接觸剖析的挑戰(zhàn)性
接觸是在固體熱學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中普遍存在的問(wèn)題。對(duì)自然界中許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述都涉及接觸現(xiàn)象。諸如零部件裝配時(shí)的配合，橡膠密封器件的防漏，內(nèi)胎與地面的互相作用，撞擊問(wèn)題以及壓力加工行業(yè)的大量成形工藝過(guò)程等。
接觸過(guò)程中兩個(gè)物體在接觸界面上的互相作用是復(fù)雜的熱學(xué)現(xiàn)象，同時(shí)也是它們損傷直到失效破壞的重要誘因。從熱學(xué)剖析角度看，接觸是邊界條件高度非線性的復(fù)雜問(wèn)題，須要確切追蹤接觸前多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)以及接觸發(fā)生后這種物體之間的互相作用，同時(shí)包括正確模擬接觸面之間的磨擦行為和可能存在的接觸間隙傳質(zhì)。其中極少數(shù)的接觸問(wèn)題可以解析處理，絕大多數(shù)接觸問(wèn)題只能采用有限元、離散元、邊界元等數(shù)值方式進(jìn)行模擬，其中有限元法的應(yīng)用最為廣泛。對(duì)接觸全過(guò)程進(jìn)行有限元仿真，現(xiàn)今除了可以實(shí)現(xiàn)，但是正逐漸成為CAE/CAM的重要組成部份。
在實(shí)際工程中，有限元接觸剖析的估算結(jié)果常常用于對(duì)個(gè)別設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，比如對(duì)車胎進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化以增強(qiáng)安全性和壽命。若果采用基于梯度的優(yōu)化算法，須要得到熱學(xué)變量（位移、應(yīng)力、接觸反力分布狀況等）相對(duì)于設(shè)計(jì)參數(shù)（材料、尺寸、形狀、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等）的變化曲線和相應(yīng)的敏度（梯度）。對(duì)于無(wú)磨擦接觸情況，現(xiàn)有的有限元接觸算法，比如拉氏乘子法、罰函數(shù)法等，才能得到足夠穩(wěn)定的敏度數(shù)據(jù)；并且對(duì)于有磨擦接觸情況，若果不采取一些特殊的處理，則很難得到穩(wěn)定的數(shù)值結(jié)果，梯度的數(shù)值一般隨荷載和網(wǎng)格的改變而發(fā)生劇烈的振蕩，不具備可用性。
盡管接觸熱學(xué)和相關(guān)的數(shù)值方式早已廣泛應(yīng)用于工程開(kāi)發(fā)和科學(xué)研究，但對(duì)于接觸和磨擦的化學(xué)機(jī)制，目前尚未有完全的理解。
從工程的觀點(diǎn)來(lái)看，計(jì)算機(jī)技術(shù)和估算方式的發(fā)展，使我們才能更精確的剖析接觸問(wèn)題以適應(yīng)工程須要。對(duì)接觸問(wèn)題的仿真和模擬在工程設(shè)計(jì)的多個(gè)方面早已發(fā)揮了重要的作用，比如減小銹蝕、降低噪音和提升安全性等。
但從科研的觀點(diǎn)來(lái)看，現(xiàn)有的接觸數(shù)值算法流程過(guò)分復(fù)雜，須要花費(fèi)大量的顯存空間和估算時(shí)間，通常經(jīng)過(guò)反復(fù)的校核、修正才有可能得到符合實(shí)際情況的估算結(jié)果。迄今為止摩擦力和接觸面積有關(guān)系嗎，對(duì)于帶磨擦的接觸剖析，當(dāng)前各類商用有限元軟件常常不能給出精確可靠的結(jié)果。開(kāi)發(fā)穩(wěn)定、高效、健壯的接觸算法依然是一個(gè)急待解決的問(wèn)題。
以上挑戰(zhàn)性除了來(lái)自接觸過(guò)程中復(fù)雜的變型和受力狀況，更主要的緣由是接觸界面的邊界條件非線性。
接觸界面的非線性來(lái)始于兩個(gè)方面：
(1)接觸界面事先未知。接觸界面的區(qū)域大小和互相位置以及接觸狀態(tài)除了事先都是未知的，并且是隨時(shí)間變化的，須要在求解過(guò)程中確定。
(2)接觸條件的非線性。接觸條件的內(nèi)容包括：兩個(gè)相互接觸的物體不可互相侵入；接觸力的法向份量只能是壓力；切向接觸的磨擦條件。這種條件區(qū)別于通常約束條件，其特征是單邊性的不方程約束，具有強(qiáng)烈的非線性。
接觸界面的事先未知性和接觸條件的不方程約束決定了接觸剖析過(guò)程須要時(shí)常插入對(duì)接觸區(qū)域的搜索，須要多次迭代求解以確定接觸壓力和磨擦力。
