這次我們來回顧一下振動部分。
我們首先從與振動相關的微分方程開始
可以參考這部分的相關推導（考前沒有時間就不看）
雖然是二階線性常微分方程，但是求解起來很不方便，所以建議直接背公式即可。
常見的機械振動模型有簡諧振動、阻尼振動和受迫振動三種。
1、簡諧振動
高中時我們很熟悉簡諧運動，對應的微分方程為
begin{}frac{txrzbvzd^2x}{txrzbvzdt^2}+frac{k}{m}x=0 end{}
解是一個三角量： x=Acos(omega t+)
其中，omega=sqrtfrac{k}{m}、A和需要通過額外的初值條件來確定。
對于這個量，我們面臨的第一個問題是找到方程本身所代表的值 - Ω
第二步，在求解完Ω后，通過初值條件求解A和。
這里所說的初值條件一般是指某一時刻簡諧振動質點相對于原點的位置，以及該點相對于原點的速度。
我們來看下面的例子
10-6
該問題的解決遵循上述流程。
去掉勻速下降的約束后，鋼絲繩加上重量就相當于一個彈簧。 我們可以很容易地找到這個彈簧振蕩器的 Ω。
omega=sqrtfrac{k}{m}=sqrtfrac{5.78^6}{1.5^4} rm rad/s=19.63 rm rad/s
下一步是通過初始值條件計算振幅A，從而計算出最大張力。
這里的初值條件是在鋼絲繩卷起的瞬間，系統開始做簡諧振動。 此時重物的速度最大，處于簡諧振動的平衡位置。 因此，我們有
v_0=omega A=15rmm/min=0.25rmm/s
A=frac{v_0}{omega}=0.0127 rm m
我們可以知道，當重物向下運動到達最低點時，我們可以得到最大的拉力
T_{max}=mg+kA=2.21^5rmN
這道題是一個比較簡單的應用。 接下來，讓我們看看一些更復雜的應用程序。
10-7
這個問題解決起來有點棘手，但也有道理。
找到 Ω 的第一步相對簡單。由于物體在撞擊平板之前才開始簡諧振動，因此我們有
omega=sqrtfrac{k}{m+m_0}
當它落在盤子上的那一刻，結合胡克定律，我們可以找到位置坐標
x_0=Acos=-frac{mg}{k}
結合動量守恒定律，我們還可以求解出相應的
v_0=-Aomega sin=frac{m}{m+m_0}·sqrt{2gh}
由此我們可以得知
A=sqrt{x_0^2+(frac{v_0}{omega}})^2=sqrt{(frac{mg}{k})^2+frac{2m^2gh}{(m +m_0)k}}=frac{mg}{k}sqrt{1+frac{2kh}{(m+m_0)g}}
tan=frac{-v_0}{omega x_0}=sqrt{frac{2hk}{(m+m_0)g}}
這里可以使用反三角函數快速找到嗎？ 事實上，這是不可能的。
在此之前，我們必須確定初始相位角的位置。 這里，由于0">x_00，我們的實際上位于第三象限，因此，我們不能簡單地直接對三角函數求反，我們還應該在前面加上一個pi才可以寫公式。
最后我們得到
x=Acos(omega t+)=frac{mg}{k}sqrt{1+frac{2kh}{(m+m_0)g}}cos(sqrt{frac{k} {m+m_0}}t+[sqrt{frac{2hk}{(m+m_0)g}}+pi])
（公式最終改得面目全非）
接下來我們繼續進行相關計算
10-8
這道題也用了和之前一樣的方法。
第一步計算Ω，進一步直接計算相關物理量（如周期、頻率等）
無論是第一種情況還是第二種情況，我們都有
omega=sqrt{frac{k}{m+m_0}}
相應的周期
T=frac{2pi}{omega}=2pisqrtfrac{m+m_0}{k}
第二步也是根據初值條件求解振幅和振動能量。
對于問題中的第一種情況，落在m_0上后沒有能量損失。
此時簡諧振動的振幅不變，仍為A，能量不變，仍為frac{1}{2}kA^2
對于問題中的第二種情況，能量損失發生在落在 m_0 上之后。
在這種情況下，簡諧振動的振幅將會改變。
我們先來計算一下能量損失：
Delta E=frac{1}{2}(m+m_0)(frac{}{m+m_0})^2-frac{1}{2}^2=-frac{1}{2 }^2(frac{m}{m+m_0})=-frac{1}{2}frac{m}{m+m_0}kA^2
因此剩余能量為
E'=E_0+Delta E=frac{m}{m+m_0}E=frac{m}{m+m_0}·frac{1}{2}kA^2
由此我們得到
