接觸剖析的挑戰性
接觸是在固體熱學各個領域中普遍存在的問題。對自然界中許多數學問題的描述都涉及接觸現象。諸如零部件裝配時的配合，橡膠密封器件的防漏，內胎與地面的互相作用，撞擊問題以及壓力加工行業的大量成形工藝過程等。
接觸過程中兩個物體在接觸界面上的互相作用是復雜的熱學現象，同時也是它們損傷直到失效破壞的重要誘因。從熱學剖析角度看，接觸是邊界條件高度非線性的復雜問題，須要確切追蹤接觸前多個物體的運動以及接觸發生后這種物體之間的互相作用，同時包括正確模擬接觸面之間的磨擦行為和可能存在的接觸間隙傳質。其中極少數的接觸問題可以解析處理，絕大多數接觸問題只能采用有限元、離散元、邊界元等數值方式進行模擬，其中有限元法的應用最為廣泛。對接觸全過程進行有限元仿真，現今除了可以實現，但是正逐漸成為CAE/CAM的重要組成部份。
在實際工程中，有限元接觸剖析的估算結果常常用于對個別設計參數進行優化設計，比如對車胎進行結構優化以增強安全性和壽命。若果采用基于梯度的優化算法，須要得到熱學變量（位移、應力、接觸反力分布狀況等）相對于設計參數（材料、尺寸、形狀、拓撲結構等）的變化曲線和相應的敏度（梯度）。對于無磨擦接觸情況，現有的有限元接觸算法，比如拉氏乘子法、罰函數法等，才能得到足夠穩定的敏度數據；并且對于有磨擦接觸情況，若果不采取一些特殊的處理，則很難得到穩定的數值結果，梯度的數值一般隨荷載和網格的改變而發生劇烈的振蕩，不具備可用性。
盡管接觸熱學和相關的數值方式早已廣泛應用于工程開發和科學研究，但對于接觸和磨擦的化學機制，目前尚未有完全的理解。
從工程的觀點來看，計算機技術和估算方式的發展，使我們才能更精確的剖析接觸問題以適應工程須要。對接觸問題的仿真和模擬在工程設計的多個方面早已發揮了重要的作用，比如減小銹蝕、降低噪音和提升安全性等。
但從科研的觀點來看，現有的接觸數值算法流程過分復雜，須要花費大量的顯存空間和估算時間，通常經過反復的校核、修正才有可能得到符合實際情況的估算結果。迄今為止摩擦力和接觸面積有關系嗎，對于帶磨擦的接觸剖析，當前各類商用有限元軟件常常不能給出精確可靠的結果。開發穩定、高效、健壯的接觸算法依然是一個急待解決的問題。
以上挑戰性除了來自接觸過程中復雜的變型和受力狀況，更主要的緣由是接觸界面的邊界條件非線性。
接觸界面的非線性來始于兩個方面：
(1)接觸界面事先未知。接觸界面的區域大小和互相位置以及接觸狀態除了事先都是未知的，并且是隨時間變化的，須要在求解過程中確定。
(2)接觸條件的非線性。接觸條件的內容包括：兩個相互接觸的物體不可互相侵入；接觸力的法向份量只能是壓力；切向接觸的磨擦條件。這種條件區別于通常約束條件，其特征是單邊性的不方程約束，具有強烈的非線性。
接觸界面的事先未知性和接觸條件的不方程約束決定了接觸剖析過程須要時常插入對接觸區域的搜索，須要多次迭代求解以確定接觸壓力和磨擦力。
另外，接觸過程往往涉及材料非線性和幾何非線性。諸如，車輛車胎與橋面的接觸是接觸熱學中最典型的實際工程問題，進行數值模擬時，必須考慮因為大變型造成的幾何非線性，為得到可靠的估算結果，還應使用復雜的非線性材料本構關系。因而，一般要求有限元接觸算法具備同時處理三種非線性（材料、幾何、邊界條件非線性）的能力。
接觸問題的約束條件
2.1不可貫入性
如圖1，考慮兩個物體BI(I=A,B)相互接觸的情況，物體所搶占空間域為ΩI∈R3。物體BI的表面ΓI由三部份組成：ΓσI里面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI則是兩個物體的接觸面。
圖1接觸體之間的法向間隙
接觸物體在運動學方面須要滿足不可貫入性要求，不可貫入性是指物體BA和BB的位形在變型和運動過程中不容許互相貫串（侵入和覆蓋），可用下式抒發：
式中，xI(I=A,B)指的是物體BI上表面各點對應于變型后位形的座標，即歐拉座標：
式中，nA是物體BA表面的外法線方向單位矢量。假設接觸邊界描述了一個局部外凸的區域，我們可以將ΓB上的任一點xB與ΓA上的某一點
相關聯。?A(x身上兩點代表-，下同)是物體BA表面上距離xB近來的點，參見圖1，兩者距離用下式表示
該距離可用于定義接觸體BA和BB之間的法向間隙。
假如?A已知，不可貫入條件可用以下不方程約束來表示
對于變型體與剛性表面接觸的情況，上式一直創立，此時xA≡XA，nA≡NA。
2.2法向接觸力為壓力
接觸物體在動力學方面須要滿足法向接觸力為壓力的條件。在不考慮接觸面間的黏附的情況下，物體之間的法向接觸力只可能是壓力，不能為拉力。
假如gN=0，法向接觸力pN=pAN=pBNN>0，意味著兩個物體間存在間隙，此時pN=0。即