另外，接觸過(guò)程往往涉及材料非線性和幾何非線性。諸如，車輛車胎與橋面的接觸是接觸熱學(xué)中最典型的實(shí)際工程問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，必須考慮因?yàn)榇笞冃驮斐傻膸缀畏蔷€性，為得到可靠的估算結(jié)果，還應(yīng)使用復(fù)雜的非線性材料本構(gòu)關(guān)系。因而，一般要求有限元接觸算法具備同時(shí)處理三種非線性（材料、幾何、邊界條件非線性）的能力。
接觸問(wèn)題的約束條件
2.1不可貫入性
如圖1，考慮兩個(gè)物體BI(I=A,B)相互接觸的情況，物體所搶占空間域?yàn)棣窱∈R3。物體BI的表面ΓI由三部份組成：ΓσI里面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI則是兩個(gè)物體的接觸面。
圖1接觸體之間的法向間隙
接觸物體在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面須要滿足不可貫入性要求，不可貫入性是指物體BA和BB的位形在變型和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不容許互相貫串（侵入和覆蓋），可用下式抒發(fā)：
式中，xI(I=A,B)指的是物體BI上表面各點(diǎn)對(duì)應(yīng)于變型后位形的座標(biāo)，即歐拉座標(biāo)：
式中，nA是物體BA表面的外法線方向單位矢量。假設(shè)接觸邊界描述了一個(gè)局部外凸的區(qū)域，我們可以將ΓB上的任一點(diǎn)xB與ΓA上的某一點(diǎn)
相關(guān)聯(lián)。?A(x身上兩點(diǎn)代表-，下同)是物體BA表面上距離xB近來(lái)的點(diǎn)，參見(jiàn)圖1，兩者距離用下式表示
該距離可用于定義接觸體BA和BB之間的法向間隙。
假如?A已知，不可貫入條件可用以下不方程約束來(lái)表示
對(duì)于變型體與剛性表面接觸的情況，上式一直創(chuàng)立，此時(shí)xA≡XA，nA≡NA。
2.2法向接觸力為壓力
接觸物體在動(dòng)力學(xué)方面須要滿足法向接觸力為壓力的條件。在不考慮接觸面間的黏附的情況下，物體之間的法向接觸力只可能是壓力，不能為拉力。
假如gN=0，法向接觸力pN=pAN=pBNN>0，意味著兩個(gè)物體間存在間隙，此時(shí)pN=0。即
上式就是無(wú)磨擦接觸問(wèn)題Hertz--條件。在優(yōu)化理論中，此種方式的約束條件稱為Kuhn-條件或則Karsh-Kuhn-條件。
磨擦定理和磨擦機(jī)理
磨擦是因?yàn)閮山佑|表面互相作用而造成的，其結(jié)果是形成運(yùn)動(dòng)阻力。當(dāng)兩個(gè)表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，磨擦力將做負(fù)功，在接觸表面上形成能量的耗損。在工程剖析中，模型因其簡(jiǎn)單和適用性而被廣泛應(yīng)用。磨擦的化學(xué)機(jī)制十分復(fù)雜，最終可溯源到原子尺度。
3.1磨擦三定理
英國(guó)工程師于1699年提出了兩條基本的磨擦定理。這兩條定律己為實(shí)驗(yàn)所否認(rèn)，能適用于大多數(shù)條件，并且也有一些明顯的例外。
第一定理：磨擦力與兩接觸體表觀接觸面積無(wú)關(guān)。
實(shí)際上，任何表面從微觀上幾乎都是粗糙的，實(shí)際接觸面積只占表觀接觸面積的很小一部份，磨擦力的大小僅與實(shí)際接觸面積有關(guān)。
第二定理：磨擦力tT與法向荷載fN成反比。
式中，μ為常數(shù)，即磨擦系數(shù)，必須強(qiáng)調(diào)，僅僅對(duì)于給定的一對(duì)接觸滑動(dòng)材料和一組給定的周圍條件，磨擦系數(shù)才是常數(shù)。材料不同、周圍條件（氣溫、濕度、真空度）不同，磨擦系數(shù)也不同。
據(jù)悉，于1785年提出了第三定理，即動(dòng)磨擦力幾乎與滑動(dòng)速率無(wú)關(guān)。
目前有限元軟件中最通用的切向磨擦本構(gòu)關(guān)系是精典磨擦模型，該模型彰顯了以上三個(gè)基本定理。也有研究者提出另外一些模型，才能考慮界面上微觀的熱學(xué)現(xiàn)象或則磨擦非局部特點(diǎn)。
3.2磨擦機(jī)理
當(dāng)兩個(gè)表面互相壓緊時(shí)，會(huì)在接觸區(qū)的個(gè)別部份發(fā)生黏著，這是導(dǎo)致磨擦的表面作用的一種方式。若果兩接觸表面形成相對(duì)運(yùn)動(dòng)，表面的材料微凸體將發(fā)生變型和位移來(lái)適應(yīng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這些變型和位移將形成運(yùn)動(dòng)阻力，這是導(dǎo)致磨擦的表面作用的另一種方式。