A'=sqrtfrac{2E'}{k}=sqrt{frac{m}{m+m_0}}A
接下來是一些更奇怪的模型
為了解決這些問題，我們不得不求助于動力學分析的方法（學理論力學的請不要認真）。
10-10
乍一看，這個問題似乎與和諧振動無關。 這說明我們需要仔細地從問題中挖掘出相關的微分方程，得到類似于簡諧振動的運動方程，最終得到相關的公式。
對于這類問題，我們通常會計算偏差狀態下的恢復力，這樣計算出對應的值。
廢話不多說，我們先分析一下受力。 假設偏移后桿中心C到桿中心O的距離為x（右邊為正方向）
整個桿子垂直受力均衡
F_{N_1}+F_{N_2}=G
對于兩輪中點O處的力矩平衡，我們有
F_{N_1}·d+G·x=F_{N_2}·d
橫向上，我們有
F_{f_1}-F_{f_2}=mu(F_{N_1}-F_{N_2})=ma
因此我們有
ma=mu(F_{N_1}-F_{N_2})=mu G ·(-frac{x}txrzbvzd)=-frac{mu G}txrzbvzdx
a=-frac{mu g}txrzbvzdx
即begin{}frac{txrzbvzd^2x}{txrzbvzdt^2}+frac{ mu g}txrzbvzdx=0 end{}
現在可以證明這個運動是簡諧運動。
由此我們可以得到
omega=sqrt{frac{mu g}txrzbvzd},qquad T=2pisqrt{fractxrzbvzd{mu g}}
如果兩個輪子以相反的方向旋轉，我們有
begin{}frac{txrzbvzd^2x}{txrzbvzdt^2}-frac{ mu g}txrzbvzdx=0 end{}
由此我們得到
frac{{rm d}v}{{rm d}t}=frac{mu gx}txrzbvzd
兩邊同時除以v，有
frac{{rm d}v}{{rm d}t}frac{{rm d}t}{{rm d}x}=frac{mu gx}{d·v}
v{rm d}v=frac{mu g}txrzbvzdx{rm d}x
積分得到 v=sqrt{frac{mu g}txrzbvzd(x^2-x_0^2)}，其中 x_0 是輕微偏移后桿中心的初始坐標。
我們來看一些更典型的例子
此時同樣的方法，我們首先計算omega
列出動力學方程
恢復力 F=-(k_1x+k_2x) \ a=-frac{k_1+k_2}{m}x
因此我們有omega=sqrtfrac{k_1+k_2}{m}
根據初值條件，可以得出A=x_0, =0
最后我們得知A是正確選項。
上述情況相當于兩個彈簧串聯后的情況。
接下來我們看一下兩個彈簧并聯的情況
通過計算恢復力，我們得到如下相同的結論。
F=-(k_1x+k_2x) \ a=-frac{k_1+k_2}{m}x
我們最終得到的結果與串聯一致
此外，還有一些單擺和復擺，在擺角很小時，符合簡諧振動的相關定律。
對于單擺大家應該都非常熟悉了。 高中選修3-4的同學應該已經解出了它的角頻率和周期。
假設擺球的質量為m，偏轉角為θ，擺的長度為l
ma=mlddot{theta}=-mgsintheta -mgtheta
得到ddottheta+frac{g}{l}theta=0
omega=sqrtfrac{g}{l}, T=2pi sqrtfrac{l}{g}
我們來看看復擺。 我們直接看前面的例子。
10-11日
圖中左側的桿與圓盤固定連接，右側的桿通過鉸鏈與圓盤連接。
分析此時的受力，我們可以看到左邊的桿和圓盤形成一個大剛體，屬于復擺的范疇。 右邊的桿是一個二力桿，相當于一根繩子，實際上是一個簡單的擺模型。 應用前面的結論就夠了。
我們關注左邊的復擺。
如果懸掛點與重心的連線有輕微的角度偏差theta
此時的恢復力矩應為M=-mglsintheta-mgltheta，其中l為懸掛點到重心的距離。
又由于剛體旋轉定律（相當于剛體中的牛頓第二定律），設剛體圍繞懸掛點的轉動慣量為J
M=Jalpha, alpha=ddottheta
因此我們有ddot theta+frac{mgh}{J}theta=0
omega=sqrtfrac{mgh}{J}, T=2pi sqrtfrac{J}{mgh}
具體在這個問題中
h=l+r , J=frac{1}{2}mr^2+m(l+r)^2 （使用平行軸定理）
所以
T=2pi sqrtfrac{J}{mgh}=2pisqrtfrac{frac{1}{2}mr^2+m(l+r)^2}{mg(l+ r )}=2pi sqrt{frac{r^2+2(l+r)^2}{2g(l+r)}}=2pisqrt{frac{r^2}{ 2g (l+r)}+frac{l+r}{g}}
