[sin theta theta = frac{{{{mbox{$Large{frown}$}}}{OP}}}{l} frac{l}{x}]
如果角度 θ 很小，則以弧度表示的 θ 大約等于其正弦 sin θ。
因此，單擺振動的恢復力F可表示為
[F = - frac{{mg}}{l}x]
式中負號表示恢復力與位移方向相反。對于某個簡單擺，擺球的質量m和擺的長度l一定，(frac{{mg }}{l})可以用常數k來表示，因此上式可以寫為
[F = - kx]
可見，當擺角很小時，簡擺進行簡諧振動。
做吧
如圖2.4-2所示，一根拆下柱塞的注射器懸掛在細線下方，注射器內充滿了墨水。 當注射器擺動時，沿垂直于擺動的方向勻速拖動板子，觀察板上噴出的油墨圖案。
圖2.4-2 觀察墨紋擺周期
一個小球系在一根短繩上，它的振動周期很短。 懸掛繩較長的秋千（圖2.4-3）的周期較長。 哪些因素決定單擺的周期？
圖2.4-3 不同長度懸吊繩的秋千
下面我們通過實驗來研究這個問題。
實驗
探討單擺的周期與其長度的關系
如圖2.4-4所示，兩個簡單擺固定在鐵平臺的橫梁上。 根據下列情況，將它們拉到一定角度單擺回復力，同時松開，觀察兩個擺的振動周期。
圖2.4-4 研究單擺的振動周期
1. 兩個擺具有相同的擺球質量和擺長，但振幅不同（均處于小偏轉角）。
2、兩個擺的長度和振幅相同，但擺球的質量不同。
3、兩個擺的振幅和擺球質量相同，但擺長不同。
通過比較這三種情況下兩個擺的周期可以得出什么結論？
實驗表明，簡擺的簡諧振動周期與擺的長度有關。 擺的長度越長，周期越大； 單擺的周期與擺球的質量和振幅無關。
單擺的周期與其長度之間有什么數量關系？
做吧
改變擺的長度l，測量單擺的相應周期T（小偏轉角下）。 根據您的實驗數據，嘗試在方格紙上繪制 Tl 圖像或 T-l2 圖像。 它們是什么曲線？ 你能根據圖像確定單擺的周期與其長度之間的關系嗎？
為了找出單擺周期與其長度之間的定量關系，荷蘭物理學家惠更斯進行了詳細研究，發現單擺簡諧振動的周期T與單擺長度的平方根成正比。 l 與重力成正比加速度g與g的平方根成反比，與擺球的振幅或質量無關。惠更斯建立了計算單擺周期的公式
[T = 2pi sqrt {frac{l}{g}} ]
惠更斯 (1629-1695)
單擺周期公式的發現，使人類利用簡諧振動定量測量時間成為可能，并基于此發明了真正可持續的時鐘。
科學漫步
從日晷到原子鐘
在人類文明進步和科學技術發展的漫長歷史中，人類的活動都離不開時間測量的精確性。 很久以前，我們的祖先就利用天體的周期性運動來記錄時間。 例如，太陽和月亮相對于自身的位置被用來模糊地定義時間。
后來，人們通過觀察自然現象逐漸發明了日晷、水鐘、沙漏等人工計時裝置，這標志著人工鐘表開始出現（圖2.4-5）。
圖2.4-5 日晷
當鐘擺等能長時間周期性運動的振蕩器出現后，人們利用能產生一定振蕩頻率的裝置作為時間頻率標準，并以此為基礎發明了真正可持續的時鐘。
20世紀30年代開始，隨著晶體振蕩器的發明，小型化、低能耗的石英晶體鐘取代了機械鐘，廣泛應用于電子計時器等各種計時領域。
從20世紀40年代開始，科學家利用原子超精細結構的躍遷能級具有非常穩定的躍遷頻率這一事實單擺回復力，開發出比晶體鐘精度更高的原子鐘。
隨著激光冷卻原子技術的發展，利用激光冷卻原子制成的冷原子鐘（圖2.4-6）進一步提高了時間測量的精度。 迄今為止，地面上最精確的冷原子噴泉鐘已達到每3億年誤差僅1秒，更高精度的冷原子光學鐘也在快速發展中。
圖2.4-6 我國制造的空間冷原子鐘
近年來，科學家將激光冷卻原子技術與太空微重力環境相結合，有望在太空軌道上獲得比地面線寬窄一個數量級的原子鐘譜線，從而進一步提高精度原子鐘。 這將是原子鐘的第一步。 發展史上的又一重大突破。
練習和應用
本節有 4 個練習。 問題1和問題2鞏固和加強學生對單擺周期公式的應用和理解。 第3題和第4題考驗和培養學生將公式與圖像相互轉換的能力。
1. 理想的擺具有周期T。如果由于某種原因（例如轉移到另一個星球）自由落體加速度變為原來的(frac{1}{2})并且振幅變為原來的( frac{1}{3})，擺的長度變為原來的(frac{1}{4})，擺球的質量變為原來的(frac{1} {5})，其周期是多少？
參考答案：(frac{{sqrt 2 }}{2})T
2、周期為2秒的單擺稱為二擺。 第二個擺的長度是多少？ 將地球上的第二個擺帶到月球上。 已知月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2。 它在月球上完成 50 次完整振動需要多長時間？
參考答案：擺錘的長度約為1 m，完整振動50次大約需要250 s。
3、圖2.4-7是兩個簡單擺的振動圖像。
圖2.4-7
(1) 擺錘A和B的長度之比是多少？
(2) 以向右方向為擺球離開平衡位置的位移正方向，從t=0開始，當B第一次達到向右最大位移時，A擺到什么位置到？ 它朝什么方向移動？
參考答案：（1）1：4； (2) A 處于平衡狀態，向左移動。
4、將一個小球掛在細線下，讓它自由擺動，畫出它的振動圖像如圖2.4-8所示。
(1) 請根據圖中數據計算其擺長。
(2) 請根據圖中數據估算其擺動的最大偏轉角度。
圖2.4-8
參考溶液：(1)1m； (2)2.3°
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