[sin theta theta = frac{{{{mbox{$Large{frown}$}}}{OP}}}{l} frac{l}{x}]
如果角度 θ 很小，則以弧度表示的 θ 大約等于其正弦 sin θ。
因此，單擺振動的恢復(fù)力F可表示為
[F = - frac{{mg}}{l}x]
式中負(fù)號表示恢復(fù)力與位移方向相反。對于某個(gè)簡單擺，擺球的質(zhì)量m和擺的長度l一定，(frac{{mg }}{l})可以用常數(shù)k來表示，因此上式可以寫為
[F = - kx]
可見，當(dāng)擺角很小時(shí)，簡擺進(jìn)行簡諧振動。
做吧
如圖2.4-2所示，一根拆下柱塞的注射器懸掛在細(xì)線下方，注射器內(nèi)充滿了墨水。 當(dāng)注射器擺動時(shí)，沿垂直于擺動的方向勻速拖動板子，觀察板上噴出的油墨圖案。
圖2.4-2 觀察墨紋擺周期
一個(gè)小球系在一根短繩上，它的振動周期很短。 懸掛繩較長的秋千（圖2.4-3）的周期較長。 哪些因素決定單擺的周期？
圖2.4-3 不同長度懸吊繩的秋千
下面我們通過實(shí)驗(yàn)來研究這個(gè)問題。
實(shí)驗(yàn)
探討單擺的周期與其長度的關(guān)系
如圖2.4-4所示，兩個(gè)簡單擺固定在鐵平臺的橫梁上。 根據(jù)下列情況，將它們拉到一定角度單擺回復(fù)力，同時(shí)松開，觀察兩個(gè)擺的振動周期。
圖2.4-4 研究單擺的振動周期
1. 兩個(gè)擺具有相同的擺球質(zhì)量和擺長，但振幅不同（均處于小偏轉(zhuǎn)角）。
2、兩個(gè)擺的長度和振幅相同，但擺球的質(zhì)量不同。
3、兩個(gè)擺的振幅和擺球質(zhì)量相同，但擺長不同。
通過比較這三種情況下兩個(gè)擺的周期可以得出什么結(jié)論？
實(shí)驗(yàn)表明，簡擺的簡諧振動周期與擺的長度有關(guān)。 擺的長度越長，周期越大； 單擺的周期與擺球的質(zhì)量和振幅無關(guān)。
單擺的周期與其長度之間有什么數(shù)量關(guān)系？
做吧
改變擺的長度l，測量單擺的相應(yīng)周期T（小偏轉(zhuǎn)角下）。 根據(jù)您的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，嘗試在方格紙上繪制 Tl 圖像或 T-l2 圖像。 它們是什么曲線？ 你能根據(jù)圖像確定單擺的周期與其長度之間的關(guān)系嗎？
為了找出單擺周期與其長度之間的定量關(guān)系，荷蘭物理學(xué)家惠更斯進(jìn)行了詳細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)單擺簡諧振動的周期T與單擺長度的平方根成正比。 l 與重力成正比加速度g與g的平方根成反比，與擺球的振幅或質(zhì)量無關(guān)。惠更斯建立了計(jì)算單擺周期的公式
[T = 2pi sqrt {frac{l}{g}} ]
惠更斯 (1629-1695)
單擺周期公式的發(fā)現(xiàn)，使人類利用簡諧振動定量測量時(shí)間成為可能，并基于此發(fā)明了真正可持續(xù)的時(shí)鐘。
科學(xué)漫步
從日晷到原子鐘
在人類文明進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的漫長歷史中，人類的活動都離不開時(shí)間測量的精確性。 很久以前，我們的祖先就利用天體的周期性運(yùn)動來記錄時(shí)間。 例如，太陽和月亮相對于自身的位置被用來模糊地定義時(shí)間。
后來，人們通過觀察自然現(xiàn)象逐漸發(fā)明了日晷、水鐘、沙漏等人工計(jì)時(shí)裝置，這標(biāo)志著人工鐘表開始出現(xiàn)（圖2.4-5）。
圖2.4-5 日晷
當(dāng)鐘擺等能長時(shí)間周期性運(yùn)動的振蕩器出現(xiàn)后，人們利用能產(chǎn)生一定振蕩頻率的裝置作為時(shí)間頻率標(biāo)準(zhǔn)，并以此為基礎(chǔ)發(fā)明了真正可持續(xù)的時(shí)鐘。
20世紀(jì)30年代開始，隨著晶體振蕩器的發(fā)明，小型化、低能耗的石英晶體鐘取代了機(jī)械鐘，廣泛應(yīng)用于電子計(jì)時(shí)器等各種計(jì)時(shí)領(lǐng)域。
從20世紀(jì)40年代開始，科學(xué)家利用原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)的躍遷能級具有非常穩(wěn)定的躍遷頻率這一事實(shí)單擺回復(fù)力，開發(fā)出比晶體鐘精度更高的原子鐘。
隨著激光冷卻原子技術(shù)的發(fā)展，利用激光冷卻原子制成的冷原子鐘（圖2.4-6）進(jìn)一步提高了時(shí)間測量的精度。 迄今為止，地面上最精確的冷原子噴泉鐘已達(dá)到每3億年誤差僅1秒，更高精度的冷原子光學(xué)鐘也在快速發(fā)展中。
圖2.4-6 我國制造的空間冷原子鐘
近年來，科學(xué)家將激光冷卻原子技術(shù)與太空微重力環(huán)境相結(jié)合，有望在太空軌道上獲得比地面線寬窄一個(gè)數(shù)量級的原子鐘譜線，從而進(jìn)一步提高精度原子鐘。 這將是原子鐘的第一步。 發(fā)展史上的又一重大突破。
練習(xí)和應(yīng)用
本節(jié)有 4 個(gè)練習(xí)。 問題1和問題2鞏固和加強(qiáng)學(xué)生對單擺周期公式的應(yīng)用和理解。 第3題和第4題考驗(yàn)和培養(yǎng)學(xué)生將公式與圖像相互轉(zhuǎn)換的能力。
1. 理想的擺具有周期T。如果由于某種原因（例如轉(zhuǎn)移到另一個(gè)星球）自由落體加速度變?yōu)樵瓉淼?frac{1}{2})并且振幅變?yōu)樵瓉淼? frac{1}{3})，擺的長度變?yōu)樵瓉淼?frac{1}{4})，擺球的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?frac{1} {5})，其周期是多少？
參考答案：(frac{{sqrt 2 }}{2})T
2、周期為2秒的單擺稱為二擺。 第二個(gè)擺的長度是多少？ 將地球上的第二個(gè)擺帶到月球上。 已知月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2。 它在月球上完成 50 次完整振動需要多長時(shí)間？
參考答案：擺錘的長度約為1 m，完整振動50次大約需要250 s。
3、圖2.4-7是兩個(gè)簡單擺的振動圖像。
圖2.4-7
(1) 擺錘A和B的長度之比是多少？
(2) 以向右方向?yàn)閿[球離開平衡位置的位移正方向，從t=0開始，當(dāng)B第一次達(dá)到向右最大位移時(shí)，A擺到什么位置到？ 它朝什么方向移動？
參考答案：（1）1：4； (2) A 處于平衡狀態(tài)，向左移動。
4、將一個(gè)小球掛在細(xì)線下，讓它自由擺動，畫出它的振動圖像如圖2.4-8所示。
(1) 請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算其擺長。
(2) 請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)估算其擺動的最大偏轉(zhuǎn)角度。
圖2.4-8
參考溶液：(1)1m； (2)2.3°
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