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1.運動學 2.1質點運動學基本概念 圖2-1-1 211.參照物與參照系 要準確地確定質點的位置及其變化，必須事先選定另一個假定靜止的物體作為參照，這個選定的物體稱為參照物。 為了定量地描述物體的運動，必須在參照物上建立坐標，形成坐標系。通常采用直角坐標系Oxyz，有時也采用極坐標系。 平面直角坐標系一般有三種類型，一是兩軸沿水平和垂直方向，二是兩軸沿傾斜平面的平行和垂直方向，三是兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這一類坐標系稱為自然坐標）。 212.位置矢量位移與距離 在直角坐標系中，質點的位置可以用x、y、z三個坐標表示。 粒子運動時，其坐標是時間的函數 x=X(t) y=Y(t) z=Z(t) 這是粒子的運動方程。粒子的
2、位置也可以用從原點O指向粒子P(x，y，z)的一條有向線段來表示。如圖2-1-1所示， 也是描述粒子在空間中位置的物理量。 的長度為粒子與原點的距離， 的方向由 的余弦和 決定。它們滿足：當粒子運動時，其位置矢量的大小和方向也隨時間而變化，可表示為=(t)。在直角坐標系中，設 分別為沿 方向的 和 單位矢量，則可表示為O2 圖2-1-2 位置矢量與原點的選擇有關。研究粒子的運動，不僅要知道它的位置留學之路，還要知道它位置的變化。如果一個粒子從空間中的一點移動到另一點，則相應的位置矢量由1變為2，這個變化稱為粒子的位移，如圖2-1-2所示。 位移是一個矢量，是從初始位置指向最終位置的有向線段，描述的是一定時間內粒子位置變化的大小。
3.大小和方向。與坐標原點的選擇無關。 213.速度 質點在一段時間內，其位移與所用時間的比值叫做這段時間內的平均速度。平均速度是一個矢量，它的方向與 的方向相同。平均速度的大小與所取的時間間隔有關，所以要具體說明平均速度是哪一段時間（或哪段位移）的。當瞬時速度無窮小，即趨于零時，就成為t時刻的瞬時速度，簡稱速度。瞬時速度是一個矢量，它的方向是軌跡的切線方向。瞬時速度的大小叫速率。速率是一個標量。 214.加速度 質點的平均加速度使它的速度隨時間改變 ，那么 的比值就是這段時間內的平均加速度。平均加速度是一個矢量，它的方向是 的方向。 當瞬時加速度無窮小，即趨于零時， 的比值叫做這一時刻的瞬時加速度，簡稱加速度。
4、它是矢量，它的方向是速度增量趨近于零時的極限方向。 215.勻加速直線運動 加速度不隨時間t變化的直線運動叫做勻加速直線運動。若與 方向相同，則為勻加速直線運動；若方向相反，則為勻減速直線運動。勻加速直線運動規律為： 圖2-1-3Ovt 圖2-1-4 勻加速直線運動規律也可以用圖像來描述，它的位移時間圖像（st圖）和速度時間圖像（vt圖）分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。 從（st）圖中可以得到： （1） 任意一段時間內的位移。 （2） 平均速度，即（）時間內平均速度的大小，是圖上過點1、2的割線的斜率。 （3）瞬時速度，圖形上某一點的切線斜率值等于該時刻的速度值。由st圖可得：
5.（vt）圖形可以揭示： （1） 任意時刻的速度。 （2） 任意時間段內的位移，該時間段內的位移等于vt圖形上時間與橫軸所圍成的“面積”。這一結論對非勻速加速直線運動也適用。 （3） 加速度，vt圖形的斜率等于加速度的值。如果是非勻速加速直線運動，vt圖形上任一點的切線的斜率就是該時刻瞬時加速度的大小。 2.2 運動的合成與分解 相對運動 221. 運動的合成與分解 （1） 矢量的合成與分解 矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩個分量構成平行四邊形的兩條相鄰邊，合成矢量就是這兩個分量共同的平行四邊形對角線。 三角形法則由平行四邊形法則推導而來，多邊形法則可由多個向量的合成推導而來。同一直線上的向量的合成與分解可簡化為代數運算，從而