當(dāng)兩個(gè)接觸表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，材料微凸體可能發(fā)生彈性變型、塑性變型或則破裂。塑性變型總是能帶來(lái)能量的耗散，在大多數(shù)實(shí)際情況下，這些能量耗損占金屬磨擦的大部份。當(dāng)表面互相作用為黏著方式時(shí)則必然發(fā)生破裂，當(dāng)互嵌的微凸體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)也會(huì)導(dǎo)致破裂，但是，對(duì)于大多數(shù)金屬，破裂造成的能量耗散大于塑性變型。
金屬材料發(fā)生彈性變型所須要的能量絕大部份可以回復(fù)，因而彈性能量耗散與塑性能量耗散相比可以忽視不計(jì)。而且橡膠材料在發(fā)生彈性變型后，因?yàn)樾纬蓮椥詼螅@示出很大的不可逆的能量耗散，在個(gè)別情況下，這是磨擦的主因。
綜上所述，導(dǎo)致磨擦的表面互相作用有兩個(gè)來(lái)源：即黏著和材料位移。發(fā)生微觀的彈性和塑性變型以及破裂，會(huì)造成能量的耗散。這種表面作用涉及到界面的原子間復(fù)雜的物理和電磁作用，因而一些研究者企圖將承受切向荷載的接觸界面考慮為一層獨(dú)立的物質(zhì)。
和Tabor提出了簡(jiǎn)單黏著摩擦理論，其出發(fā)點(diǎn)是：當(dāng)金屬表面壓緊時(shí)，微凸體頂端互相接觸。接觸著的微凸體上壓力很高，造成塑性變型，令接觸面積減小到實(shí)際接觸面積A正好能法向支承荷載fN為止。因而，對(duì)于屈服壓力為p0的理想的彈塑性材料，有
簡(jiǎn)單黏著磨擦理論覺(jué)得，在接觸表面緊密接觸區(qū)會(huì)發(fā)生牢靠的黏著。如為割斷節(jié)點(diǎn)所需的單位接觸面積上的力，而tT為磨擦力，則有
其中pe是考慮到堅(jiān)硬微凸體在較軟的表面上“犁溝”所需的力而引入的附加項(xiàng)。此理論可以解釋兩條磨擦定理：磨擦力與表觀接觸面積無(wú)關(guān)；磨擦力與荷載成反比。
實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于高真空中的潔凈金屬表面，可能獲得很大的磨擦力，表明實(shí)際接觸表面比簡(jiǎn)單黏著理論所強(qiáng)調(diào)的要高得多。在簡(jiǎn)單黏著理論中，覺(jué)得A決定于屈服壓力p0和法向荷載fN。對(duì)于靜態(tài)接觸，這大致是正確的。并且在磨擦的情況下，還作用有切向力摩擦力和接觸面積有關(guān)系嗎，屈服取決于正撓度和剪撓度的復(fù)合作用。所以和Tabor進(jìn)一步考慮了復(fù)合撓度對(duì)微凸體接點(diǎn)實(shí)際接觸面積的影響，提出了修正的黏著磨擦理論：
fN/p0為僅考慮法向荷載影響而得出的接觸面積，而α(tT/p0)2表示由彎矩或磨擦力形成的增量。
Green則提出微凸體塑性互相作用理論，后來(lái)由和加以推廣，她們考慮了相對(duì)滑動(dòng)時(shí)微凸體上法向撓度和切向撓度隨時(shí)間的變化，將磨擦系數(shù)定義為所有接觸微凸體的瞬時(shí)彎矩之和減去所有接觸微凸體的瞬時(shí)法向撓度之和。
微凸體互相作用理論與黏著理論并無(wú)原則性矛盾，事實(shí)上它們才能得出相同的磨擦系數(shù)表達(dá)式。微凸體互相作用理論愈發(fā)建立，可進(jìn)一步推廣因而適用于具有實(shí)際微凸體高度分布并考慮加工硬化的表面磨擦。黏著理論的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)性稍差，而且它還能在各類條件下得到正確的磨擦系數(shù)值，且在剖析上遠(yuǎn)比微凸體互相作用理論簡(jiǎn)單。
作者簡(jiǎn)介
王朋波，復(fù)旦學(xué)院熱學(xué)博士，車輛結(jié)構(gòu)CAE剖析專家。上海市婦聯(lián)成員、《計(jì)算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評(píng)審專家。專業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎嚻谀途?NVH/碰撞安全性能開(kāi)發(fā)與仿真估算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE剖析流程手動(dòng)化等。王朋波私人陌陌：；加微請(qǐng)標(biāo)明：?jiǎn)挝?姓名。
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作者手中還有少量簽名版可售
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