右邊擺的周期是
T_0=2pisqrtfrac{l+r}{g}
可以看出，這種復擺的周期比單擺略有增加。
接下來我們看一個簡單復雜的問題
這里的h=frac{1}{2}l, J=frac{1}{3}ml^2可以通過帶入復擺的公式來求解。
T=2pisqrtfrac{J}{mgh}=2pisqrtfrac{frac{1}{3}ml^2}{mg frac{l}{2}}=2 pisqrtfrac{2l}{3g}。
2、阻尼振動和受迫振動
阻尼振動和受迫振動的公式比較復雜，你不太可能參加考試。 您只需要了解一些基本概念即可。
振動方程如下所示（阻尼振動方程右側為0）
begin{}frac{txrzbvzd^2x}{txrzbvzdt^2}+frac{gamma}{m}frac{txrzbvzdx}{txrzbvzdt}+ frac{k}{m}x=frac{F_0cos(omega t)}{m} end{}
我們先跳過這里的推導過程，這里引入一個非常重要的阻尼系數δ。
delta=frac{gamma}{2m}，它不僅是討論阻尼類型的重要基礎，也是阻尼振動方程的重要組成部分。
這里我們還是習慣性地假設omega=sqrtfrac{k}{m}
當0">delta^2-omega^2>0時，特征方程有兩個不相等的實根，在沒有外力驅動時，屬于過阻尼情況。
當δ^2-omega^2=0時，特征方程有兩個相等的實根，這是不受外力驅動時的臨界阻尼情況。
當 δ^2-omega^2 時，特征方程有兩個復根，在沒有外力驅動時，屬于欠阻尼情況。
其中，只有欠阻尼有往復運動。 我們有
阻尼下 x(t)=A_0{rm e}^{-delta t}cos(omega't+')
其中，omega'=sqrt{omega^2-delta^2}，其他量由初值條件確定。
在受迫振動過程中，經過一段時間后，振子的振動頻率將基本與外力的頻率相同，但振幅和相位僅取決于振子的性質、阻尼的大小以及驅動力的特點。 無需額外確定初始值條件。
當外力的頻率與振蕩器的固有頻率近似相同時，就會發生共振。
共振分為兩種：速度共振和位移共振。 這里直接得出結論。
速度共振圓頻率與自然圓頻率相同
位移共振圓頻率=sqrt{^2-2delta^2}。
這里考的概率很低，所以我不會問任何問題。
3.簡諧振動的合成
主要分為同頻共線、異頻共線和非共線三種情況。
對于同頻率、同線方向振動的兩個量的合成，我們可以直接輸入公式，也可以采用類似矢量合成的方法。
通過使用公式方法進行暴力合成，我們有
x_1=A_1cos(omega t+)
x_2=A_2cos(omega t+)
x_1+x_2=A_1cos(omega t+)+A_2cos(omega t+)=A'cos(omega t+')
其中 A'=sqrt{A_1^2+A_2^2-cos(-)}
tan '=frac{A_1sin+A_2sin}{A_1cos+A_2cos}
對于不同頻率共線振動的合成，可以采用和差積法來實現。
x_1=A_1cos(t+)
x_1=A_2cos(t+)
x_1+x_2=A_1cos(omega t+)+A_2cos(omega t+)=A'cos(frac{-}{2} t)cos(frac{+ }{2} t+')
將此波形視為調制（使用 cos(frac{-}{2} t) 來調制 cos(frac{+}{2} t+') ），我們可以將 A ' cos(frac{-}{2} t) 視為振幅高中物理單擺和振子，則振幅絕對值的變化頻率為
2(frac{}{2\pi}-frac{}{2\pi})=|nu_1-nu_2| ，這個頻率也稱為拍頻（假設 |nu_1- nu_2| 相對較小）。
對于不共線的兩個簡諧波，
綜合之后高中物理單擺和振子，我們一般可以得到一些比較復雜的圖形（同頻率下的利薩如圖形、橢圓或者直線，不同頻率下比較通用的利薩如圖形）
當 fy:fx=2:1 時的利薩如圖
讓我們看一個例子
這道題我們可以用公式的方法，但是比較麻煩，而且容易把符號弄錯。 因此，在使用公式之前，我們可以通過畫圖大致弄清楚各個振動與組合振動之間的關系。
建立坐標系，將一階簡諧振動的初始相位設為0，可以得到如下向量關系圖
這樣關系就清楚了。 比較容易理解的是，第二個向量是向量{CB}，它等價于向量{AD}，所以我們可以很容易地計算出對應的值。
A_2=10rm厘米
-=-frac{pi}{2}