6、不在同一直線上的矢量的合成與分解，一般通過正交分解法計算，即將各矢量投影到互相垂直的坐標軸上，先對各軸進行代數運算高中物理競賽運動學，再進行矢量運算。 （2）運動的合成與分解 運動的合成與分解是矢量合成與分解的一種。運動的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運動的合成與分解的主要特點是：運動的合成與分解總是與力的作用相對應；各子運動具有相互獨立的性質，即每一個方向的運動與其他方向運動的存在無關，符合力的獨立作用原理；位移等物理量只能在一段時間內完成，因此它們的合成與分解必須注意等時性，即每個運動必須在同一時間內取位移； 瞬時速度等物理量是指某一時刻的物理量，因此，它們的合成和分解必須注意瞬時性。
7.性質，即必須取同一時刻的速度。兩個直線運動的合成不一定是直線運動，這一點可以由學生證明。例如：兩個勻速直線??運動的合成依然是勻速直線運動；兩個初速度為零的勻加速直線運動（同一時刻）的合成依然是初速度為零的勻加速直線運動；在同一直線上的勻速運動與初速度為零的勻加速直線運動的合成，是初速度不為零的勻加速直線運動，如：垂直向上與垂直向下的運動；不在同一直線上的勻速運動與初速度為零的勻加速直線運動的合成，是曲線運動，如：斜拋運動。 222.相對運動 任何物體的運動都是相對于一定的參考系進行的。相對于不同的參考系，同一物體的運動往往具有不同的特點，具有不同的運動學量。 相對于觀察者靜止的參考系通常稱為靜止參考系；相對于觀察者靜止的參考系稱為靜止參考系；
8、運動參考系稱為運動參考系。物體相對于靜止參考系的運動稱為絕對運動，相應的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對于運動參考系的運動稱為相對運動，相應的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；運動參考系相對于靜止參考系的運動稱為牽涉運動，相應的速度和加速度分別稱為牽涉速度和牽涉加速度。絕對運動、相對運動、牽涉運動的速度關系為：絕對速度等于相對速度與牽涉速度的矢量和。這一結論適用于運動參考系相對于靜止參考系是平移還是旋轉。當運動參考系相對于靜止參考系平移時，加速度也存在同樣的關系：當運動參考系相對于靜止參考系旋轉時，這一關系不適用。假設有一列平板列車以速度（下標“T”表示
9、火車相對于地面，下同）。有一位大膽的司機在火車上駕駛汽車，相對于火車的速度為，那么顯然汽車相對于地面的速度為：（注意：和不一定在一條直線上）如果車上有一只小狗，以相對于汽車的速度奔跑，那么小狗相對于地面的速度為。從以上兩個公式可以看出，上述相對運動公式必須遵守以下原則：合成速度的前導索引與第一個分速度的前導索引相同。合成速度的尾隨索引與最后一個分速度的尾隨索引相同。前一個分速度的尾隨索引與相鄰的后續分速度的前導索引相同。所有分速度都采用矢量合成法相加。將速度的前導索引和尾隨索引互換，改變它們的符號。上述相對速度公式同樣適用于相對位移和相對加速度。 相對運動的應用非常廣泛，很多問題通過它的應用可以大大簡化。
10、換算。下面舉兩個例子。 =20m/svA=10m/s圖2-2-1比如，如圖2-2-1所示，兩粒子A、B在同一鉛垂平面上以初速度向圖中兩個方向拋出，1s后A、B相距多少米？ 對于這道題，我們可以取一個初速度為零的參考系，A、B被拋出后，以加速度g開始向下運動。在這個參考系中，兩粒子A、B都做勻速直線運動，方向互相垂直，它們之間的距離m在空間某點O。 許多小球以同樣的速度向三維空間各個方向射出，經過ts后，這些小球中距離最遠的兩個球之間的距離是多少（假設ts內所有的小球都沒有和其他物體發生碰撞）？ 這個問題乍一看似乎是一個比較復雜的問題，因為我們需要考慮小球被射向各個方向的情況。但如果我們取一個與小球被射出同時開始的參考系。