上式就是無磨擦接觸問題Hertz--條件。在優化理論中，此種方式的約束條件稱為Kuhn-條件或則Karsh-Kuhn-條件。
磨擦定理和磨擦機理
磨擦是因為兩接觸表面互相作用而造成的，其結果是形成運動阻力。當兩個表面相對運動時，磨擦力將做負功，在接觸表面上形成能量的耗損。在工程剖析中，模型因其簡單和適用性而被廣泛應用。磨擦的化學機制十分復雜，最終可溯源到原子尺度。
3.1磨擦三定理
英國工程師于1699年提出了兩條基本的磨擦定理。這兩條定律己為實驗所否認，能適用于大多數條件，并且也有一些明顯的例外。
第一定理：磨擦力與兩接觸體表觀接觸面積無關。
實際上，任何表面從微觀上幾乎都是粗糙的，實際接觸面積只占表觀接觸面積的很小一部份，磨擦力的大小僅與實際接觸面積有關。
第二定理：磨擦力tT與法向荷載fN成反比。
式中，μ為常數，即磨擦系數，必須強調，僅僅對于給定的一對接觸滑動材料和一組給定的周圍條件，磨擦系數才是常數。材料不同、周圍條件（氣溫、濕度、真空度）不同，磨擦系數也不同。
據悉，于1785年提出了第三定理，即動磨擦力幾乎與滑動速率無關。
目前有限元軟件中最通用的切向磨擦本構關系是精典磨擦模型，該模型彰顯了以上三個基本定理。也有研究者提出另外一些模型，才能考慮界面上微觀的熱學現象或則磨擦非局部特點。
3.2磨擦機理
當兩個表面互相壓緊時，會在接觸區的個別部份發生黏著，這是導致磨擦的表面作用的一種方式。若果兩接觸表面形成相對運動，表面的材料微凸體將發生變型和位移來適應相對運動，這些變型和位移將形成運動阻力，這是導致磨擦的表面作用的另一種方式。
當兩個接觸表面相對運動時，材料微凸體可能發生彈性變型、塑性變型或則破裂。塑性變型總是能帶來能量的耗散，在大多數實際情況下，這些能量耗損占金屬磨擦的大部份。當表面互相作用為黏著方式時則必然發生破裂，當互嵌的微凸體相對運動時也會導致破裂，但是，對于大多數金屬，破裂造成的能量耗散大于塑性變型。
金屬材料發生彈性變型所須要的能量絕大部份可以回復，因而彈性能量耗散與塑性能量耗散相比可以忽視不計。而且橡膠材料在發生彈性變型后，因為形成彈性滯后，顯示出很大的不可逆的能量耗散，在個別情況下，這是磨擦的主因。
綜上所述，導致磨擦的表面互相作用有兩個來源：即黏著和材料位移。發生微觀的彈性和塑性變型以及破裂，會造成能量的耗散。這種表面作用涉及到界面的原子間復雜的物理和電磁作用，因而一些研究者企圖將承受切向荷載的接觸界面考慮為一層獨立的物質。
和Tabor提出了簡單黏著摩擦理論，其出發點是：當金屬表面壓緊時，微凸體頂端互相接觸。接觸著的微凸體上壓力很高，造成塑性變型，令接觸面積減小到實際接觸面積A正好能法向支承荷載fN為止。因而，對于屈服壓力為p0的理想的彈塑性材料，有
簡單黏著磨擦理論覺得，在接觸表面緊密接觸區會發生牢靠的黏著。如為割斷節點所需的單位接觸面積上的力，而tT為磨擦力，則有
其中pe是考慮到堅硬微凸體在較軟的表面上“犁溝”所需的力而引入的附加項。此理論可以解釋兩條磨擦定理：磨擦力與表觀接觸面積無關；磨擦力與荷載成反比。
實驗表明，對于高真空中的潔凈金屬表面，可能獲得很大的磨擦力，表明實際接觸表面比簡單黏著理論所強調的要高得多。在簡單黏著理論中，覺得A決定于屈服壓力p0和法向荷載fN。對于靜態接觸，這大致是正確的。并且在磨擦的情況下，還作用有切向力摩擦力和接觸面積有關系嗎，屈服取決于正撓度和剪撓度的復合作用。所以和Tabor進一步考慮了復合撓度對微凸體接點實際接觸面積的影響，提出了修正的黏著磨擦理論：
fN/p0為僅考慮法向荷載影響而得出的接觸面積，而α(tT/p0)2表示由彎矩或磨擦力形成的增量。
Green則提出微凸體塑性互相作用理論，后來由和加以推廣，她們考慮了相對滑動時微凸體上法向撓度和切向撓度隨時間的變化，將磨擦系數定義為所有接觸微凸體的瞬時彎矩之和減去所有接觸微凸體的瞬時法向撓度之和。
微凸體互相作用理論與黏著理論并無原則性矛盾，事實上它們才能得出相同的磨擦系數表達式。微凸體互相作用理論愈發建立，可進一步推廣因而適用于具有實際微凸體高度分布并考慮加工硬化的表面磨擦。黏著理論的數學現實性稍差，而且它還能在各類條件下得到正確的磨擦系數值，且在剖析上遠比微凸體互相作用理論簡單。
作者簡介
王朋波，復旦學院熱學博士，車輛結構CAE剖析專家。上海市婦聯成員、《計算機輔助工程》期刊審稿人、交通運輸部項目評審專家。專業領域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發與仿真估算，車體結構優化與輕量化，CAE剖析流程手動化等。王朋波私人陌陌：；加微請標明：單位+姓名。
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