)曼在此認(rèn)為，由于物理學(xué)研究自然現(xiàn)象，人類對(duì)其有一定的直覺傾向。 這與描述某些數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)相反，包括約翰·福布斯·納什關(guān)于非線性偏微分方程的發(fā)現(xiàn)：
20世紀(jì)50年代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道如何使用計(jì)算機(jī)來求解相對(duì)繁瑣的常微分方程（ODE）過程。 但目前還沒有找到精確的方法來求解非線性偏微分方程，例如在噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的湍流運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)的方程。
但到了1958年，納什用他發(fā)現(xiàn)的方法得到了基本存在的、唯一的、連續(xù)的定理。 令人驚訝的是，這涉及到“將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程，然后非線性求解它們”，這是以前沒有人想到的“天才之舉”，彼得·拉克斯說。 對(duì)于這項(xiàng)技術(shù)，隆德大學(xué)數(shù)學(xué)教授、偏微分方程專家拉爾斯·高丁（Lars ）后來說：“要做到這一點(diǎn)，你必須是天才。”
論模型的實(shí)用性
費(fèi)曼接下來討論了物理模型的有用性以及它們?cè)谛掳l(fā)現(xiàn)中“看似”缺失的用途：
下一個(gè)問題是，當(dāng)我們嘗試發(fā)現(xiàn)新定律時(shí)，我們是否可以做出一些猜測(cè)？ 你能用直覺和哲學(xué)原則等等，比如“我不喜歡最小原則，我喜歡最小控制”或“我喜歡或不喜歡遠(yuǎn)距離行動(dòng)”。
問題是模型有多大幫助，這是一件非常有趣的事情。 模型往往是有幫助的，物理老師經(jīng)常教學(xué)生如何使用模型，如何利用模型對(duì)事物的發(fā)展有清晰的物理直覺。
但最偉大的發(fā)現(xiàn)總是通過從模型中抽象出來而獲得的。 它從不做任何具體的事情。 麥克斯韋的電動(dòng)力學(xué)最初源自滑輪上的一系列假想輪子和空氣中的磁場(chǎng)。 如果去掉所有的滑輪和磁場(chǎng)，這就是一個(gè)抽象的電動(dòng)力學(xué)理論。 狄拉克可以通過猜測(cè)方程推導(dǎo)出相對(duì)論量子力學(xué)的正確定理。
猜測(cè)方程的方法似乎是猜測(cè)新定理的有效方法。 這再次說明，數(shù)學(xué)是表達(dá)自然的深層方法，試圖用哲學(xué)原理或直觀的機(jī)械感受來表達(dá)并不是一種有效的方法。
對(duì)數(shù)學(xué)和物理的適用性
為什么要花那么多精力去研究一小段時(shí)空的發(fā)展呢？
令人驚奇的是，費(fèi)曼接著預(yù)言，未來有一天，世界的本質(zhì)將無法用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)。 相反，會(huì)有另一種方式來表達(dá)自然的運(yùn)作，這需要少量的計(jì)算：
我必須說，我經(jīng)常假設(shè)物理學(xué)的終結(jié)將不再需要數(shù)學(xué)陳述，并且其潛在機(jī)制將在未來被揭示。 讓我困惑的是，雖然目前存在很多問題，但根據(jù)目前的定理和我們的經(jīng)驗(yàn)，無論研究的領(lǐng)域多么小、時(shí)間多么短，都需要無限的計(jì)算時(shí)間和邏輯概念來描述這個(gè)問題。
那么，小空間里的一切邏輯是什么呢？ 為什么需要無限的邏輯來弄清楚它的發(fā)展過程？ 因此，我假設(shè)所有定理都像跳棋一樣簡(jiǎn)單，而所有復(fù)雜性都取決于規(guī)模。
然而，這與其他人的預(yù)測(cè)本質(zhì)上是相同的。 就像有人說：“我喜歡這個(gè)”或者“你不喜歡這個(gè)”就帶有明顯的偏見，不利于科學(xué)研究。
數(shù)學(xué)需求
費(fèi)曼接下來引用了詹姆斯·簡(jiǎn)斯和物理化學(xué)家兼作家查爾斯·珀西·斯諾在他們的著作《兩人》中討論物理學(xué)中的數(shù)學(xué)：
總而言之，詹姆斯說：“最偉大的建筑師看起來就像數(shù)學(xué)家，因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)的人很難深入而全面地理解自然之美。”
斯諾討論了兩種文化（建筑和數(shù)學(xué)）。 這兩種文化區(qū)分了那些理解數(shù)學(xué)足以欣賞自然之美的人和那些不懂?dāng)?shù)學(xué)的人。
雖然數(shù)學(xué)對(duì)有些人來說很難，但不幸的是，他必須學(xué)數(shù)學(xué)。 一位君主在試圖向歐幾里得學(xué)習(xí)幾何時(shí)也抱怨數(shù)學(xué)很難，但歐幾里得說：“幾何學(xué)沒有捷徑。”
關(guān)于溝通
或許是由于視野有限，讓一些人認(rèn)為宇宙的中心是人。 （有些人可以有“狹隘”的想法。）
最后，費(fèi)曼建議物理學(xué)家需要掌握數(shù)學(xué)才能對(duì)自然做出新的發(fā)現(xiàn)，并表明數(shù)學(xué)在我們當(dāng)前對(duì)世界的理解的發(fā)展中發(fā)揮著重要作用：
作為研究這些事物的人，我們無法使用“我們已有的語言”來理解自然。 想要探討自然、欣賞自然、了解自然，就需要學(xué)習(xí)自然的語言。 大自然只用她自己的聲音表達(dá)她的愿望。
我們不能傲慢到在引起我們注意之前就要求改變自然。 在我看來，你提出的所有聰明的論點(diǎn)對(duì)聾人來說幾乎沒有什么影響。 世界上所有聰明的論據(jù)都無法說服“另一種文化”。
那些哲學(xué)家試圖定性地告訴你這到底是怎么回事。 我試圖向你描述它，但事實(shí)證明我無法完全描述它。 這是“文化差異”造成的，這種不同的交流無異于對(duì)牛彈琴。
因此，由于視野的限制，我們讓人們想象宇宙的中心是人。
費(fèi)曼演講原視頻
原文鏈接：
【互動(dòng)問題：你覺得學(xué)物理好還是數(shù)學(xué)好？ 為什么？ 】
請(qǐng)嚴(yán)格遵循互動(dòng)形式：?jiǎn)柎鸩⒃谠u(píng)論區(qū)留言參與互動(dòng)。 不符合格式的，視為無效。
截至本周四中午12:00，點(diǎn)贊數(shù)第二、第四、第六的朋友將收到我們送的書。
*本活動(dòng)僅限微信平臺(tái)