11.在從O點自由落體的參考系中，所有的小球始終在以O點為圓心的球面上。球的半徑為，所以最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2。 2.3 拋物運動 231. 曲線運動基本知識 圖2-3-1 具有彎曲軌跡的運動稱為曲線運動。它一定是變速的運動。圖2-3-1顯示一個質點做曲線運動，當它經過P點時，在P點兩側的軌跡上取兩點。通過三點可以畫一個圓，當這兩點無限接近P點時，圓也就趨近于一個固定的圓。 我們把這個圓稱為P點的曲率圓，曲率圓的半徑稱為P點的曲率半徑，曲率圓的圓心稱為P點的曲率中心，曲率半徑的倒數稱為P點的曲率。如圖2-3-1所示，也可以畫出Q點的曲率圓。曲率半徑越大，曲率越小，曲線彎曲得越慢。曲率半徑
12、該值越小，曲率越大，說明曲線很彎曲。直線可以看作是曲率半徑為無窮大的曲線。圖2-3-2 曲線運動中質點的瞬時速度方向總是沿著該點的切線方向。如圖2-3-2所示，一個質點在時間t內沿曲線從A點移動到B點，其速度由V變為VB。那么它的速度增量就是二者的矢量差，=VBV。這個速度增量可以分解成兩個分量：在VB上取一段等于V的AC，則V分解成V和V，其中V表示質點從A向B運動時速度方向的增量，V表示速度幅值上的增量。 法向加速度a表示質點做曲線運動時，速度方向變化的快慢，其大小為A點處曲率圓的向心加速度，方向指向A點的曲率中心。切向加速度表示質點做曲線運動時，速度方向變化的快慢，方向也是沿切線方向。
13.它的大小就是總加速度a，是軸向加速度與切向加速度的矢量和。 232.拋物線運動是曲線運動的一個重要特例。物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，物體在地球表面附近運動，其運動高度遠小于地球半徑，則在運動過程中，其加速度始終是垂直向下的重力加速度。因此，拋射運動是加速度恒定的曲線運動。根據運動疊加原理，拋射運動可以看作是兩個直線運動的疊加。常用的處理方法是：把拋射運動分解為水平方向的勻速直線運動和垂直方向的勻加速直線運動。如圖2-3-3所示。取拋物線軌跡所在平面為平面，以拋點為坐標系原點，水平方向為x軸，垂直方向為y軸。 那么拋體運動的規律是：它的軌跡方程是這是開口向下的拋物線方程，當拋擲點與落點在同一直線上時
14、在水平面情況下，飛行時間T、射程R、高度H分別為。拋射運動是對稱的，上升時間和下落時間（投擲點與落點在同一水平面上）相等（一般從某一高度到最高點的時間與從最高點到同一高度的時間相等）；上升和下降過程中經過同一高度時速度相等，速度方向與水平方向的夾角相等。以下是一種特殊的拋射運動水平拋射運動：質點只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運動叫做水平拋射運動。它可以看作是水平方向勻速運動（速度為v0）與垂直方向自由落體運動的綜合。 圖2-3-4 速度：利用水平和垂直方向的直角坐標系，可得： ，其合成速度的大小為 ，其合成速度的方向為（假設水平夾角為 ），可以看出 時，即速度接近于自由落體的速度。 位移：仍按上述坐標系，可得。仿照上述討論，可得同樣的結論，當時間很長時，水平拋射運動接近于自由落體運動。 加速度：利用水平和垂直直角坐標系，可得，用自然坐標系分解，如圖2-3-4所示高中物理競賽運動學，其法向加速度為 ，其切向加速度為 ，即速度與水平方向的夾角。將速度在水平和垂直坐標系中分解可得： 由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為