幾顆質量相差不大的恒星在自身引力的影響下,繞著整體質心做勻速圓周運動。 這樣的幾顆星稱為多星模型。
(這里補充幾點。首先,多星模型中恒星之間的質量差不能太大。因為如果質量差太大,就會變成繞軌道和被繞軌道的關系,就像月球一樣繞地球運行。只有當每個人的質量相差不大時,每個人都會移動。其次,高中物理題一般不會考慮多星模型中除了少數恒星之外的其他恒星,因為現實中這種多星模型出現其他恒星干擾多星模型的概率很小,這種情況下高中物理中的公式,多星模型無法在天堂中自行進行勻速圓周運動。)
1 特點 1.1 圓心為質心
多星模型中的每顆恒星在做勻速圓周運動時都有一個共同的圓心。 這個圓心就是整個多星模型中所有恒星的質心。 各種恒星的運行軌跡形成同心圓。
(為什么圓心必須是質心?因為只有這樣整體才會穩定。如果圓心不是質心,可以想象各個星點的外力合力到各自圓的中心,然后很快就會分崩離析。這整個事情很難保持穩定。我們稍后會在三星模型中解釋這一點。)
1.2 wT 相同
多星模型中每顆恒星的角速度和周期都相同。
(為什么?我們可以用矛盾的定性分析來解釋。如果各個恒星的角速度不同,有的快,有的慢,那么它們之間的相對位置就會發生變化,從而導致萬有引力的變化..,圓心也隨之變化,整體變得不穩定,很快就分崩離析。)
1.3 合外力提供向心力
無論是雙星模型還是多星模型,本質上都是牛頓第二定律中組合外力提供的向心力表達式的列表。 在雙星模型和多星模型中,要求外力,需要寫出萬有引力的表達式,而萬有引力的表達式還包括軌道半徑,而軌道半徑涉及到初中簡單的幾何關系高中數學。
2 三星型號
三星型號有兩種,一種是三顆星始終共線,另一種是三顆星形成等邊三角形。
2.1 直線
如下圖所示,三顆星始終共線。 一顆質量為 M 的恒星靜止在中間。 另外兩顆質量均為m的恒星繞著質量為m的恒星做勻速圓周運動,軌道半徑為r。
① 對于質量為 M 的恒星,它受到方向相反、大小相等的萬有引力,且 Gfrac{Mm}{r^2}=Gfrac{Mm}{r^2},因此總外部引力力為零。
②對于質量為m的恒星,其受到的合引力提供了向心力,即Gfrac{Mm}{r^2}+Gfrac{mm}{(2r)^2}=mw^2r。
(為什么當中間的恒星靜止時,三顆恒星必須共線?如果它們不共線,例如質量為 m 的恒星在頂部,質量為 m 的恒星在左側。一方面,它可以想象,質量為M的恒星所受的引力不為零,它一定會移動;另一方面,質量為m的兩顆恒星所受的合外力必然不會指向同一個地方,所以它們各自會個別移動,整體突然崩塌。)
2.2 三角形
如下圖所示,三顆質量為m的行星位于一個等邊三角形的三個頂點上,它們都繞著三角形的中心做勻速圓周運動。 三顆恒星的軌道半徑為r,等邊三角形的邊長為L。
①由等邊三角形的幾何關系可得,L=sqrt{3}r。
②對于每顆質量為m的行星,其運動所需的向心力由另外兩顆行星的引力合力提供,即2Gfrac{mm}{L^2}cos30°=mw^2r。
3 四星模型 3.1 三角形
如下圖所示,三顆質量為m的行星位于等邊三角形的三個頂點高中物理中的公式,一顆質量為m的恒星位于等邊三角形的中心。 三顆質量相等的行星都圍繞三角形中心的恒星做勻速圓周運動。 三顆恒星的軌道半徑為r,等邊三角形的邊長為L。
①由等邊三角形的幾何關系可得,L=sqrt{3}r。
②對于位于等邊三角形中心的質量為M的恒星,它受到其他三顆質量相等的恒星的合引力為零,公共點力平衡。
③對于位于等邊三角形每個頂點的質量為m的恒星,其所受到的其他三顆恒星的引力之和提供的向心力為2Gfrac{mm}{L^2}cos30°+Gfrac {Mm {r^2}=mw^2r。
3.2 平方
如下圖所示,四顆質量為m的行星位于正方形的四個頂點。 它們都圍繞正方形中心做勻速圓周運動。 軌道半徑為r,正方形邊長為L。
①由正方形的幾何關系可得,L=sqrt{2}r。
②對于每顆質量為m的行星,其運動所需的向心力由另外兩顆行星對其的引力合力提供,即2Gfrac{mm}{L^2}cos45°+G壓裂{mm}{(2r)^2}=mw^2r。
4個容易犯的錯誤
萬有引力公式中,F=Gfrac{}{r^2},r指的是兩顆恒星之間的距離。
向心加速度公式中,F=mw^2r,r指恒星做勻速圓周運動的軌道半徑。
當一顆恒星圍繞另一顆中心恒星做勻速圓周運動時,F=Gfrac{}{r^2}=mw^2r,這里的兩個r相等。
雙星模型和多星模型中,兩個r是不一樣的! 注意區分!